高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册排列与组合表格教案

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册排列与组合表格教案，共6页。
课程基本信息
学科
高中数学
年级
高二
学期
秋季
课题
6.2.3 组合
教科书
书 名：数学选择性必修第三册
出版社：人民教育出版社 .3月
教学目标
1. 能通过对共性实际问题的抽象归纳概括出组合的定义，并能够用定义判断是不是组合问题.
2. 能说出排列与组合的区别与联系，并能在具体的问题中识别出排列问题和组合问题.
教学内容
教学重点：
1.教学重点：组合的定义
2.教学难点：将实际问题中的具体对象抽象为元素，得到组合的定义
教学过程
环节一 创设情境，引出问题
问题1 从甲、乙、丙3名同学中选2名去参加一项活动，有多少种不同的选法？
师生活动 学生在下列问题引导下进行分析回答：
（1）我们要完成一件什么事情？
（2）如何完成这件事情？
得到要完成的事情是“从3名同学中选出2名同学”.可以用一一列举去完成这件事，结果有“甲乙、甲丙、乙丙”.
追问1 这里“甲乙”和“乙甲”是同一种结果吗？为什么？问题1是排列问题吗？
师生活动 学生思考回答，“甲乙”和“乙甲”是同一种结果，因为只是选两人参加活动，不用考虑顺序，问题1不是排列问题.
追问2 问题1和教科书6.2.1中的“问题1：从甲、乙、丙3名同学中选取2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动，有几种不同的选法？”有什么区别和联系？
本节中的问题1只是选出2名同学作为一组，不需要考虑他们的顺序，不是排列问题；而6.2.1中的问题1，先选出2名同学，然后再把两个同学分配到上午和下午，是排列问题；相同之处是都是从3名同学中选出2名同学，本节问题1结果相当于6.2.1中的问题1中的“先取后排”的第一步结果，如图6.2-7所示.
设计意图 通过问题1的解决，和与6.2.1中问题1的比较，在具体问中感知排列与组合的关系，为抽象概括组合定义、理解一般排列与组合的异同做好铺垫.
环节二 抽象概括，形成概念
问题2 如果将本课时问题1中的同学叫做元素，那么还可以怎样阐述该问题？你能将它推广至一般情形吗？
师生活动 学生在教师引导下独立思考后回答，教师点评总结.
根据学生实际情况，教师可选择使用下列问题进行引导：
（1）回顾第1课时中将问题1表述为“从3个不同的元素中任意取出2个，并按一定顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？”那么本课时问题1应该如何表述？
（2）回顾第1课时中将问题2推广为“从n个不同元素中取出mm≤n个元素，并按一定顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？”类似地，如何将本课时问题1进行推广？
学生思考后回答如下：
（1）本课时问题1可以表述为“从3个不同的元素中任意取出2个并成一组，共有多少种不同的方法？”
（2）将本课时问题1推广到一般为“从n个不同元素中取出mm≤n个元素并成一组，共有多少种不同的方法？”
教师点评总结：这就是我们要研究的组合问题，定义如下：
组合定义：一般地，从n个不同元素中取出mm≤n个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.
相同组合：两个组合只要元素相同即为相同组合，与元素的顺序无关.
设计意图 通过把同学看作元素后的问题重新表述，去掉实际背景，将具体问题数学化，培养学生的数学抽象能力.
追问1 比较组合的概念与排列的概念，它们的联系与区别是什么？
师生活动 学生独立思考，教师抽学生回答，排列与组合的共同点和不同点.
共同点：两者都是从n个不同元素中取出mm≤n个不同的元素.
不同点：排列要取还需“排成一排”，与元素的顺序有关，组合只需取来“并成一组”，与元素的顺序无关，相当于排列中“先取后排”的第一步.
设计意图 通过组合与排列的联系与区别的辨析，理解组合的涵义，厘清排列与组合的关系，为组合数公式的学习做好准备.
练习1 校门口停放着9辆共享自行车，其中黄色、红色和绿色的各有3辆，下面的问题是排列问题，还是组合问题？
（1）从中选3辆，有多少种不同的方法？
（2）从中选3辆给3位同学有多少种不同的方法？
师生活动 教师引导学生根据排列、组合的定义，抓住是否有“顺序”这个关键解决问题，得到（1）是组合问题；（2）是排列问题.
追问2 你能举出一些组合的实际例子吗？
师生活动 让学生举出不同的具体实例，如到食堂打菜，选小组成员，书店买书等.并说明这些例子是否属于组合问题，增强对组合的认识.
设计意图 通过判断和举例，体会排列、组合问题中“顺序”差异的具体表现，认识到排列、组合问题与现实世界紧密相关.
环节三 例题练习，巩固概念
例5 平面内有A，B，C，D共4个点.
（1）以其中2个点为端点的有向线段共有多少条？
（2）以其中2个点为端点的线段共有多少条？
师生活动 根据学生实际情况，教师可以使用问题进行引导：这两个问题分别是什么问题类型（排列类或组合类）？为什么？你准备用什么方法求出这两个问题的答案？
学生分析回答：第（1）问是排列问题，第（2）问是组合问题.因为有向线段跟选出端点的顺序有关，交换两个端点的顺序是不同的有向线段；而线段跟选出端点的顺序无关，交换两个端点的顺序是相同的线段.第（1）问可以直接使用排列数公式得到答案为A42=4×3=12；第（2）问可以一一列举出来，它们分别是：AB，AC，AD，BC，BD，CD，因此“以其中2个点为端点的线段条数”共有6条.
追问1 对于“以其中2个点为端点的线段条数”这一问题，使用列举法可以求出，但很麻烦，根据前面排列的学习经验，你认为下一步探究的方向是什么？
师生活动 学生思考，下一步应该要用简化的思想表述组合个数，探究计算组合个数的公式.
追问2 以“元素相同”为标准分类，借助排列“先取后排”的思路，建立（2）中组合与（1）中排列之间的对应关系如图6.2-8所示.
你能借助这种对应关系，解释（1）的答案为什么是（2）的答案的2倍吗？
师生活动 学生思考，一个组合有两个元素，两个元素的排列数是2，这就是2倍的原因，即A42=6×2!，因此还可以利用排列来倒推组合的个数，即A422!=6.
设计意图 通过实例去感受排列与组合的联系与区别，帮助学生巩固组合的定义，同时也为组合数公式的发现与推导做好铺垫.
练习2 甲、乙、丙、丁4支足球队举行单循环比赛.
（1）列出所有各场比赛的双方；
（2）列出所有冠、亚军的可能情况.
师生活动 学生在教师引导下，独立完成后进行交流，教师点评指导.
（1）所有各场比赛的双方：甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁，共6种.
（2）所有冠、亚军的可能情况有A42=12种选法.
设计意图 再次强化巩固排列与组合的关系.
环节四 回顾反思，总结拓展
问题3 回顾本节课所学内容，并回答下列问题：
（1）什么是组合？如何区分一个问题是排列问题还是组合问题？
（2）组合与排列的关系是什么？你认为探究一个组合问题的所有组合个数的计算公式该从什么地方入手？
师生活动 学生根据上述问题进行思考回答，教师点评总结.
（1）一般地，从n个不同元素中取出mm≤n个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.排列需“排成一排”，与元素的顺序有关，交换两个元素的顺序后是不同结果；组合只需“并成一组”，与元素的顺序无关，交换两个元素的顺序后是同一种结果.所以区分组合与排列的关键在于：是否有“顺序”.
（2）组合与排列的共同点是都要从n个不同元素中取出mm≤n个元素，解排列问题除了可以“边取边排”，也可以“先取后排”，因此排列中蕴含了组合，目前我们采用的是一一列举的方法求一个组合问题的所有组合个数，显然有局限，我们可以从排列与组合的关系出发探究并推导出求组合数的公式.
设计意图 通过回顾本节课所学内容，完善学生的知识结构，并为下一节课的研究提供方法和方向.
环节五 目标检测，检验效果
教科书第22~23页练习第2、3题.
设计意图 通过检测，强化列举法在解决排列组合基础题目中的基础作用，进一步让学生感受组合中元素“无序”的多种表现形式.
环节六 布置作业，应用迁移
作业：教科书第26页习题6.2第3、4、7题.
设计意图 第3、7题考查学生对组合定义的理解，第4题是考查学生对排列、组合的识别与应用.