高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.2 平面向量的运算导学案

《6.2.3向量的数乘运算》

导学案   参考答案

新课导学 

（一）新知导入

【问题1】可以,即=.

【问题2】与的方向相同,与的方向相反.

【问题3】的长度是的长度的3倍,即若||=λ,则||=3λ.

【问题4】成立,向量同样满足分配律、结合律.

（二）向量的数乘运算

1.向量的数乘运算

1．定义：一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa.

2．规定：①|λa|＝|λ||a|，

②当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0.

3．运算律：设λ，μ为实数，则

(1)λ(μa)＝λμa；

(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa；

(3)λ(a＋b)＝λa＋λb(分配律)．

特别地，我们有(－λ)a＝－λa＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb.

4. 向量的加、减、数乘运算统称向量的线性运算，对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a＋μ2b)＝λμ1a＋λμ2b.

【做一做1】解析：∵a＝4b,4>0，∴|a|＝4|b|.∵4b与b的方向相同，∴a与b的方向相同．

答案：C

【做一做2】答案：D

2.向量共线定理

【探究1】　正确．

【探究2】不一定．当b＝0，a＝0时，λ有无数个值；当b＝0，a≠0时，λ无解；只有当b≠0时，才有a＝λb.

【探究3】一定存在,且是唯一的.

向量共线定理：向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b＝λa.

【辩一辩】答案:(1)√　(2)×　(3)×　(4)√　(5)×

（三）典型例题

【例1】 【解】(1)原式＝18a－12b－18a＋9b＝－3b.

(2)[(3a＋2b)－a－b]－[a＋(b＋a)]＝(3a－a＋2b－b)－(a＋a＋b)

＝(a＋b)－(a＋b)＝a＋b－a－b＝0.

(3)原式＝6a－6b＋6c－4a＋8b－4c＋4a－2c＝(6a－4a＋4a)＋(8b－6b)＋(6c－4c－2c)

＝6a＋2b.

【巩固练习1】【解】（1）

=.

（2）

=

【例2】(1)证明：因为＝e1＋e2，＝＋＝2e1＋8e2＋3e1－3e2＝5(e1＋e2)＝5.

所以，共线，且有公共点B，所以A、B、D三点共线．

（2）解：因为ke1＋e2与e1＋ke2共线，所以存在实数λ，使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，

则(k－λ)e1＝(λk－1)e2，

由于e1与e2不共线，只能有所以k＝±1.

【巩固练习2】解析：由题意知存在k∈R，使得a＋λb＝k[－(b－3a)]，所以解得

答案：－

【例3】【解】因为∥，||＝2||，所以＝2，＝.

(1)＝＋＝e2＋e1.

(2)＝＋＋＝－－＋＝－e1－e2＋e1＝e1－e2.

【变式探究】【解】因为＝＋＋，＝＋＋，

所以2＝(＋)＋＋＋(＋)．

又因为M，N分别是DC，AB的中点，

所以＋＝0，＋＝0.所以2＝＋，

所以＝(－－)＝－e2－e1.

【巩固练习3】【解】（1）因为，所以；

（2）因为，

所以

（四）操作演练  素养提升

答案：1.B      2.C     3.D      4.－2