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高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册第六章 计数原理6.2 排列与组合教案
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这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册第六章 计数原理6.2 排列与组合教案，共8页。教案主要包含了组合的相关概念，组合数与组合数公式，达标检测等内容，欢迎下载使用。
教学设计
课题
组合与组合数
教学目标
知识目标
理解并掌握组合、组合数的概念,掌握组合与排列之间的联系与区别.
能力目标
熟练掌握组合数公式及组合数的两个性质,并运用于计算之中；能够运用排列组合公式及计数原理解决一些简单的应用问题,提高学生的数学应用能力与分析问题、解决问题的能力.
情感目标
通过学习，增强逻辑，提升对数学学习的兴趣，增强自主学习、自主探究的意识.
教学重点
组合、组合数的概念并运用排列组合公式解决问题
教学难点
组合与排列之间的联系与区别
教学准备
教师准备：多媒体课件、教材习题
学生准备：教材习题、错题本
教学过程
问题探究
问题1. 从甲乙丙三名同学中选两名去参加一项活动，有多少种不同的选法？这一问题与6.2.1节问题一有什么联系与区别？
分析：在6.2.1 节问题1的6种选法中，存在“甲上午，乙下午”和“甲上午，乙下午” 2种不同顺序的选法，我们可以将它看成先选出甲、乙两名同学，然后再分配上午和下午而得到的.同样，先选出甲、丙、或乙、丙，再分配上午和下午也各有2种方法.从而甲、乙、丙3名同选2名去参加一项活动，就只需考虑选出的2名同学作为一组，不需要考虑他们的顺序。于是，在6.2.1节问题1的6种选法中，将选出的2名同学作为一组的选法就只有如下3种情况：
甲乙、甲丙、乙丙.
从三个不同元素中取出两个元素作为一组一共有多少个不同的组？
一、组合的相关概念
1.组合:一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.
2.相同组合:两个组合只要元素相同,不论元素的顺序如何,都是相同的.
名师点析排列与组合的区别与联系
(1)共同点:两者都是从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素.
(2)不同点:排列与元素的顺序有关,组合与元素的顺序无关.
1.校门口停放着9辆共享自行车，其中黄色、红色和绿色的各有3辆，下面的问题是排列问题，还是组合问题？
（1）从中选3辆，有多少种不同的方法？
（2）从中选2辆给3位同学有多少种不同的方法？
（1）与顺序无关，是组合问题；
（2）选出2辆给3位同学是有顺序的，是排列问题。
例5.平面内有A，B，C，D共4个点.
（1）以其中2个点为端点的有向线段共有多少条？
（2）以其中2个点为端点的线段共有多少条？
分析：（1）确定一条有向线段，不仅要确定两个端点，还要考虑他们的顺序是排列问题；（2）确定一条线段，只需确定两个端点，而不需要考虑它们的顺序是组合问题.
解：（1）一条有向线段的两个端点，要分起点和终点，以平面内4个点中的2个为端点的有向线段条数，就是从4个不同元素中取出2个元素的排列数，即有向线段条数为A42=4×3=12.这12条有向线段分别为
AB , BA, AC , CA, AD , DA, BC , CB, BD, DB , CD, DC .
（2）由于不考虑两个端点的顺序，因此将（1）中端点相同、方向不同的2条有向线段作为一条线段，就是中平面内4个点中的2个点为端点的线段的条数，共有如下6条： AB,AC,AD,BC,BD,CD.
问题2：利用排列和组合之间的关系，以“元素相同” 为标准分类，你能建立起例5（1）中排列和（2）中组合之间的对应关系吗？
进一步地，能否从这种对应关系出发，由排列数求出组合的个数？
二、组合数与组合数公式
1.组合数的定义:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数,
叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数,
用符号Cnm 表示.
例如，从3个不同元素中取出2个元素的组合数，表示为C32，
从4个不同元素中取出3个元素的组合数，表示为C42.
思路：从4个不同元素中取出3个元素的组合数C43，设这4个元素为a,b,c,d，那么从中取出3个元素的排列数A43 =24，以“元素相同”为标准将这24个排列分组如图，一共有4组，因此组合数C43 =4.
问题3：前面已经提到，组合和排列有关系，我们能否利用这种关系，由排列数Anm来求组合数Cnm呢？
也可以这样理解，求“从4个元素中取出3个元素的排列数A43”
第1步，从4个元素中取出3个元素作为一组，共有C43种不同的取法；
第2步，将取出的3个元素做全排列，共有A33种不同的取法.
于是，根据分布乘法计数原理有A43=C43∙A33即C43=A43A33=4.
同样的从n个不同对象中取出m个做排列，可以分成两个步骤完成，第一步从n个不同对象中取出 m个，有Cnm种选法；
第二步将选出的m 个对象做全排列，有Amm种排法.
由分步乘法计数原理有Anm=Cnm ×Amm，所以
Cnm =AnmAmm=nn-1…[n-(m-1)]m×m-1×…×2×1=n!n-m!m!
上述公式称为组合数公式.
2.组合数公式:Cnm=AnmAmm=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)m!=n!m!(n-m)!,这里n,m∈N*,并且m≤n.
另外,我们规定Cn0=1.
二、典例解析
例6.计算：
（1）C103；（2）C107；（3）C1010；（4）C100.
解:根据组合数公式，可得
C103= A103A33=10×9×83×2×1 =120;
C107 =10!7!10-7!=10×9×8×77!×3!=120；
C1010= A1010A1010=10!10!=1;
C100=1;
观察例6的（1）与（2），（3）与（4）的结果，你有什么发现？（1）与（2）分别用了不同形式的组合数公式，你对公式的选择有什么想法？
1.公式Cnm=AnmAmm=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)m!(m,n∈N*,且m≤n),一般用于求值计算.
2.公式Cnm=n!m!(n-m)!(m,n∈N*,且m≤n),一般用于化简证明.在具体选择公式时,要根据题目特点正确选择.
3.根据题目特点合理选用组合数的两个性质Cnm=Cnn-m,Cn+1m=Cnm+Cnm-1,能起到简化运算的作用,需熟练掌握.
跟踪训练1. (1)计算:①3C83-2C52+C88;②C10098+C200199.
(2)求证:Cnm+1+Cnm-1+2Cnm=Cn+2m+1.
分析:(1)先考虑利用组合数的性质对原式进行化简,再利用组合数公式展开计算.(2)式子中涉及字母,可以用阶乘式证明.
(1)解:①3C83-2C52+C88=3×8×7×63×2×1-2×5×42×1+1=149.
②C10098+C200199=C1002+C2001=100×992×1+200=5 150.
(2)证明左边=n!(m+1)!(n-m-1)!+n!(m-1)!(n-m+1)!+2·n!m!(n-m)!
=n!(m+1)!(n-m+1)!·[(n-m)(n-m+1)+m(m+1)+2(m+1)(n-m+1)]
=n!(m+1)!(n-m+1)!(n+2)(n+1)
=(n+2)!(m+1)!(n-m+1)!
=Cn+2m+1=右边.
例7. 在100件产品中，有98件合格品，2件次品.从这100件产品中任意抽出3件.
（1）有多少种不同的抽法？
（2）抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？
（3）抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种？
分析:（1）所求的不同抽法的种数，就是从100件产品中取出3件的组合数；
（2）分两步，第一步从2件次品中抽出1件次品，第二步从98件合格品中抽出2件合格品，由乘法原理可得；
（3）可从反面考虑，其反面是抽出的3件全是合格品，求出方法数后，由第（1）题的结论减去这个结果即可得．
解：（1）所求的不同抽法的种数，就是从100件产品中取出3件的组合数，∴共有(种)；
（2）从2件次品中抽出1件次品的抽法有种，
从98件合格品中抽出2件合格品的抽法有种，
因此抽出的3件中恰好有1件次品的抽法有(种).
（3）抽出的3件产品中至少有1件是次品的抽法的种数，
也就是从100件中抽出3件的抽法种数减去3件中都是合格品的抽法的种数，
即(种).
组合问题的基本解法
(1)判断是否为组合问题;
(2)是否分类或分步;
(3)根据组合的相关知识进行求解.
跟踪训练2.在一次数学竞赛中,某学校有12人通过了初试,学校要从中选出5人去参加市级培训,在下列条件下,有多少种不同的选法?
(1)任意选5人;
(2)甲、乙、丙三人必须参加;
(3)甲、乙、丙三人不能参加;
(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加;
(5)甲、乙、丙三人至少1人参加.
分析:本题属于组合问题中的最基本的问题,可根据题意分别对不同问题中的“含”与“不含”作出正确的判断和分析.注意“至少”“至多”问题,运用间接法求解会简化思维过程.
解:(1)C125=792(种)不同的选法.
(2)甲、乙、丙三人必须参加,只需从另外的9人中选2人,共有C92=36(种)不同的选法.
(3)甲、乙、丙三人不能参加,只需从另外的9人中选5人,共有C95=126(种)不同的选法.
(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加,分两步,先从甲、乙、丙
中选1人,有C31=3(种)选法,再从另外的9人中选4人有C94种选法.共有C31C94=378(种)不同的选法.
(5)(方法一 直接法)可分为三类:
第1类,甲、乙、丙中有1人参加,有C31C94种选法;
第2类,甲、乙、丙中有2人参加,有C32C93种选法;
第3类,甲、乙、丙3人均参加,有C33C92种选法.
所以,共有C31C94+C32C93+C33C92=666(种)不同的选法.
(方法二 间接法)12人中任意选5人共有C125种,甲、乙、丙三人不能参加的有C95种,所以,共有C125-C95=666(种)不同的选法.
变式： 若本例题条件不变,甲、乙、丙三人至多2人参加,有多少种不同的选法?
解:(方法一 直接法)甲、乙、丙三人至多2人参加,可分为三类:
第1类,甲、乙、丙都不参加,有C95种选法;
第2类,甲、乙、丙中有1人参加,有C31C94种选法;
第3类,甲、乙、丙中有2人参加,有C32C93种选法.
共有C95+C31C94+C32C93=756(种)不同的选法.
(方法二 间接法)12人中任意选5人共有C125种,甲、乙、丙三人全参加的有C92种选法,所以共有C125-C92=756(种)不同的选法.
课后作业
三、达标检测
1.从10个不同的数中任取2个数,求其和、差、积、商这四个问题中,属于组合的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
解析:因为减法和除法运算中交换两个数的位置对计算结果有影响,所以属于组合的有2个.
答案:B
2.若An2=3Cn-12,则n的值为( )
A.4 B.5 C.6 D.7
解析:因为An2=3Cn-12,所以n(n-1)=3(n-1)(n-2)2,解得n=6.故选C.
答案:C
3.若集合A={a1,a2,a3,a4,a5},则集合A的子集中含有4个元素的子集共有 个.
解析:满足要求的子集中含有4个元素,由集合中元素的无序性,知其子集个数为C54=5.
答案:5
4.平面内有12个点,其中有4个点共线,此外再无任何3点共线,以这些点为顶点,可得多少个不同的三角形?
解:(方法一)我们把从共线的4个点中取点的多少作为分类的标准:
第1类,共线的4个点中有2个点作为三角形的顶点,共有C42·C81=48(个)不同的三角形;
第2类,共线的4个点中有1个点作为三角形的顶点,共有C41·C82=112(个)不同的三角形;
第3类,共线的4个点中没有点作为三角形的顶点,共有C83=56(个)不同的三角形.
由分类加法计数原理,不同的三角形共有
48+112+56=216(个).
(方法二 间接法)C123-C43=220-4=216(个).
板书设计
教学反思
在本节课的教学中，学生可能遇到的问题（或困难、障碍）是学生对组合概念的理解，并能区分出组合与排列。要解决这一问题，就要要通过典型的、学生比较熟悉的实例，经过概括得出组合的定义，然后借助计数原理好排列数，推导出组合数公式，其中关键是在具体情境中运用组合解决计数问题。
教学设计
课题
组合与组合数
教学目标
知识目标
理解并掌握组合、组合数的概念,掌握组合与排列之间的联系与区别.
能力目标
熟练掌握组合数公式及组合数的两个性质,并运用于计算之中；能够运用排列组合公式及计数原理解决一些简单的应用问题,提高学生的数学应用能力与分析问题、解决问题的能力.
情感目标
通过学习，增强逻辑，提升对数学学习的兴趣，增强自主学习、自主探究的意识.
教学重点
组合、组合数的概念并运用排列组合公式解决问题
教学难点
组合与排列之间的联系与区别
教学准备
教师准备：多媒体课件、教材习题
学生准备：教材习题、错题本
教学过程
问题探究
问题1. 从甲乙丙三名同学中选两名去参加一项活动，有多少种不同的选法？这一问题与6.2.1节问题一有什么联系与区别？
分析：在6.2.1 节问题1的6种选法中，存在“甲上午，乙下午”和“甲上午，乙下午” 2种不同顺序的选法，我们可以将它看成先选出甲、乙两名同学，然后再分配上午和下午而得到的.同样，先选出甲、丙、或乙、丙，再分配上午和下午也各有2种方法.从而甲、乙、丙3名同选2名去参加一项活动，就只需考虑选出的2名同学作为一组，不需要考虑他们的顺序。于是，在6.2.1节问题1的6种选法中，将选出的2名同学作为一组的选法就只有如下3种情况：
甲乙、甲丙、乙丙.
从三个不同元素中取出两个元素作为一组一共有多少个不同的组？
一、组合的相关概念
1.组合:一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.
2.相同组合:两个组合只要元素相同,不论元素的顺序如何,都是相同的.
名师点析排列与组合的区别与联系
(1)共同点:两者都是从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素.
(2)不同点:排列与元素的顺序有关,组合与元素的顺序无关.
1.校门口停放着9辆共享自行车，其中黄色、红色和绿色的各有3辆，下面的问题是排列问题，还是组合问题？
（1）从中选3辆，有多少种不同的方法？
（2）从中选2辆给3位同学有多少种不同的方法？
（1）与顺序无关，是组合问题；
（2）选出2辆给3位同学是有顺序的，是排列问题。
例5.平面内有A，B，C，D共4个点.
（1）以其中2个点为端点的有向线段共有多少条？
（2）以其中2个点为端点的线段共有多少条？
分析：（1）确定一条有向线段，不仅要确定两个端点，还要考虑他们的顺序是排列问题；（2）确定一条线段，只需确定两个端点，而不需要考虑它们的顺序是组合问题.
解：（1）一条有向线段的两个端点，要分起点和终点，以平面内4个点中的2个为端点的有向线段条数，就是从4个不同元素中取出2个元素的排列数，即有向线段条数为A42=4×3=12.这12条有向线段分别为
AB , BA, AC , CA, AD , DA, BC , CB, BD, DB , CD, DC .
（2）由于不考虑两个端点的顺序，因此将（1）中端点相同、方向不同的2条有向线段作为一条线段，就是中平面内4个点中的2个点为端点的线段的条数，共有如下6条： AB,AC,AD,BC,BD,CD.
问题2：利用排列和组合之间的关系，以“元素相同” 为标准分类，你能建立起例5（1）中排列和（2）中组合之间的对应关系吗？
进一步地，能否从这种对应关系出发，由排列数求出组合的个数？
二、组合数与组合数公式
1.组合数的定义:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数,
叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数,
用符号Cnm 表示.
例如，从3个不同元素中取出2个元素的组合数，表示为C32，
从4个不同元素中取出3个元素的组合数，表示为C42.
思路：从4个不同元素中取出3个元素的组合数C43，设这4个元素为a,b,c,d，那么从中取出3个元素的排列数A43 =24，以“元素相同”为标准将这24个排列分组如图，一共有4组，因此组合数C43 =4.
问题3：前面已经提到，组合和排列有关系，我们能否利用这种关系，由排列数Anm来求组合数Cnm呢？
也可以这样理解，求“从4个元素中取出3个元素的排列数A43”
第1步，从4个元素中取出3个元素作为一组，共有C43种不同的取法；
第2步，将取出的3个元素做全排列，共有A33种不同的取法.
于是，根据分布乘法计数原理有A43=C43∙A33即C43=A43A33=4.
同样的从n个不同对象中取出m个做排列，可以分成两个步骤完成，第一步从n个不同对象中取出 m个，有Cnm种选法；
第二步将选出的m 个对象做全排列，有Amm种排法.
由分步乘法计数原理有Anm=Cnm ×Amm，所以
Cnm =AnmAmm=nn-1…[n-(m-1)]m×m-1×…×2×1=n!n-m!m!
上述公式称为组合数公式.
2.组合数公式:Cnm=AnmAmm=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)m!=n!m!(n-m)!,这里n,m∈N*,并且m≤n.
另外,我们规定Cn0=1.
二、典例解析
例6.计算：
（1）C103；（2）C107；（3）C1010；（4）C100.
解:根据组合数公式，可得
C103= A103A33=10×9×83×2×1 =120;
C107 =10!7!10-7!=10×9×8×77!×3!=120；
C1010= A1010A1010=10!10!=1;
C100=1;
观察例6的（1）与（2），（3）与（4）的结果，你有什么发现？（1）与（2）分别用了不同形式的组合数公式，你对公式的选择有什么想法？
1.公式Cnm=AnmAmm=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)m!(m,n∈N*,且m≤n),一般用于求值计算.
2.公式Cnm=n!m!(n-m)!(m,n∈N*,且m≤n),一般用于化简证明.在具体选择公式时,要根据题目特点正确选择.
3.根据题目特点合理选用组合数的两个性质Cnm=Cnn-m,Cn+1m=Cnm+Cnm-1,能起到简化运算的作用,需熟练掌握.
跟踪训练1. (1)计算:①3C83-2C52+C88;②C10098+C200199.
(2)求证:Cnm+1+Cnm-1+2Cnm=Cn+2m+1.
分析:(1)先考虑利用组合数的性质对原式进行化简,再利用组合数公式展开计算.(2)式子中涉及字母,可以用阶乘式证明.
(1)解:①3C83-2C52+C88=3×8×7×63×2×1-2×5×42×1+1=149.
②C10098+C200199=C1002+C2001=100×992×1+200=5 150.
(2)证明左边=n!(m+1)!(n-m-1)!+n!(m-1)!(n-m+1)!+2·n!m!(n-m)!
=n!(m+1)!(n-m+1)!·[(n-m)(n-m+1)+m(m+1)+2(m+1)(n-m+1)]
=n!(m+1)!(n-m+1)!(n+2)(n+1)
=(n+2)!(m+1)!(n-m+1)!
=Cn+2m+1=右边.
例7. 在100件产品中，有98件合格品，2件次品.从这100件产品中任意抽出3件.
（1）有多少种不同的抽法？
（2）抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？
（3）抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种？
分析:（1）所求的不同抽法的种数，就是从100件产品中取出3件的组合数；
（2）分两步，第一步从2件次品中抽出1件次品，第二步从98件合格品中抽出2件合格品，由乘法原理可得；
（3）可从反面考虑，其反面是抽出的3件全是合格品，求出方法数后，由第（1）题的结论减去这个结果即可得．
解：（1）所求的不同抽法的种数，就是从100件产品中取出3件的组合数，∴共有(种)；
（2）从2件次品中抽出1件次品的抽法有种，
从98件合格品中抽出2件合格品的抽法有种，
因此抽出的3件中恰好有1件次品的抽法有(种).
（3）抽出的3件产品中至少有1件是次品的抽法的种数，
也就是从100件中抽出3件的抽法种数减去3件中都是合格品的抽法的种数，
即(种).
组合问题的基本解法
(1)判断是否为组合问题;
(2)是否分类或分步;
(3)根据组合的相关知识进行求解.
跟踪训练2.在一次数学竞赛中,某学校有12人通过了初试,学校要从中选出5人去参加市级培训,在下列条件下,有多少种不同的选法?
(1)任意选5人;
(2)甲、乙、丙三人必须参加;
(3)甲、乙、丙三人不能参加;
(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加;
(5)甲、乙、丙三人至少1人参加.
分析:本题属于组合问题中的最基本的问题,可根据题意分别对不同问题中的“含”与“不含”作出正确的判断和分析.注意“至少”“至多”问题,运用间接法求解会简化思维过程.
解:(1)C125=792(种)不同的选法.
(2)甲、乙、丙三人必须参加,只需从另外的9人中选2人,共有C92=36(种)不同的选法.
(3)甲、乙、丙三人不能参加,只需从另外的9人中选5人,共有C95=126(种)不同的选法.
(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加,分两步,先从甲、乙、丙
中选1人,有C31=3(种)选法,再从另外的9人中选4人有C94种选法.共有C31C94=378(种)不同的选法.
(5)(方法一 直接法)可分为三类:
第1类,甲、乙、丙中有1人参加,有C31C94种选法;
第2类,甲、乙、丙中有2人参加,有C32C93种选法;
第3类,甲、乙、丙3人均参加,有C33C92种选法.
所以,共有C31C94+C32C93+C33C92=666(种)不同的选法.
(方法二 间接法)12人中任意选5人共有C125种,甲、乙、丙三人不能参加的有C95种,所以,共有C125-C95=666(种)不同的选法.
变式： 若本例题条件不变,甲、乙、丙三人至多2人参加,有多少种不同的选法?
解:(方法一 直接法)甲、乙、丙三人至多2人参加,可分为三类:
第1类,甲、乙、丙都不参加,有C95种选法;
第2类,甲、乙、丙中有1人参加,有C31C94种选法;
第3类,甲、乙、丙中有2人参加,有C32C93种选法.
共有C95+C31C94+C32C93=756(种)不同的选法.
(方法二 间接法)12人中任意选5人共有C125种,甲、乙、丙三人全参加的有C92种选法,所以共有C125-C92=756(种)不同的选法.
课后作业
三、达标检测
1.从10个不同的数中任取2个数,求其和、差、积、商这四个问题中,属于组合的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
解析:因为减法和除法运算中交换两个数的位置对计算结果有影响,所以属于组合的有2个.
答案:B
2.若An2=3Cn-12,则n的值为( )
A.4 B.5 C.6 D.7
解析:因为An2=3Cn-12,所以n(n-1)=3(n-1)(n-2)2,解得n=6.故选C.
答案:C
3.若集合A={a1,a2,a3,a4,a5},则集合A的子集中含有4个元素的子集共有 个.
解析:满足要求的子集中含有4个元素,由集合中元素的无序性,知其子集个数为C54=5.
答案:5
4.平面内有12个点,其中有4个点共线,此外再无任何3点共线,以这些点为顶点,可得多少个不同的三角形?
解:(方法一)我们把从共线的4个点中取点的多少作为分类的标准:
第1类,共线的4个点中有2个点作为三角形的顶点,共有C42·C81=48(个)不同的三角形;
第2类,共线的4个点中有1个点作为三角形的顶点,共有C41·C82=112(个)不同的三角形;
第3类,共线的4个点中没有点作为三角形的顶点,共有C83=56(个)不同的三角形.
由分类加法计数原理,不同的三角形共有
48+112+56=216(个).
(方法二 间接法)C123-C43=220-4=216(个).
板书设计
教学反思
在本节课的教学中，学生可能遇到的问题（或困难、障碍）是学生对组合概念的理解，并能区分出组合与排列。要解决这一问题，就要要通过典型的、学生比较熟悉的实例，经过概括得出组合的定义，然后借助计数原理好排列数，推导出组合数公式，其中关键是在具体情境中运用组合解决计数问题。
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