数学必修第一册2.1 等式性质与不等式性质第1课时学案

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这是一份数学必修第一册2.1 等式性质与不等式性质第1课时学案，共10页。学案主要包含了用不等式表示不等关系，作差法比较大小等内容，欢迎下载使用。

学习目标 1.能用不等式(组)表示实际问题中的不等关系.2.初步学会作差法比较两实数的大小．
知识点一基本事实
两个实数a，b，其大小关系有三种可能，即a>b，a＝b，a思考 x2＋1与2x两式都随x的变化而变化，其大小关系并不显而易见．你能想个办法，比较x2＋1与2x的大小吗？
答案作差：x2＋1－2x＝(x－1)2≥0，所以x2＋1≥2x.
知识点二重要不等式
∀a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．
1．大桥桥头竖立的“限重40吨”的警示牌，是提示司机要安全通过该桥，应使车和货物的总质量T满足关系________．
答案 T≤40
解析 “限重40吨”是不超过40吨的意思．
2．雷电的温度大约是28 000 ℃，比太阳表面温度的4.5倍还要高．设太阳表面温度为t ℃，那么t应满足的关系式是________________．
答案 4.5t<28 000
解析由题意得，太阳表面温度的4.5倍小于雷电的温度，即4.5t<28 000.
3．若x<0，则x－2与2x－2的大小关系是___________________________________________．
答案 x－2>2x－2
解析因为x－2－(2x－2)＝－x>0，
所以x－2>2x－2.
4．a2＋1与a的大小关系为________________．
答案 a2＋1>a
解析因为a2＋1－a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－\f(1,2)))2＋eq \f(3,4)>0，
所以a2＋1>a.
一、用不等式(组)表示不等关系
例1 (1)一辆汽车原来每天行驶x km，如果该辆汽车每天行驶的路程比原来多19 km，那么在8天内它的行程就超过2 200 km，写出不等式为______________；如果它每天行驶的路程比原来少12 km，那么它原来行驶8天的路程就得花9天多的时间，用不等式表示为________________．
答案 8(x＋19)>2 200 eq \f(8x,x－12)>9
解析由题意知，汽车原来每天行驶x km,8天内它的行程超过2 200 km，则8(x＋19)>2 200.若每天行驶的路程比原来少12 km，则原来行驶8天的路程就要用9天多，即eq \f(8x,x－12)>9.
(2)某汽车公司因发展需要，需购进一批汽车，计划使用不超过1 000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A型汽车和B型汽车，根据需要，A型汽车至少买5辆，B型汽车至少买6辆，写出满足上述所有不等关系的不等式(组)．
解设购买A型汽车和B型汽车分别为x辆、y辆，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(40x＋90y≤1 000，,x≥5，,y≥6，,x，y∈N*.))
(学生)
反思感悟 (1)将不等关系表示成不等式(组)的思路
①读懂题意，找准不等式所联系的量．
②用适当的不等号连接．
③多个不等关系用不等式组表示．
(2)常见的文字语言与符号语言之间的转换
跟踪训练1 用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，要求菜园的面积不小于96 m2，靠墙的一边长为x m．试用不等式(组)表示其中的不等关系．
解由于矩形菜园靠墙的一边长为x m，而墙长为18 m，所以0这时菜园的另一条边长为eq \f(30－x,2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(15－\f(x,2))).
因此菜园面积S＝x·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(15－\f(x,2)))，依题意有S≥96，
即xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(15－\f(x,2)))≥96，
故该题中的不等关系可用不等式组表示为
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0二、作差法比较大小
例2 已知a，b均为正实数．试利用作差法比较a3＋b3与a2b＋ab2的大小．
解 ∵a3＋b3－(a2b＋ab2)＝(a3－a2b)＋(b3－ab2)
＝a2(a－b)＋b2(b－a)
＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b)．
当a＝b时，a－b＝0，a3＋b3＝a2b＋ab2；
当a≠b时，(a－b)2>0，a＋b>0，a3＋b3>a2b＋ab2.
综上所述，a3＋b3≥a2b＋ab2.
(教师)
延伸探究
1．若a>0，b>0，则比较a5＋b5与a3b2＋a2b3的大小．
解 (a5＋b5)－(a3b2＋a2b3)＝a5－a3b2＋b5－a2b3
＝a3(a2－b2)＋b3(b2－a2)＝(a2－b2)(a3－b3)
＝(a－b)2(a＋b)(a2＋ab＋b2)．
∵a>0，b>0，∴(a－b)2≥0，a＋b>0，a2＋ab＋b2>0.
∴a5＋b5≥a3b2＋a2b3.
2．对于an＋bn，你能有一个更具一般性的猜想吗？
解若a>0，b>0，n>r，n，r∈N*，
则an＋bn≥arbn－r＋an－rbr.
(学生)
反思感悟作差法比较两个实数大小的基本步骤
跟踪训练2 比较2x2＋5x＋3与x2＋4x＋2的大小．
解 (2x2＋5x＋3)－(x2＋4x＋2)＝x2＋x＋1
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))2＋eq \f(3,4).
∵eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))2≥0，
∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))2＋eq \f(3,4)≥eq \f(3,4)>0.
∴(2x2＋5x＋3)－(x2＋4x＋2)>0，
∴2x2＋5x＋3>x2＋4x＋2.
重要不等式及其简单应用
典例已知a>0，求证：a＋eq \f(1,a)≥2.
证明方法一利用a2＋b2≥2ab.
∵a>0，∴a＋eq \f(1,a)＝(eq \r(a))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,\r(a))))2≥2eq \r(a)·eq \f(1,\r(a))＝2.
当且仅当a＝1时，等号成立．
方法二 ∵a＋eq \f(1,a)－2＝(eq \r(a))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,\r(a))))2－2
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(a)－\f(1,\r(a))))2≥0，
∴a＋eq \f(1,a)≥2.
[素养提升] 比较两个数的大小关系，最基本的方法是利用作差法，通过逻辑推理得到差的符号，从而判定两个数的大小关系，也可以由a＋eq \f(1,a)构建重要不等式的形式，通过逻辑推理进行证明．
1．某高速公路要求行驶的车辆的速度v的最大值为120 km/h，同一车道上的车间距d不得小于10 m，用不等式表示为( )
A．v≤120 km/h且d≥10 m
B．v≤120 km/h或d≥10 m
C．v≤120 km/h
D．d≥10 m
答案 A
解析 v的最大值为120 km/h，即v≤120 km/h，车间距d不得小于10 m，即d≥10 m.
2．完成一项装修工程，请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工人工资预算2 000元，设木工x人，瓦工y人，则请工人满足的关系式是( )
A．5x＋4y<200 B．5x＋4y≥200
C．5x＋4y＝200 D．5x＋4y≤200
答案 D
解析依题意，得50x＋40y≤2 000，即5x＋4y≤200.
3．一个两位数，个位数字为x，十位数字为y，且这个两位数大于70，用不等式表示为________．
答案 10y＋x>70
解析 ∵该两位数可表示为10y＋x，∴10y＋x>70.
4．设m＝2a2＋2a＋1，n＝(a＋1)2，则m，n的大小关系是________．
答案 m≥n
解析 ∵m－n＝2a2＋2a＋1－(a＋1)2＝a2≥0.∴m≥n.
5．若实数a>b，则a2－ab________ba－b2.(填“>”或“<”)
答案 >
解析因为(a2－ab)－(ba－b2)＝(a－b)2，
又a>b，所以(a－b)2>0.
1．知识清单：
(1)用不等式(组)表示不等关系．
(2)作差法比较大小．
(3)重要不等式．
2．方法归纳：作差法．
3．常见误区：实际问题中变量的实际意义．
1．(多选)下列说法正确的是( )
A．某人月收入x不高于2 000元可表示为“x<2 000”
B．小明的身高x cm，小华的身高y cm，则小明比小华矮表示为“x>y”
C．某变量x至少为a可表示为“x≥a”
D．某变量y不超过a可表示为“y≤a”
答案 CD
解析对于A，x应满足x≤2 000，故A错；
对于B，x，y应满足x2．下面能表示“a与b的和是非正数”的不等式为( )
A．a＋b<0 B．a＋b>0
C．a＋b≤0 D．a＋b≥0
答案 C
解析 a与b的和是非正数，即a＋b≤0.
3．某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩x不低于95分，文化课总分y高于380分，体育成绩z超过45分，用不等式(组)表示就是( )
A.eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≥95，,y≥380，,z>45)) B.eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≥95，,y>380，,z≥45)) C.eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x>95，,y>380，,z>45)) D.eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≥95，,y>380，,z>45))
答案 D
解析 “不低于”即“≥”，“高于”即“>”，“超过”即“>”，∴x≥95，y>380，z>45.
4．若x∈R，y∈R，则( )
A．x2＋y2>2xy－1 B．x2＋y2＝2xy－1
C．x2＋y2<2xy－1 D．x2＋y2≤2xy－1
答案 A
解析因为x2＋y2－(2xy－1)＝x2－2xy＋y2＋1
＝(x－y)2＋1>0，
所以x2＋y2>2xy－1.
5．已知0A．MN
C．M＝N D．M≥N
答案 B
解析 ∵0∴－1∴M－N＝a1a2－(a1＋a2－1)＝a1a2－a1－a2＋1
＝a1(a2－1)－(a2－1)＝(a1－1)(a2－1)>0，
∴M>N.
6．某商品包装上标有重量500±1克，若用x表示商品的重量，则该商品的重量可用含绝对值的不等式表示为________．
答案 |x－500|≤1
解析 ∵某商品包装上标有重量500±1克，
若用x表示商品的重量，则－1≤x－500≤1，
∴|x－500|≤1.
7．若x＝(a＋3)(a－5)，y＝(a＋2)(a－4)，则x与y的大小关系是________．
答案 x解析因为x－y＝(a＋3)(a－5)－(a＋2)(a－4)
＝(a2－2a－15)－(a2－2a－8)＝－7<0，
所以x8．若x∈R，则eq \f(x,1＋x2)与eq \f(1,2)的大小关系为________．
答案 eq \f(x,1＋x2)≤eq \f(1,2)
解析 ∵eq \f(x,1＋x2)－eq \f(1,2)＝eq \f(2x－1－x2,21＋x2)＝eq \f(－x－12,21＋x2)≤0，
∴eq \f(x,1＋x2)≤eq \f(1,2).
9．《铁路旅行常识》规定：
一、随同成人旅行，身高在1.2～1.5米的儿童享受半价客票(以下称儿童票)，超过1.5米的应买全价票，每一名成人旅客可免费带一名身高不足1.2米的儿童，超过一名时，超过的人数应买儿童票．
……
十、旅客免费携带物品的体积和重量是每件物品的外部长、宽、高尺寸之和不得超过160厘米，杆状物品不得超过200厘米，重量不得超过20千克……
设身高为h(米)，物品外部长、宽、高尺寸之和为P(厘米)，请用不等式表示下表中的不等关系．
解由题意可获取以下主要信息：
(1)身高用h(米)表示，物体长、宽、高尺寸之和为P(厘米)；
(2)题中要求用不等式表示不等关系．解答本题应先理解题中所提供的不等关系，再用不等式表示．
身高在1.2～1.5米可表示为1.2≤h≤1.5，
身高超过1.5米可表示为h>1.5，
身高不足1.2米可表示为h<1.2，
物体长、宽、高尺寸之和不得超过160厘米可表示为P≤160.如下表所示：
10.已知x∈R且x≠－1，比较eq \f(1,1＋x)与1－x的大小．
解 ∵eq \f(1,1＋x)－(1－x)＝eq \f(1－1－x2,1＋x)＝eq \f(x2,1＋x)，
当x＝0时，eq \f(x2,1＋x)＝0，∴eq \f(1,1＋x)＝1－x；
当1＋x<0，即x<－1时，eq \f(x2,1＋x)<0，∴eq \f(1,1＋x)<1－x；
当1＋x>0且x≠0，
即－10时，eq \f(x2,1＋x)>0，
∴eq \f(1,1＋x)>1－x.
综上，当x<－1时，eq \f(1,1＋x)<1－x；
当x＝0时，eq \f(1,1＋x)＝1－x；
当－10时，eq \f(1,1＋x)>1－x.
11．足球赛期间，某球迷俱乐部一行56人从旅馆乘出租车到球场为中国队加油，现有A，B两个出租车队，A队比B队少 3 辆车．若全部安排乘A队的车，每辆车坐 5 人，车不够，每辆车坐 6 人，有的车未坐满；若全部安排乘B队的车，每辆车坐 4 人，车不够，每辆车坐 5 人，有的车未坐满．则A队有出租车( )
A．11辆 B．10辆 C．9辆 D．8辆
答案 B
解析设A队有出租车x辆，
则B队有出租车(x＋3)辆，由题意，得
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(5x<56，,6x>56，,4x＋3<56，,5x＋3>56，,x∈N*))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x<11\f(1,5)，,x>9\f(1,3)，,x<11，,x>8\f(1,5).))
∴9eq \f(1,3)而x为正整数，故x＝10.
12．已知a1>1，a2>1，设P＝eq \f(1,a1)＋eq \f(1,a2)，Q＝eq \f(1,a1a2)＋1，则P与Q的大小关系为( )
A．P>Q B．PC．P＝Q D．不确定
答案 B
解析 P－Q＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a1)＋\f(1,a2)))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a1a2)＋1))＝eq \f(a1＋a2,a1a2)－eq \f(1＋a1a2,a1a2)＝eq \f(a1－1＋a21－a1,a1a2)＝eq \f(a1－11－a2,a1a2).
因为a1>1，a2>1，
所以a1－1>0,1－a2<0，a1a2>0，
所以P－Q＝eq \f(a1－11－a2,a1a2)<0，所以P13．某公司有20名技术人员，计划开发A，B两类共50件电子器件，每类每件所需人员和预计产值如下：
今制定计划欲使总产值最高，则A类产品应生产________件，最高产值为________万元．
答案 20 330
解析设应开发A类电子器件x件，则开发B类电子器件(50－x)件，则eq \f(x,2)＋eq \f(50－x,3)≤20，解得x≤20.
由题意，得总产值y＝7.5x＋6×(50－x)＝300＋1.5x≤330，
当且仅当x＝20时，y取得最大值330.
所以应开发A类电子器件20件，能使点产值最高，最高产值为330万元．
14．若a1”“<”或“＝”)
答案 >
解析 a1b1＋a2b2－(a1b2＋a2b1)＝a1(b1－b2)＋a2(b2－b1)
＝(b1－b2)(a1－a2)，
∵a1∴(b1－b2)(a1－a2)>0，
∴a1b1＋a2b2>a1b2＋a2b1.
15．已知a，b，c满足b＋c＝3a2－4a＋6，b－c＝a2－4a＋4，则a，b，c的大小关系为________．
答案 b≥c>a
解析 ∵b－c＝a2－4a＋4＝(a－2)2≥0，∴b≥c.
由题意，得方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b－c＝a2－4a＋4，,b＋c＝3a2－4a＋6.))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b＝2a2－4a＋5，,c＝a2＋1.))
∵c－a＝a2－a＋1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－\f(1,2)))2＋eq \f(3,4)>0，
∴c>a，∴b≥c>a.
16．为打造“书香校园”，某学校计划用不超过①1 900本科技类书籍和1 620本人文类书籍组建中、小型两类图书角共30个．已知组建一个中型图书角需科技类书籍80本，人文类书籍50本；组建一个小型图书角需科技类书籍30本，人文类书籍60本．设组建中型图书角x个②，用不等式组将题目中的不等关系表示出来，并求有哪些符合题意的组建方案．
①不超过是小于等于；②x只能取整数求解．
解因为组建中型图书角x个，
所以组建小型图书角为(30－x)个，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0解这个不等式组，得18≤x≤20.
由于x只能取正整数，∴x的取值是18,19,20.
当x＝18时，30－x＝12；
当x＝19时，30－x＝11；
当x＝20时，30－x＝10.
故有三种组建方案：方案一，组建中型图书角18个，小型图书角12个；方案二，组建中型图书角19个，小型图书角11个；方案三，组建中型图书角20个，小型图书角10个．依据
a>b⇔a－b>0.
a＝b⇔a－b＝0.
a结论
要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小
文字语言
大于，高于，超过
小于，低于，少于
大于等于，至少，不低于
小于等于，至多，不超过
符号语言
>
<
≥
≤
文字表述
身高在1.2～1.5米
身高超过1.5米
身高不足1.2米
物体长、宽、高尺寸之和不得超过160厘米
符号表示
文字表述
身高在1.2～1.5米
身高超过1.5米
身高不足1.2米
物体长、宽、高尺寸之和不得超过160厘米
符号表示
1.2≤h≤1.5
h>1.5
h<1.2
P≤160
产品种类
每件需要人员数
每件产值(万元/件)
A类
eq \f(1,2)
7.5
B类
eq \f(1,3)
6