高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册排列与组合表格教案

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册排列与组合表格教案，共6页。
课程基本信息
学科
（数学）
年级
（高二）
学期
(春季)
课题
(排列数（第一课时）)
教科书
书 名：选择性必修第三册
出版社：人民教育出版社 .3月
教学目标
1. 能在排列基础上给出排列数的定义和表示，并能区别排列与排列数。
2. 通过利用计数原理分析和解决具体的排列问题，得到排列数公式，并能利用公式求具体问题的排列数。
3. 通过借助具体问题的分析，提升学生的逻辑推理能力和数学运算能力.
教学内容
教学重点：
1. 排列数公式。
教学难点：
1. 排列数公式的推导和应用。
教学过程
一.公式引入
前面我们学习了排列的概念，那么从n个不同的元素中任取m个（m≤n)元素的排列总数是多少呢？我们不妨先从一些特殊的问题开始探究.
问题1： 从甲、乙、丙三名同学中选出2人参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动，有几种不同的选法？.
师生活动：
可以分两个步骤：
第1步，确定参加上午活动的同学，从3人中任选1人，有3种选法；
第2步，确定参加下午活动的同学，当参加上午活动的同学确定后，参加下午活动的同学只能从剩下的2人中去选，有2种选法.
根据分步乘法计数原理，不同的选法种数为3×2=6.
这6种不同的选法如图所示：
3种 2种
第1位 第2位
3种 2种
上午 下午
（位置分析法）
问题2： 从1,2,3,4这4个数字中选出3个能构成多少个无重复数字的三位数？
师生活动：
可以分三个步骤来解决这个问题：
第1步，确定百位上的数字，从1，2，3，4这4个数字中任取1个，有4种方法；
第2步，确定十位上的数字，当百位上的数字确定后，十位上的数字只能从余下的3个数字中去取，有3种方法；
第3步，确定个位上的数字，当百位、十位上的数字确定后，个位的数字只能从余下的2个数字中去取，有2种方法.
根据分步乘法计数原理，从1，2，3，4这4个不同的数字中，每次取出3个数字按“百位、十位、个位”的顺序排成一列，不同的排列方法种数为4×3×2=24.因而共可得到24个不同的三位数. 如图所示.
由此可写出所有的三位数：
123，124，132，134，142，143，213，214，231，234，241，243，312，314，321，324，341，342，412，413，421，423，431，432.
（位置分析法）
4种 3种 2种
百位 十位 个位
4种 3种 2种
第1位 第2位 第3位
问题3： 以上涉及到的这些具体问题有什么共同特征？
3种 2种
第1位 第2位
4种 3种 2种
第1位 第2位 第3位
师生活动：

共同特征：问题1中提炼：从3个不同的元素中任取2个元素的排列总数为6.
问题2中提炼：从4个不同的元素中任取3个元素的排列总数为24.
一般地：从n个不同的元素中任取m个（m≤n)不同元素的所有排列个数：排列数定义
排列数的定义和表示：把从 个不同元素中取出个元素的所有不同排列的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的排列数，并用符号表示. A是英文arrangement(排列)的第一个字母.
追问:排列数与排列有何区别？
排列数与排列的区别:
排列：从个不同元素中取出个元素，并按照一定的顺序排成一列，它不是数；排列数是所有排列的个数，它是一个数.
设计意图：结合6.2.1节已解决的问题1、问题2，在排列基础上给出排列数的定义和表示，并与相似的排列概念作对比，为引入排列数公式作铺垫.突出位置分析法，为推导排列数公式作铺垫.
二．公式推导
问题4：一般地，从个不同元素中取出个元素的排列数是多少呢？
从特殊情况开始探究，请结合2个具体实例说明你的研究思路和结果.
师生活动：
研究思路和结果：1. 假定有排好顺序的两个空位.
2.从3个不同元素中取出2个元素去填空,一个空位填上一个元素.
3种 2种
第1位 第2位
3.每一种填法就对应一个排列；
4.反之，任何一种排列总可以由这种填法得到.
因此，所有不同填法的种数就是排列数，
同理
问题5：如何从两个特殊排列数推广到 和？
师生活动： ：教师先引导学生根据前面求排列数的经验,求出排列数,解决问题的关键是：假定有排好顺序的两个空位，从n个不同元素中取出2个元素去填空,一个空位填上一个元素,每一种填法就对应一个排列；反之，任何一种排列总可以由这种填法得到.因此，所有不同填法的种数就是排列数，利用分布乘法计数原理计算填法的种数，得到 .
再让学生按照同样的方法，发现求排列数，可以按依次填3个空位来考虑，得出 .
追问：你能类比求排列数和的方法，求排列数吗?

师生活动：教师先引导学生根据前面求排列数和的经验，得到:假定有排好顺序的m个空位，从n个不同元素中取出m个元素去填空，一个空位填上一个元素，每一种填法就对应一个排列.因此，所有不同填法的种数就是排列数.利用分步乘法计数原理计算填法的种数，得到排列数公式.
设计意图:通过利用计数原理求出具体问题的排列数，从特殊到一般，将具体排列数的结果归纳为一般形式，从而得出排列数公式.
三.公式的辨析
问题7：上述排列数公式有什么特点?
师生活动：教师引导学生进行以下活动:
(1)观察公式的右边，共有几个因数？各因数的大小有什么规律？
公式的右边是m个连续正整数的连乘积；
(2)比较与的大小关系，并说明公式右边的最后一个因数有什么特点?
连乘积中最大因数为n，后面依次减1，最小因数是(n－m＋1).
(3)利用排列数公式，计算并由此给出阶乘的概念.

1. 全排列：把n个不同元素全部取出的一个排列叫做n个元素的一个全排列 .
全排列数为:
2.阶乘：正整数1到n的连乘积称为n的阶乘，用表示, 即，
规定
设计意图：通过辨析公式，把握公式的特点，以便更好地记忆公式，加深对公式的理解.并给出全排列和阶乘的概念.
四.公式的应用
例3. 计算：(1) ; (2) ; (3) (4) .
师生活动：教师引导学生思考:
(1)利用排列数公式求各排列数时，和的值分别是多少?右边的因数分别有几个?最后一个因数是几?
（2）如何求 ？
师生共同计算出结果: ;，
即
问题8：观察这两个结果，从中发现它们的共性了吗?能否将它进行推广?
师生活动：推广得到公式，并加以证明.
排列数公式的连乘形式

排列数公式的阶乘形式
设计意图：通过利用公式求排列数，以把握公式的结构，加深对公式的理解，并通过对所求结果共性的归纳总结，得到排列数公式的另一种形式.
追问：能否以现实生活为背景，以例3的或或为所研究问题的方法数，编几道应用题？（分4个小组讨论，每组一个代表发言）
师生活动：可能得到如下应用题
（1）从个同学中任选出3个人站一排拍照，有多少种不同的排法？（）
（2）一个火车站有7股岔道，如果每股道只能停放1列火车，现要停放3列不同的火车，共有多少种不同停放方法（）
（3）个人排成一列，其中甲乙丙丁4人从矮到高顺序不变，有多少种不同的排法？（）
（4）从7人中选出3个人排第一排，剩下4个人排第二排，有多少种不同的排法？（） 注意：多排采用单排法
设计意图： 数学来源于生活，用于生活，通过自己编题更加理解公式和巩固公式，提高分析和解决问题的能力，发展数学运算和数学建模的素养.
例4．用这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？
追问：（1）这是不是一个排列问题? 是
师生活动：
（1）分析：在这10个数字中，因为0不能在百位上，而其他9个数字可以在任意数位上，因此0是一个特殊的元素. 一般地，我们可以从特殊元素的位置入手来考虑问题.
（2）解题思路：引导学生分别 = 1 \* GB3 ①按“百位数字不能是0” = 2 \* GB3 ②“0是否出现及出现的位置”
= 3 \* GB3 ③“用从10个数中取出3个数的排列数减去其中百位是0的排列数”，
给出三种解法，其中前两种是直接法，第三种是间接法.
解法1：由于三位数的百位上的数字不能是0，所以可以分两步完成：
第1步，确定百位上的数字，可以从这9个数字中取出1个，有种取法；
第2步，确定十位和个位上的数字，可以从剩下的9个数字中取出2个，有种取法.
根据分步乘法计数原理，所求的三位数的个数为：
解法2：如图所示，符合条件的三位数可以分成三类：
第1类，每一位数字都不是0的三位数，可以从1~9这9个数字中取出3个，有种取法，
第2类，个位上的数字是0的三位数，可以从剩下的9个数字中取出2个放在百位和十位，有种取法，第3类，十位上的数字是0的三位数，可以从剩下的9个数字中取出2个放在百位和个位，有种取法.根据分类加法计数原理，所求三位数的个数为
解法3：从0~9这10个数字中选取3个的排列数为,其中0在百位上的排列数为，
它们的差就是用这10个数组成的没有重复数字的三位数的个数，
即所求三位数的个数为
追问：根据例4，你能归纳出求排列问题的一般步骤吗？
步骤:①判断排列问题;②根据计数原理给出用排列数符号表示的运算式子；③利用排列数公式求出结果.
追问：根据例4，你能总结排列问题的一般方法吗？
方法归纳：带有限制条件的排列问题：“特殊”优先原则
位置分析法：以位置为主，优先考虑特殊位置.
直接法
元素分析法：以元素为主，优先考虑特殊元素.
间接法：先不考虑限制条件，计算出来所有排列数，再从中减去全部不符合条件的排列数，从而得出符合条件的排列数
设计意图：通过应用公式解决问题，及时巩固排列数公式，形成解决排列问题的一般方法.
变式1：用这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数且是偶数有多少种？
变式2：用这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数且是奇数有多少种？
五．课堂小结
教师引导学生回顾本节课学习的主要内容，并让学生回答下列问题:
1.提出一个排列问题，并结合问题说明排列与排列数的区别
例如：问题1中，甲乙是一个排列，排列数为6
2.排列数公式是如何推导的?
从特殊到一般，利用位置分析法得到
3.解决排列问题有哪些方法?
(1)直接法：①位置分析法，②元素分析法
(2)间接法
4.应用排列数公式时需要注意什么?
连乘形式和阶乘形式选择，
设计意图：通过问题形式，明确排列数的概念，回顾排列数公式的推导，总结解决排列问题的一般方法.
六．作业