高中数学人教A版 (2019)必修 第二册空间直线、平面的垂直第1课时复习练习题

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一、必备知识分层透析
二、重点题型分类研究
题型1: 直线与平面垂直的判断
题型2：直线与平面垂直的判定定理
题型3：补全线面垂直的条件
题型4：直线与平面所成的角的概念
题型5：求线面角
题型6：由线面角求参数
题型7：线面角最值问题
三、高考（模拟）题体验
一、必备知识分层透析
知识点1：直线与平面垂直
（1）定义：如果一条直线与平面内的任意一条直线都垂直，那么直线垂直于平面，记为．直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面，垂线与平面的交点P叫垂足.
（2）符号语言：对于任意，都有.
（3）图形语言：
（4）应用：①若直线与平面垂直，则这条直线与这个平面内的所有直线都垂直，从而可判断直线与平面内的直线互相垂直，即“若,,则”,简述为“若线面垂直，则线线垂直”因此直线与平面垂直的定义不仅是直线与平面垂直的判定方法，也是证明直线与直线垂直的重要且常用的方法.
②重要结论：过一点有且只有一条直线与已知平面垂直；过一点有且只有一个平面与已知直线垂直.
知识点2：直线与平面垂直的判定定理
（1）直线与平面垂直的判定定理： 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直. 简记：线线垂直线面垂直
（2）符号语言：，，，，
（3）图形语言：如图
知识点3：直线与平面所成角
（1）直线与平面所成角的定义
如图，一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足，过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影，平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.
（2）说明：①为斜线
②与的交点为斜足
③直线为在平面上的射影
④直线与射影所成角(角)为直线与平面上所成角
⑤当直线与平面垂直时：；当直线与平面平行或在平面内时：
⑥直线与平面所成角取值范围：.
（3）直线与平面所成角的求解步骤
①作：在斜线上选取恰当的点向平而引垂线，在这一步确定垂足的位置是关键；
②证：证明所找到的角为直线与平面所成的角，其证明的主要依据为直线与平面所成的角的定义；
③算：一般借助三角形的相关知识计算.
二、重点题型分类研究
题型1: 直线与平面垂直的判断
典型例题
1．已知直线和平面，则“垂直于内任意直线”是“”的（ ）.
A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件
2．在正方体的六个面中，与垂直的平面有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
3．如图，圆柱中，是侧面的母线，AB是底面的直径，C是底面圆上一点，则（ ）
A．平面B．平面
C．平面D．平面
同类题型演练
1．设l，m是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下面命题中正确的是（ ）
A．若，，则B．若，，
C．若，，则D．若，，，则
2．如果直线l，m与平面，，满足：，，和，那么必有（ ）
A．B．C．D．
3．已知m，n为两条不同的直线，为平面，有下列命题：
①，；②，；③，．
其中正确的命题是______．（填序号）
题型2：直线与平面垂直的判定定理
典型例题
1．如图，和都垂直于平面，且，，是的中点．
(1)求证：平面；
(2)求证：平面．
2．如图，在底面是矩形的四棱锥中，底面，，分别是，的中点.
(1)若，求四棱锥的体积；
(2)求证：平面.
3．如图，四面体ABCD中，O，E分别是BD，BC的中点，CA＝CB＝CD＝BD＝2，．
(1)求证：平面BCD；
(2)求点E到平面ACD的距离．
4．如图所示的长方体中，底面是边长为2的正方形，O为与的交点，，M是线段的中点.
(1)求证：平面；
(2)求证：平面.
5．如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，，．
(1)证明：BD⏊平面PAC；
(2)求三棱锥的表面积．
同类题型演练
1．如图，在四棱锥中，平面，底面为菱形，为的中点．
(1)求证：平面；
(2)若点是棱的中点，求证：平面．
2．如图，是正方形，是正方形的中心，底面，是的中点． 求证：
(1)平面；(2)平面．
3．在棱长为2的正方体中．
(1)求证：面；
4．如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，平面，，.
(1)证明：平面PAC；
(2)求点到平面的距离.
5．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，且AB＝AD＝＝1.现以AD为一边向梯形外作正方形ADEF，然后沿边AD将正方形ADEF折叠，使ED⊥DC，M为ED的中点，如图2.
(1)求证：BC⊥平面BDE；
(2)求点D到平面BEC的距离.
题型3：补全线面垂直的条件
典型例题
1．直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线与一个平面上的___________直线都垂直，那么此直线与该平面垂直.
2．已知平面ABCD，则四边形ABCD满足______时，有．（试写出一个满足的条件）
3．如图，四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，M，N分别是AB，PC的中点．
(1)求证：平面PAD；
(2)试确定当△PAD中PA与AD满足什么关系时，MN⊥平面PCD？并说明理由．
4．如图，在四棱锥中，侧棱底面，底面是直角梯形，，，且，，是的中点．
(1)求证：平面；
(2)在线段上是否存在一点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
5．如图，在四棱锥中，四边形为菱形，，，，点是棱上靠近点的三等分点，点是的中点．
(1)证明：平面；
(2)点为线段上一点，设，若平面，试确定的值．
同类题型演练
1．，，是三直线，是平面，若，，，，且__________（填上一个条件即可），则有．
2．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点．当＝__时，D1E⊥平面AB1F．
3．已知正方体的棱长为，分别是的中点．
(1)求证：平面；
(2)在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由；
(3)求到平面的距离．
4．如图，在棱长为1的正方体中，是的中点．
(1)求证：平面；
(2)求点到平面的距离；
(3)在对角线上是否存在点，使得平面？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．
5．如图，在四棱锥P-ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝CD＝2AB＝2，M为PC的中点．
（1）求证：BM//平面PAD．
（2）平面PAD内是否存在一点N，使MN⊥平面PBD？若存在，确定点N的位置；若不存在，请说明理由．
题型4：直线与平面所成的角的概念
典型例题
1．若直线m与平面所成的角为，则可能为135°．( )
2．若直线l与平面所成角为，直线a在平面上，且与直线l异面，则直线l与直线a所成角的取值范围是___________.
同类题型演练
1．一条直线与一个平面所成角的取值范围是___________.（用区间表示）
2．如图所示，在侧棱垂直于底面的三棱柱ABC-A1B1C1中，P是棱BC上的动点.记直线A1P与平面ABC所成的角为θ1，与直线BC所成的角为θ2，则θ1_________θ2(填“>”“=”或“