高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第二章 一元二次函数、方程和不等式2.1 等式性质与不等式性质优质教学设计

2.1 等式性质与不等式性质单元设计

一. 内容和及其解析

1.1 内容

  等式性质与不等式性质

1.2 内容解析

内容本质：第2.1 节在给出实数大小的基本事实、梳理等式基本性质的基础上，通过类比研究了不等式的基本性质及其证明和应用，教科书首先让学生梳理等式的性质，并归纳其中蕴含的数学思想方法，然后猜想并证明不等式的基本性质，等式的基本性质包括在数学的推理和运算中经常用到的“对称性”和“传递性”，还包括等式对四则运算的不变性．前者反映了相等关系的特性，后者则是从运算角度提出的，反映了等式在运算中的不变性，它们反映了“式的基本性质”的本质属性．类似地，不等式的基本性质既反映了不等关系的特性，又反映了不等式在运算中的不变性．但与等号不同，不等号有方向性，所以不等式的基本性质与等式的基本性质又存在差异．教科书利用这种内在联系，引导学生自主发现不等式的基本性质，使他们认识到 “运算中的不变性”在研究代数问题中 “引路人”的作用，从而使学生在加深对‘“代数性质”的认识过程中发展 “四基”、提高“四能”．此外，本书用不等式的性质证明了一些简单命题，拓展了代数证明的范围，为后续学习打下了基础。

蕴含的思想方法：

1.本章在研究不等式的性质时，考虑到等式的基本性质与不等式的基本性质在表现“式的基本性质”的本质属性方面是相通的，设计了一个学习过程。先通过个思考栏目，让学生梳理初中学过的等式的基本性质，并观察它们的共性，归纳总结，培养学生类比，归纳的数学思想方法；

2.再通过一个探究栏目，让学生类比等式的基本性质，猜想不等式的基本性质。这样利用等式的基本性质中蕴含的数学思想方法，来引导学生探素、发现不等式的基本性质，有利于加深他们对代数性质的认识，提高他们提出问题和解决问题的能力。

知识的上下位关系：

   等式与不等式有很多共同之处，也存在差异。学生在初中学习了等式，方程的知识，在高中阶段将重点学习不等式的内容。为此，教科书先通过梳理初中已经学的等式内容，引导学生归纳其中蕴含的思想方法，再通过类比等式的内容与思想方法，探索不等式的相关内容。

例如，学生在初中学习等式的内容时，先学习了用含有末知数的等式（方程）表示问题中的相等关系，接着以解方程为目的，学习了等式的一些基本性质，然后研究了两种具体的方程——一元一次方程和一元二次方程的解法和应用．概括起来就是“现实背景——相等关系与等式——等式性质——方程及其解法——应用”。本章在构建不 等式内容的结构体系时，采用了与等式类似的顺序：现实背景——不等关系与不等式——关于两个实数大小关系的基本事实——不等式性质——不等式解法,证明——应用.
     首先，类比 “相等用等式表示”，举例说明了如何用不等式表示不等关系。关于两个实数大小关系的基本事实，既是实数的基本性质，也是研究式的大小关系的基础。因此，教科书接着安排了关于两个实数大小的基本事实，为不等式的研究奠定了逻辑基础。

其次，教科书类比等式的基本性质，研究了不等式的基本性质及其证明。
最后，研究了基本不等式的证明和应用，一元二次不等式的解法和应用。

育人价值： 

    从实际问题所蕴含的不等关系中抽象出不等式，提升学生数学抽象的素养；

类比等式性质，举例说明不等式的不等关系，培养学生分析，类比归纳的能力。让学生逐渐养成借助直观理解概念，进行逻辑推理的思维习惯，以及独立思考，合作交流的学习习惯。

教学重点：不等式的基本性质，等式与不等式的共性与差异.
 

二、目标及其解析

2.1单元目标

梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质。

2.2目标解析

达成目标的标志：

1.通过设计两个问题，让学生在梳理并观察等式的基本性质的基础上认识到，这些性质包含在数学推理和运算中经常用到的“对称性”与“传递性”，还包含解方程所需要的等式对四则运算的不变性，而这两个方面反映的“式的大小关系”的本质属性，这些基本属性为探究不等式的基本性质指明了方向。

2.通过具体实例，把不等关系“翻译”成不等式，学生明白“式的大小关系”。

3.从实数大小关系的基本事实，证明不等式的基本性质。并且能用不等式性质解决一些基本问题。

   三．学情分析

       在初中，学生学习了用含有未知数的等式《方程）表示问题中的相等关系，为了解方程研究了等式的一些基本性质．本节在初中等式学习的基础上，类比等式的学习内容和方法，展开不等式的研究．首先类比用等式表示相等关系，用不等式表示问题中的不等关系，然后在对等式的基本性质进行梳理，归纳其中蕴含的数学思想方法的基础上，研究不等式的性质，并用不等式的性质证明简单命题．通过本节的学习，掌握不等式的性质，提高对等式和不等式的共性与差异的理解，加深对 “代数性质” 的认识，提高提出问题和解决问题的能力。

教学难点：类比等式的基本性质及其蕴含的思想方法，研究不等式的基本性质；等式与不等式的共性与差异。

四.教学支持条件

  教室多媒体设备齐全，展示动画与课件方便。课堂评价平台完善。

五、课时教学设计

本单元共2课时，具体分配如下：

第1课时   不等关系与作差比较大小

第2课时    等式性质与不等式性质