数学八年级下册（2024）21.2 平行四边形第1课时精练

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一、基础巩固
1.下列条件能判定四边形ABCD是平行四边形的是( )
A.∠A∶∠B∶∠C∶∠D=1∶2∶2∶1
B.∠A∶∠B∶∠C∶∠D=2∶1∶1∶1
C.∠A∶∠B∶∠C∶∠D=1∶2∶3∶4
D.∠A∶∠B∶∠C∶∠D=2∶1∶2∶1
2.如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,若使四边形ABCD为平行四边形,则可以添加的一个条件是( )
A.AD=BCB.∠ABD=∠BDC
C.AB=ADD.∠A=∠C
3.如图,四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,若OA=OC,BD=16 cm,则当OB=__________ cm时,四边形ABCD是平行四边形.
4.如图,D是直线l外一点,在l上取两点A,B,连接AD,分别以点B,D为圆心,AD,AB的长为半径画弧,两弧交于点C,连接CD,BC,则四边形ABCD是平行四边形,理由是________________________________________.
5.如图,在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E,F分别在线段OA,OC上,且OB=OD,∠1=∠2,AE=CF.
(1)求证△BEO≌△DFO;
(2)求证:四边形ABCD是平行四边形.
二、能力提升
6.在▱ABCD中,E,F是对角线BD上的两点.下列条件中,不能得出四边形AECF是平行四边形的是( )
A.BE=DFB.AE=CF
C.AF∥CED.∠BAE=∠DCF
7.在同一平面内,有公共顶点的两个三角形,若其中一个三角形绕公共顶点旋转180°后与另一个三角形完全重合,则原来这两个三角形除公共顶点外的其余四个顶点顺次连接形成的四边形是__________.
8.如图,△ACD,△ABE,△BCF均为直线BC同侧的等边三角形.当AB≠AC时,求证:四边形ADFE是平行四边形.
三、思维拓展
9.在△ABC中,AB=AC,点D在边BC所在的直线上,过点D分别作DF∥AC,DE∥AB,分别交直线AB,AC于点F,E.
(1)探究问题:如图①,当点D在边BC上时,求证DE+DF=AC.
(2)类比探究:如图②,当点D在边BC的延长线上时,如图③,当点D在边BC的反向延长线上时,请分别写出图②、图③中DE,DF,AC之间的数量关系,并对图②的结论加以证明.
(3)实践应用:若AC=6,DE=4,则DF=__________.
图①
图②
图③
参考答案
1.D
2.D 解析 添加选项A,B,C中的条件均不能判定四边形ABCD是平行四边形.
选项D中,∵AB∥CD,
∴∠ABC+∠C=180°,
∵∠A=∠C,∴∠ABC+∠A=180°,
∴AD∥BC,
∴四边形ABCD是平行四边形.
3.8
4.两组对边分别相等的四边形是平行四边形
5.证明 (1)∵∠EOB与∠FOD是对顶角,
∴∠EOB=∠FOD.
在△BEO和△DFO中,∠1=∠2,OB=OD,∠EOB=∠FOD,
∴△BEO≌△DFO(ASA).
(2)由(1)知△BEO≌△DFO,
∴OE=OF.
∵AE=CF,∴OA=OC.
又OB=OD,
∴四边形ABCD是平行四边形.
6.B 解析 如图,连接AC,交BD于点O,
在▱ABCD中,OA=OC,OB=OD,
要使四边形AECF是平行四边形,只需证明OE=OF即可.
A.若BE=DF,则OB-BE=OD-DF,即OE=OF,故本选项不符合题意;
B.若AE=CF,则无法判断OE=OF,故本选项符合题意;
C.若AF∥CE,则能够利用“AAS”或“ASA”证明△AOF和△COE全等,从而得到OE=OF,故本选项不符合题意;
D.若∠BAE=∠DCF,则能够利用“ASA”证明△ABE和△CDF全等,从而得到BE=DF,进而得到OE=OF,故本选项不符合题意.
故选B.
7.平行四边形
8.证明 ∵△ABE,△BCF是等边三角形,
∴AB=BE=AE,BC=CF=FB,∠ABE=∠CBF=60°,
∴∠ABE-∠ABF=∠CBF-∠ABF,
∴∠FBE=∠CBA.
在△FBE和△CBA中,BF=BC,∠FBE=∠CBA,EB=AB,
∴△FBE≌△CBA(SAS).
∴EF=AC.
又△ADC是等边三角形,∴AD=AC.
∴EF=AD.
同理可得AE=DF.
∴四边形AEFD是平行四边形.
9.(1)证明 ∵DF∥AC,DE∥AB,
∴四边形AFDE是平行四边形,
∴DF=AE.
∵AB=AC,∴∠B=∠C.
∵DE∥AB,∴∠EDC=∠B,
∴∠EDC=∠C,
∴DE=EC,
∴DE+DF=EC+AE=AC.
(2)解 题图②:AC+DE=DF;
题图③:AC+DF=DE.
证明:∵DF∥AC,DE∥AB,
∴四边形AFDE是平行四边形,
∴AE=DF.
∵DE∥AB,∴∠B=∠BDE.
∵AB=AC,∴∠B=∠ACB.
∴∠BDE=∠ACB.
又∠DCE=∠ACB,
∴∠BDE=∠DCE,∴DE=CE,
∴AC+DE=AC+CE=AE=DF.
(3)2或10