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人教A版 (2019)选择性必修 第三册6.2 排列与组合优质学案设计
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这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第三册6.2 排列与组合优质学案设计，文件包含人教A版数学高二选择性必修第三册623组合导学案原卷版docx、人教A版数学高二选择性必修第三册623组合导学案解析版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共18页， 欢迎下载使用。
1. 理解组合、组合数的概念及组合和排列之间的区别与联系；
2. 能利用计数原理推导组合数公式，并熟练掌握组合数公式及组合数的性质，能运用组合数的性质化简、计算、证明；
3. 能运用排列数公式、组合数公式和计数原理解决一些简单的应用问题，提高数学应用能力和分析问题、解决问题的能力.
重点难点
重点：双曲线的定义及双曲线的标准方程
难点：运用双曲线的定义及标准方程解决相关问题
课前预习 自主梳理
知识点一 组合及组合数的定义
1．组合
一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 ，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
2．组合数
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的 ，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号 表示．
知识点二 排列与组合的关系
知识点三 组合数公式
规定：Ceq \\al(0,n)＝1.
知识点四 组合数的性质
性质1：Ceq \\al(m,n)＝Ceq \\al(n－m,n).
性质2：Ceq \\al(m,n＋1)＝Ceq \\al(m,n)＋Ceq \\al(m－1,n).
自主检测
1.判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1)从3,5,7,11中任取两个数相除属于组合问题.( )
(2)由于组合数的两个公式都是分式,所以结果不一定是整数.( )
(3)区别组合与排列的关键是看问题元素是否与顺序有关.( )
（4）从a1，a2，a3三个不同元素中任取两个元素作为一组是组合问题．( )
（5）“abc”“acb”与“bac”是三种不同的组合．( )
（6）组合数Ceq \\al(3,5)＝eq \f(A\\al(3,5),A\\al(3,3)).( )
（7）两个组合相同，则其对应的元素一定相同．( )
2.甲、乙两名同学从生物、地理、政治、化学中各选两门进行学习，若甲、乙不能同时选生物，则甲、乙总的选法种数有（ ）
A．B．C．D．
3.小王同学家3楼与4楼之间有8个台阶，已知小王一步可走一个或两个台阶，那么他从3楼到4楼不同的走法总数为（ ）
A．28种B．32种C．34种D．40种
4.从甲乙等名同学中随机选名参加社区服务工作，则甲乙不同时入选有（ ）种情况
A．B．C．D．
5.以下四个问题，属于组合问题的是（ ）
A．从3个不同的小球中，取出2个排成一列
B．老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌
C．在电视节目中，主持人从100位幸运观众中选出2名幸运之星
D．从13位司机中任选出两位开同一辆车往返甲、乙两地
新课导学
学习探究
环节一 创设情境，引入课题
问题1. 从甲乙丙三名同学中选两名去参加一项活动，有多少种不同的选法？这一问题与6.2.1节问题一有什么联系与区别？
本节问题1中的所有选法有3种情况：甲乙，甲丙，乙 丙.选法与顺序无关.
6.2.1节问题1中的所有选法有6种情况：甲乙，乙甲， 甲丙，丙甲，乙丙，丙乙.选法与顺序有关.
分析：在6.2.1节问题1的6种选法中，存在“甲上午、乙下午”和“乙上午、甲下午”2种不同顺序的选法，我们可以将它看成是先选出甲、乙2名同学，然后再分配上午和下午而得到的．同样，先选出甲、丙或乙、丙，再分配上午和下午也都各有2种方法．而从甲、乙、丙3名同学中选2名去参加一项活动，就只需考虑将选出的2名同学作为一组，不需要考虑他们的顺序．于是，在6.2.1节问题1的6种选法中，将选出的2名同学作为一组的选法就只有如下3种情况：．
甲乙，甲丙，乙丙．
将具体背景舍去，上述问题可以概括为：
从3个不同元素中取出2个元素作为一组，一共有多少个不同的组?
这就是我们要研究的问题．
环节二 观察分析，感知概念
问题2：6.2.1节中的问题1可归结为“从3个不同的 元素中任意取出2个，并按一定的顺序排成一列，共有多 少种不同的排列方法?”类似地，应该如何表述本节问题 1呢？
(1)在6. 2.1节中，把问题1归结为“从3个不同的元素中任意取出2个，并按一定的顺序 排成一列，共有多少种不同的排列方法?”类似地，应该如何表述本节问题1呢？
(2)在6. 2.1节中，把问题1和问题2推广为一般形式“从个不同元素中取出个元素，并按一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法?”类似地，应该如何将本节问题1推广到一般情形呢？
在问题2的基础上，给出组合的定义：
环节三 抽象概括，形成概念
组合的相关概念
1.组合:一般地，从个不同元素中取出个元素作为一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合(cmbinatin)．
2.相同组合:两个组合只要元素相同,不论元素的顺序如何,都是相同的.
设计意图：类比排列概念的形成，从特殊到一般得出组合的概念.
问题3：你能说一说排列与组合之间的联系与区别吗？
(1)列出6. 2.1节问题1中相同元素的排列，这样的排列共有几组？
(2)对比本节问题1与6. 2. 1节问题1,它们所取的元素是否相同？它们与顺序是否有关? 本节问题1的组合个数与6. 2.1节问题1的排列数有何关系？
（3）“从〃个不同元素中取出加个元素的组合”与“从〃个不同元素中取出相个元素的排列”的联系与区别分别是什么？
(1)共同点:两者都是从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素.
(2)不同点:排列与元素的顺序有关,组合与元素的顺序无关.
环节四 辨析理解，深化概念
从排列与组合的定义可以知道，两者都是从个不同元素中取出个元素，这是它们的共同点．但排列与元素的顺序有关，而组合与元素的顺序无关．只有元素相同且顺序也相同的两个排列才是相同的；而两个组合只要元素相同，不论元素的顺序如何，都是相同的．例如，在上述探究问题中，“甲乙”与“乙甲”的元素完全相同，但元素的排列顺序不同，因此它们是相同的组合，但不是相同的排列．由此，以“元素相同”为标准分类，就可以建立起排列和组合之间的对应关系，如图6.2-7所示．
由此，6.2.1节问题1的6个排列可以分成每组有2个不同排列的3个组，也就是上面探究问题的3个组合．
思考：校门口停放着9辆共享自行车，其中黄色、红色和绿色的各有3辆．下面的问题是排列问题，还是组合问题?
（1）从中选3辆，有多少种不同的方法?
（2）从中选3辆给3位同学，有多少种不同的方法?
（1）与顺序无关，是组合问题；
（2）选出3辆给3位同学是有顺序的，是排列问题。
环节五 概念应用，巩固内化
例5平面内有A，B，C，D共4个点
（1）以其中2个点为端点的有向线段共有多少条?
（2）以其中2个点为端点的线段共有多少条?
（1）要完成的“一件事情”是什么？
（2）完成的“一件事情”是否与“顺序”有关？
问题4：利用排列和组合之间的关系，以“元素相同” 为标准分类，你能建立起例5（1）中排列和（2）中组合之间的对应关系吗？
进一步地，能否从这种对应关系出发，由排列数求出组合的个数？
环节六 归纳总结,反思提升
1.教师引导学生回顾本节课所学知识，并让学生结合实 例说明：
(1)如何判断一个计数问题是排列问题还是组合问题？
(2)如何求一个组合问题的所有组合个数？组合个数与排列个数的关系是什么？
2.知识清单：
(1)组合与组合数的定义．
(2)排列与组合的区别与联系．
(3)用列举法写组合．
环节七目标检测，作业布置
完成教材：教科书第26页习题6.2第4,7题.
备用练习
1.某人上班从家到单位的路上途经6个红绿灯路口，遇到4次绿灯，2次红灯，则2次红灯不相邻的情况有多少种（ ）
A．5B．10C．15D．30
2.将4个不加区分的红球和2个不加区分的黄球随机排一行，则2个黄球不相邻的概率为（ ）
A．B．C．D．
3.甲、乙、丙3人站到共有6级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法总数是（ ）
A．90B．120C．210D．216
4.将4个6和2个8随机排成一行，则2个8不相邻的情况有（ ）
A．480种B．240种C．15种D．10种
5.现安排编号分别为1，2，3，4的四位抗疫志愿者去做三项不同的工作，若每项工作都需安排志愿者，每位志愿者恰好安排一项工作，且编号为相邻整数的志愿者不能被安排做同一项工作，则不同的安排方法数为（ ）
A．36B．24C．18D．12
相同点
两者都是从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素
不同点
排列问题中元素有序，组合问题中元素无序
关系
组合数Ceq \\al(m,n)与排列数Aeq \\al(m,n)间存在的关系
Aeq \\al(m,n)＝
组合数
公式
乘积
形式
Ceq \\al(m,n)＝eq \f(nn－1n－2…n－m＋1,m！)，
其中m，n∈N*，并且m≤n
阶乘
形式
Ceq \\al(m,n)＝eq \f(n！,m！n－m！)
1. 理解组合、组合数的概念及组合和排列之间的区别与联系；
2. 能利用计数原理推导组合数公式，并熟练掌握组合数公式及组合数的性质，能运用组合数的性质化简、计算、证明；
3. 能运用排列数公式、组合数公式和计数原理解决一些简单的应用问题，提高数学应用能力和分析问题、解决问题的能力.
重点难点
重点：双曲线的定义及双曲线的标准方程
难点：运用双曲线的定义及标准方程解决相关问题
课前预习 自主梳理
知识点一 组合及组合数的定义
1．组合
一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 ，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
2．组合数
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的 ，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号 表示．
知识点二 排列与组合的关系
知识点三 组合数公式
规定：Ceq \\al(0,n)＝1.
知识点四 组合数的性质
性质1：Ceq \\al(m,n)＝Ceq \\al(n－m,n).
性质2：Ceq \\al(m,n＋1)＝Ceq \\al(m,n)＋Ceq \\al(m－1,n).
自主检测
1.判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1)从3,5,7,11中任取两个数相除属于组合问题.( )
(2)由于组合数的两个公式都是分式,所以结果不一定是整数.( )
(3)区别组合与排列的关键是看问题元素是否与顺序有关.( )
（4）从a1，a2，a3三个不同元素中任取两个元素作为一组是组合问题．( )
（5）“abc”“acb”与“bac”是三种不同的组合．( )
（6）组合数Ceq \\al(3,5)＝eq \f(A\\al(3,5),A\\al(3,3)).( )
（7）两个组合相同，则其对应的元素一定相同．( )
2.甲、乙两名同学从生物、地理、政治、化学中各选两门进行学习，若甲、乙不能同时选生物，则甲、乙总的选法种数有（ ）
A．B．C．D．
3.小王同学家3楼与4楼之间有8个台阶，已知小王一步可走一个或两个台阶，那么他从3楼到4楼不同的走法总数为（ ）
A．28种B．32种C．34种D．40种
4.从甲乙等名同学中随机选名参加社区服务工作，则甲乙不同时入选有（ ）种情况
A．B．C．D．
5.以下四个问题，属于组合问题的是（ ）
A．从3个不同的小球中，取出2个排成一列
B．老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌
C．在电视节目中，主持人从100位幸运观众中选出2名幸运之星
D．从13位司机中任选出两位开同一辆车往返甲、乙两地
新课导学
学习探究
环节一 创设情境，引入课题
问题1. 从甲乙丙三名同学中选两名去参加一项活动，有多少种不同的选法？这一问题与6.2.1节问题一有什么联系与区别？
本节问题1中的所有选法有3种情况：甲乙，甲丙，乙 丙.选法与顺序无关.
6.2.1节问题1中的所有选法有6种情况：甲乙，乙甲， 甲丙，丙甲，乙丙，丙乙.选法与顺序有关.
分析：在6.2.1节问题1的6种选法中，存在“甲上午、乙下午”和“乙上午、甲下午”2种不同顺序的选法，我们可以将它看成是先选出甲、乙2名同学，然后再分配上午和下午而得到的．同样，先选出甲、丙或乙、丙，再分配上午和下午也都各有2种方法．而从甲、乙、丙3名同学中选2名去参加一项活动，就只需考虑将选出的2名同学作为一组，不需要考虑他们的顺序．于是，在6.2.1节问题1的6种选法中，将选出的2名同学作为一组的选法就只有如下3种情况：．
甲乙，甲丙，乙丙．
将具体背景舍去，上述问题可以概括为：
从3个不同元素中取出2个元素作为一组，一共有多少个不同的组?
这就是我们要研究的问题．
环节二 观察分析，感知概念
问题2：6.2.1节中的问题1可归结为“从3个不同的 元素中任意取出2个，并按一定的顺序排成一列，共有多 少种不同的排列方法?”类似地，应该如何表述本节问题 1呢？
(1)在6. 2.1节中，把问题1归结为“从3个不同的元素中任意取出2个，并按一定的顺序 排成一列，共有多少种不同的排列方法?”类似地，应该如何表述本节问题1呢？
(2)在6. 2.1节中，把问题1和问题2推广为一般形式“从个不同元素中取出个元素，并按一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法?”类似地，应该如何将本节问题1推广到一般情形呢？
在问题2的基础上，给出组合的定义：
环节三 抽象概括，形成概念
组合的相关概念
1.组合:一般地，从个不同元素中取出个元素作为一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合(cmbinatin)．
2.相同组合:两个组合只要元素相同,不论元素的顺序如何,都是相同的.
设计意图：类比排列概念的形成，从特殊到一般得出组合的概念.
问题3：你能说一说排列与组合之间的联系与区别吗？
(1)列出6. 2.1节问题1中相同元素的排列，这样的排列共有几组？
(2)对比本节问题1与6. 2. 1节问题1,它们所取的元素是否相同？它们与顺序是否有关? 本节问题1的组合个数与6. 2.1节问题1的排列数有何关系？
（3）“从〃个不同元素中取出加个元素的组合”与“从〃个不同元素中取出相个元素的排列”的联系与区别分别是什么？
(1)共同点:两者都是从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素.
(2)不同点:排列与元素的顺序有关,组合与元素的顺序无关.
环节四 辨析理解，深化概念
从排列与组合的定义可以知道，两者都是从个不同元素中取出个元素，这是它们的共同点．但排列与元素的顺序有关，而组合与元素的顺序无关．只有元素相同且顺序也相同的两个排列才是相同的；而两个组合只要元素相同，不论元素的顺序如何，都是相同的．例如，在上述探究问题中，“甲乙”与“乙甲”的元素完全相同，但元素的排列顺序不同，因此它们是相同的组合，但不是相同的排列．由此，以“元素相同”为标准分类，就可以建立起排列和组合之间的对应关系，如图6.2-7所示．
由此，6.2.1节问题1的6个排列可以分成每组有2个不同排列的3个组，也就是上面探究问题的3个组合．
思考：校门口停放着9辆共享自行车，其中黄色、红色和绿色的各有3辆．下面的问题是排列问题，还是组合问题?
（1）从中选3辆，有多少种不同的方法?
（2）从中选3辆给3位同学，有多少种不同的方法?
（1）与顺序无关，是组合问题；
（2）选出3辆给3位同学是有顺序的，是排列问题。
环节五 概念应用，巩固内化
例5平面内有A，B，C，D共4个点
（1）以其中2个点为端点的有向线段共有多少条?
（2）以其中2个点为端点的线段共有多少条?
（1）要完成的“一件事情”是什么？
（2）完成的“一件事情”是否与“顺序”有关？
问题4：利用排列和组合之间的关系，以“元素相同” 为标准分类，你能建立起例5（1）中排列和（2）中组合之间的对应关系吗？
进一步地，能否从这种对应关系出发，由排列数求出组合的个数？
环节六 归纳总结,反思提升
1.教师引导学生回顾本节课所学知识，并让学生结合实 例说明：
(1)如何判断一个计数问题是排列问题还是组合问题？
(2)如何求一个组合问题的所有组合个数？组合个数与排列个数的关系是什么？
2.知识清单：
(1)组合与组合数的定义．
(2)排列与组合的区别与联系．
(3)用列举法写组合．
环节七目标检测，作业布置
完成教材：教科书第26页习题6.2第4,7题.
备用练习
1.某人上班从家到单位的路上途经6个红绿灯路口，遇到4次绿灯，2次红灯，则2次红灯不相邻的情况有多少种（ ）
A．5B．10C．15D．30
2.将4个不加区分的红球和2个不加区分的黄球随机排一行，则2个黄球不相邻的概率为（ ）
A．B．C．D．
3.甲、乙、丙3人站到共有6级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法总数是（ ）
A．90B．120C．210D．216
4.将4个6和2个8随机排成一行，则2个8不相邻的情况有（ ）
A．480种B．240种C．15种D．10种
5.现安排编号分别为1，2，3，4的四位抗疫志愿者去做三项不同的工作，若每项工作都需安排志愿者，每位志愿者恰好安排一项工作，且编号为相邻整数的志愿者不能被安排做同一项工作，则不同的安排方法数为（ ）
A．36B．24C．18D．12
相同点
两者都是从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素
不同点
排列问题中元素有序，组合问题中元素无序
关系
组合数Ceq \\al(m,n)与排列数Aeq \\al(m,n)间存在的关系
Aeq \\al(m,n)＝
组合数
公式
乘积
形式
Ceq \\al(m,n)＝eq \f(nn－1n－2…n－m＋1,m！)，
其中m，n∈N*，并且m≤n
阶乘
形式
Ceq \\al(m,n)＝eq \f(n！,m！n－m！)
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