高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册空间向量及其运算的坐标表示教学设计

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册空间向量及其运算的坐标表示教学设计，共5页。
设向量a＝(x，y)，则有λa＝__(λx，λy)__，这就是说实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.
知识点2 平面向量共线的坐标表示
利用向量平行的坐标运算解决共线问题时可减少运算量且思路简单明快
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0．向量a，b(b≠0)共线的充要条件是__x1y2－x2y1＝0__.
知识点3 中点坐标公式
若P1，P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，线段P1P2的中点P的坐标为(x，y)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(x1＋x2,2)，,y＝\f(y1＋y2,2)，))此公式为线段P1P2的中点坐标公式.
[知识解读] 两个向量共线条件的三种表示方法
已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2).
(1)当b≠0时，a＝λb.
这是几何运算，体现了向量a与b的长度及方向之间的关系.
(2)x1y2－x2y1＝0．
这是代数运算，用它解决向量共线问题的优点在于不需要引入参数“λ”，从而减少未知数的个数，而且使问题的解决具有代数化的特点和程序化的特征.
(3)当x2y2≠0时，eq \f(x1,x2)＝eq \f(y1,y2).
即两向量的相应坐标成比例，通过这种形式较易记忆向量共线的坐标表示，而且不易出现搭配错误.
关键能力·攻重难
题型探究
题型一 向量的坐标运算
典例1 已知a＝(－1,2)，b＝(2,1)，求：
(1)2a＋3b；(2)a－3b；(3)eq \f(1,2)a－eq \f(1,3)b.
[分析] 可先进行数乘向量的坐标运算，再进行向量坐标加减运算.
[解析] (1)2a＋3b＝2(－1,2)＋3(2,1)
＝(－2,4)＋(6,3)＝(4,7).
(2)a－3b＝(－1,2)－3(2,1)
＝(－1,2)－(6,3)＝(－7，－1).
(3)eq \f(1,2)a－eq \f(1,3)b＝eq \f(1,2)(－1,2)－eq \f(1,3)(2,1)
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，1))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，\f(1,3)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7,6)，\f(2,3))).
[归纳提升] 向量的坐标运算主要是利用加、减运算法则及数乘运算进行，解题时要注意方程思想的运用及正确使用运算法则.
【对点练习】❶ (1)已知向量a＝(5,2)，b＝(－4，－3)，若c满足3a－2b＋c＝0，则c＝( A )
A．(－23，－12) B．(23,12)
C．(7,0) D．(－7,0)
(2)已知M(3，－2)，N(－5，－1)，eq \(MP,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(MN,\s\up6(→))，则P点坐标为__eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，－\f(3,2)))__.
[解析] (1)由3a－2b＋c＝0，∴c＝－3a＋2b＝－3(5,2)＋2(－4，－3)＝(－23，－12)，∴c＝(－23，－12).
(2)解法1：设P(x，y)，∴eq \(MP,\s\up6(→))＝(x－3，y＋2)，eq \(MN,\s\up6(→))＝(－8，1)，由eq \(MP,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(MN,\s\up6(→))得Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，－\f(3,2))).
解法2：由eq \(MP,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(MN,\s\up6(→))得P为MN中点，由中点坐标公式得.
题型二 向量平行(共线)的判定
典例2 (1)下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是( B )
A．e1＝(0,0)，e2＝(1，－2)
B．e1＝(－1,2)，e2＝(5,7)
C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10)
D．e1＝(2，－3)，e2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，－\f(3,4)))
(2)已知a＝(2,1)，b＝(3，－4)，当λ为何值时，λa－b与a＋2b平行？平行时，它们是同向还是反向？
[解析] (1)A中向量e1为零向量，∴e1∥e2；C中e1＝eq \f(1,2)e2，∴e1∥e2；D中e1＝4e2，∴e1∥e2，故选B．
(2)λa－b＝λ(2,1)－(3，－4)
＝(2λ，λ)－(3，－4)＝(2λ－3，λ＋4)，
a＋2b＝(2,1)＋2(3，－4)＝(2,1)＋(6，－8)＝(8，－7)，
∵(λa－b)∥(a＋2b)，
∴8(λ＋4)＋7(2λ－3)＝0⇒22λ＋11＝0⇒λ＝－eq \f(1,2).
∴－eq \f(1,2)a－b＝(－eq \f(1,2)×2－3，－eq \f(1,2)＋4)＝(－4，eq \f(7,2))，
即λa－b＝－eq \f(1,2)(a＋2b).
故当λ＝－eq \f(1,2)时，λa－b与a＋2b平行；平行时它们反向.
[归纳提升] 1．向量共线的判定方法
2．利用向量平行的条件求参数值的思路
(1)利用共线向量定理a＝λb(b≠0)列方程组求解.
(2)利用向量平行的坐标表达式直接求解.
【对点练习】❷ 若a＝(eq \r(3)，cs α)，b＝(3，sin α)，且a∥b，则锐角α＝__eq \f(π,3)__.
[解析] ∵a＝(eq \r(3)，cs α)，b＝(3，sin α)，a∥b，
∴eq \r(3)sin α－3cs α＝0，即tan α＝eq \r(3)，
又0