人教A版 (2019)必修 第一册等式性质与不等式性质第2课时导学案

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册等式性质与不等式性质第2课时导学案，共12页。学案主要包含了等式性质与不等式的性质，利用不等式的性质证明不等式等内容，欢迎下载使用。

导语
通过上节课的学习，我们学会了用等式和不等式来表示现实生活中的相等关系和不等关系.现在就让我们一起探究等式性质和不等式性质，为我们下一步解不等式做好准备！
一、等式性质与不等式的性质
问题 判断下列命题是否正确？
(1)如果a=b，那么b=a；
(2)如果a=b，b=c，那么a=c；
(3)如果a=b，那么a±c=b±c；
(4)如果a=b，那么ac=bc；
(5)如果a=b，c≠0，那么ac=bc.
提示 以上均正确，这些都是等式的基本性质.
知识梳理 不等式的性质
注意点：
(1)若a>b>0，则00，m>0，则ab>a+mb+m，ab0)，bab-ma-m(b-m>0).
例1 对于实数a，b，c，下列命题中是真命题的为( )
A.若a0，则1a>1b
C.若ab，1a>1b，则a>0，bb>0，有ab>0⇒aab>bab⇒1b>1a，故B为假命题；
a0⇒-1b>-1a>0，则ab>ba，故C为假命题；
a>b⇒b-a1b⇒1a-1b>0⇒b-aab>0，则abb，∴a>0，bb-c
B.若a>b，则1ab，c>d，则ac>bd
答案 BCD
解析 对于A，若c>d，则-d>-c，又a>b，所以a-d>b-c，故A为真命题；
对于B，若a>b，且a>0，b0，1b1b，故B为假命题；
对于C，若a=-1，b=2，则a2=10，ccb.
证明 因为a>b>0，所以ab>0，1ab>0.
于是a·1ab>b·1ab，
即1b>1a，
由ccb.
例2 已知c>a>b>0，求证：ac-a>bc-b.
证明 方法一 因为c>a>b>0，
所以0bc-b.
方法二 因为a>b>0，所以1a0，所以ca0，所以c-a>0，c-b>0.
所以ac-a>bc-b.
方法三 ac-a-bc-b=a(c-b)-b(c-a)(c-a)(c-b)
=ac-ab-bc+ab(c-a)(c-b)=c(a-b)(c-a)(c-b)，
因为c>a>b>0，
所以a-b>0，c-a>0，c-b>0，
所以ac-a>bc-b.
延伸探究1 在本例条件不变的情况下，求证：a(c-a)2>b(c-b)2.
证明 方法一 因为c>a>b>0，
所以0b>0，
所以a-b>0，c2>ab，c-a>0，c-b>0，
所以(a-b)(c2-ab)>0，
所以(a-b)(c2-ab)(c-a)2(c-b)2>0，
所以a(c-a)2-b(c-b)2>0，
因此a(c-a)2>b(c-b)2.
反思感悟 (1)利用不等式的性质对不等式的证明其实质就是利用性质对不等式进行变形，变形要等价，同时要注意性质适用的前提条件.
(2)用作差法证明不等式和用作差法比较大小的方法原理一样，变形后判断符号时要注意充分利用题目中的条件.
跟踪训练2 证明下列不等式：
(1)已知a>b>c>d，求证：1a-db>0，cc>d，即a>b，-d>-c，
∴a-d>b-c>0，则1a-db>0，cb-d>0，b-aeb-d.
三、利用不等式的性质求代数式的取值范围
例3 已知-6