人教版（2024）八年级下册（2024）21.3 特殊的平行四边形第2课时同步训练题

这是一份人教版（2024）八年级下册（2024）21.3 特殊的平行四边形第2课时同步训练题，共15页。试卷主要包含了基础巩固，能力提升，思维拓展等内容，欢迎下载使用。
一、基础巩固
1.下列说法正确的是( )
A.对角线相等的四边形是正方形
B.对角线互相平分的矩形是正方形
C.对角线互相垂直且平分的四边形是正方形
D.邻边相等的矩形是正方形
2.已知一个四边形的四条边相等,为使该四边形是正方形,甲、乙两人分别添加了一个条件,下列判断正确的是( )
甲:四边形的四个角均相等;
乙:四边形的对角线相等.
A.只有甲对B.只有乙对
C.甲和乙都对D.甲和乙都不对
3.如图,已知四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,则下列能判断它是正方形的条件是( )
A.AB=BC=CD=DA
B.AO=BO=CO=DO,AC⊥BD
C.AO=CO,BO=DO,AC⊥BD
D.AB=BC,CD⊥DA
4.下列是关于某个四边形的三个结论:①它的对角线互相垂直;②它是一个正方形;③它是一个菱形.下列推理过程正确的是( )
A.由①推出②,由②推出③
B.由①推出③,由③推出②
C.由③推出①,由①推出②
D.由②推出③,由③推出①
5.如图,数学课上老师给出了以下四个条件:a.两组对边分别相等;b.一组对边平行且相等;c.一组邻边相等;d.一个角是直角.有三名同学给出了不同的组合方式:①a,c,d;②b,c,d;③a,b,c.你认为能得到正方形的组合是__________.(填所有符合题意的组合序号)
6.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,D是BC的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F.求证:四边形AEDF是正方形.
7.如图,在▱ABCD中,点E,F,G,H分别在边AB,BC,CD,DA上,AE=CG,AH=CF,且EG平分∠HEF.
(1)求证△AEH≌△CGF;
(2)若∠EFG=90°,求证:四边形EFGH是正方形.
二、能力提升
8.如图,在△ABC中,O是边AC上一动点,过点O作直线MN∥BC.E,F是直线MN上的两点,且CE平分∠ACB,CF平分∠ACD,当点O运动到AC的中点时,若要使四边形AECF是正方形,则∠ACB的度数为( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
9.将一张正方形的纸片按下图所示的方式折叠两次,折叠后再按图所示沿MN裁剪,则可得( )
A.多个等腰直角三角形
B.一个等腰直角三角形和一个正方形
C.四个相同的正方形
D.两个相同的正方形
10.宽与长的比是5-12(约为0.618)的矩形叫作黄金矩形.已知一个黄金矩形的宽为4,则它的长为 .(结果保留根号)
11.如图,四边形ABCD是菱形,点E,F在直线BD上,BE=BD=DF.
(1)判断四边形AECF的形状,并说明理由;
(2)当ADBD=__________时,四边形AECF是正方形.
三、思维拓展
12.如图,在矩形ABCD中,M,N分别是边AD,BC的中点,E,F分别是线段BM,CM的中点.
(1)判断四边形MENF是什么特殊四边形,并证明你的结论.
(2)当AD,AB满足什么条件时,四边形MENF是正方形?
参考答案
1.D
2.C 解析 添加“四边形的四个角均相等”时,∵四边形的四条边相等,
∴该四边形是菱形.
∵该四边形的四个角均相等,
∴每一个角为直角,
∴该四边形是正方形.
添加“四边形的对角线相等”时,
∵四边形的四条边相等,
∴该四边形是菱形.
∵该四边形的对角线相等,
∴该四边形是正方形.故选C.
3.B 解析 A.由AB=BC=CD=DA只能判定四边形ABCD为菱形,故A不符合题意;
B.由AC⊥BD,且AC,BD互相平分可判定四边形ABCD为菱形,再由AC=BD可判定四边形ABCD为正方形,故B符合题意;
C.由AO=CO,BO=DO,AC⊥BD只能判定四边形ABCD为菱形,故C不符合题意;
D.根据AB=BC,CD⊥DA不能判定四边形ABCD为正方形,故D不符合题意.故选B.
4.D 解析 正方形是特殊的菱形,而菱形不一定是正方形;
菱形的对角线互相垂直,而对角线互相垂直的四边形不一定是菱形;
正方形拥有菱形的所有性质,
故②可以推出③和①,③可以推出①,而①推不出②和③,③推不出②;
∴A,B,C三个选项推理过程错误,不符合题意,D选项推理过程正确,符合题意.故选D.
5.①② 解析 组合①,由条件a可得该四边形是平行四边形,添加条件c可得该平行四边形是菱形,再添加条件d可得该菱形是正方形;组合②,由条件b可得该四边形是平行四边形,添加条件c可得该平行四边形是菱形,再添加条件d可得该菱形是正方形;组合③,由条件a可得该四边形是平行四边形,添加条件b得到该四边形仍是平行四边形,再添加条件c可得该平行四边形是菱形,不能得到该四边形是正方形.
6.证明 如图,连接AD.
∵DE⊥AB,DF⊥AC,
∴∠AED=∠AFD=90°.
又∠BAC=90°,
∴四边形AEDF是矩形.
在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,
∴∠BAD=∠CAD.
∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴DE=DF,
∴四边形AEDF是正方形.
7.证明 (1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠A=∠C.
在△AEH与△CGF中,AE=CG,∠A=∠C,AH=CF,
∴△AEH≌△CGF(SAS).
(2)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC,AB=CD,∠B=∠D.
∵AE=CG,AH=CF,
∴EB=DG,BF=HD.
∴△BEF≌△DGH,∴EF=HG.
又△AEH≌△CGF,∴EH=GF.
∴四边形EFGH为平行四边形.
∴EH∥FG,∴∠HEG=∠FGE.
∵EG平分∠HEF,
∴∠HEG=∠FEG,
∴∠FEG=∠FGE,∴EF=GF,
∴▱EFGH是菱形.
又∠EFG=90°,
∴四边形EFGH是正方形.
8.D 解析 ∵CE平分∠ACB,
∴∠ACE=∠BCE.
∵MN∥BC,∴∠FEC=∠BCE,
∴∠ACE=∠FEC,
∴OC=OE.
同理,可得OC=OF,
∴OE=OF.
又O是AC的中点,
∴OA=OC,
∴四边形AECF是平行四边形.
又AC=2OC,EF=OE+OF=2OC,
∴AC=EF,
∴四边形AECF是矩形.
当∠ACB=90°时,
∵MN∥BC,
∴∠AOE=∠ACB=90°,
∴AC⊥EF,
∴四边形AECF是正方形.
故选D.
9.C 10.25+2
11.(1)解 四边形AECF是菱形.理由如下:
如图,连接AC,交BD于点O,
∵四边形ABCD是菱形,
∴OA=OC,OB=OD,AC⊥BD.
∵BE=BD=DF,
∴OB+BE=OD+DF,
∴OE=OF.
又OA=OC,AC⊥EF,
∴四边形AECF是菱形.
(2)102 解析 当ADBD=102时,四边形AECF是正方形.理由如下:
∵ADBD=102,
∴设AD=10a(a>0),
则BD=2a.
∵四边形ABCD是菱形,
∴OB=OD=12BD=a,OA=OC,AC⊥BD,
在Rt△OAD中,由勾股定理,得OA=AD2-OD2=(10a)2-a2=3a,
∴AC=2OA=6a.
∵BE=BD=DF=2a,
∴EF=3BD=6a,
∴AC=EF=6a,
∴四边形AECF是正方形.
故答案为102.
12.解 (1)四边形MENF是菱形.证明如下:
∵N,E,F分别是BC,BM,CM的中点,
∴NE∥CM,NE=12CM,MF=12CM,
∴NE=FM,NE∥FM,
∴四边形MENF是平行四边形.
∵四边形ABCD是矩形,
∴AB=DC,∠A=∠D=90°.
∵M是AD的中点,
∴AM=DM,
∴△ABM≌△DCM(SAS),
∴BM=CM,
∴ME=MF,
∴四边形MENF是菱形.
(2)当AD=2AB时,四边形MENF是正方形.
∵四边形MENF是正方形,
∴∠EMF=90°.
又△ABM≌△DCM,
∴∠AMB=∠DMC=45°,
∴△ABM,△DCM为等腰直角三角形,
∴AM=DM=AB,
∴AD=2AB,
∴当AD=2AB时,四边形MENF是正方形.