人教A版 (2019)空间直线、平面的垂直第2课时测试题

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一、必备知识分层透析
二、重点题型分类研究
题型1: 利用直线与平面垂直证明线线平行
题型2：利用直线与平面垂直证明线线垂直
题型3：直线与平面垂直的性质定理的综合运用
题型3：空间中的距离问题
角度1：点面距
角度2：线面距
角度3：面面距
题型4：直线与平面所成角探索性问题
三、高考（模拟）题体验
一、必备知识分层透析
知识点1：直线与平面垂直的性质定理(定义)
（1）定义转化性质：如果一条直线与平面垂直，那么直线垂直于平面内所有直线.
（2）符合语言：，.
（3）图形语言：
（4）定理应用：线面垂直线线垂直.
知识点2：直线与平面垂直的性质定理
（1）性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行.
（2）符合语言：，
（3）图形语言：
（4）定理应用：垂直与平行的转换
①线面垂直线线平行
②作平行线
知识点3：点面距、线面距、面面距
（1）点到平面的距离
过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离.
①图形语言：
如图，线段的长度就是点到平面的距离.
②点面距的范围：.
③常用方法：等体积法
（2）直线到平面的距离
一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离.
①图形语言：
线段的长度就是直线到平面的距离.
②当直线与平面相交或时，直线到平面的距离为0.
（3）平面到平面的距离
如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离.
①图形语言：
线段的长度就是平面到平面的距离
(2)当平与平相交时，平面到平面的距离是0.
二、重点题型分类研究
题型1: 利用直线与平面垂直证明线线平行
典型例题
例题1．若直线平面，直线平面，则直线与直线的位置关系为（ ）
A．异面B．相交C．平行D．平行或异面
【答案】C
【详解】由于垂直于同一平面的两直线平行，故当直线平面，直线平面时，直线与直线平行.故选：C.
例题2．（多选）已知，，是三条直线，是一个平面，下列命题不正确的是（ ）
A．若，，则B．若，，则
C．若，，则D．若，，则
【答案】BC
【详解】对A，根据直线平行的传递性，故A正确；
对B，垂直于同一直线的两个直线可以相交、平行、异面，故B错误；
对C，平行同一平面的两条直线可以平行、相交、异面，故C错误；
对D，垂直于同一平面的两条直线平行，故D正确.故选：BC
例题3．如图（1），在梯形中，且，线段上有一点E，满足，，现将，分别沿，折起，使，，得到如图（2）所示的几何体，求证：
【详解】证明：在中，，所以，，
在中，，，，由余弦定理得，
所以，所以，同理可得，在中，，且，
在中，，所以，
因为，，平面，所以平面，
在中，，在中，，则，
因为，平面，所以平面，所以.
例题4．已知空间几何体中，，是全等的正三角形，平面平面，平面平面.
(1)若，求证：；
(2)证明：.
(1)因为、是全等的正三角形，所以，
又因为，所以，故，
因为平面平面，且平面平面，平面，
所以平面， 又因为平面，所以；
(2)分别取，中点，，连接，，，
因为是等边三角形，所以，，
因为平面平面，平面， 所以平面，
同理平面，且，所以，且，
所以四边形是平行四边形， 所以，又，所以．
同类题型演练
1．设，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线．给出下列四个命题：
①若，，则；
②若，，则；
③若，，，则；
④若，，，则．
其中正确的命题是（ ）
A．①②B．②③C．①④D．③④
【答案】D
【详解】如图，长方体中，
对于①，令平面为平面，直线分别为直线m，n，显然有，，
而直线m，n相交，①不正确；
对于②，令平面，平面分别为平面，，直线为直线m，
显然有，，而平面与相交，②不正确；
对于③，因，，则，又，因此，③正确；
对于④，因，，则，又，因此，④正确，
所以正确命题的序号是③④.故选：D
2．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中点，M，N分别在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.证明：AE∥MN.
【详解】因为AB⊥平面PAD，AE⊂平面PAD，所以AE⊥AB，
又AB∥CD，所以AE⊥CD.
因为AD＝AP，E是PD的中点，所以AE⊥PD.
又CD∩PD＝D，CD，PD⊂平面PCD，所以AE⊥平面PCD.
因为MN⊥AB，AB∥CD，所以MN⊥CD.
又因为MN⊥PC，PC∩CD＝C，PC，CD⊂平面PCD，所以MN⊥平面PCD，所以AE∥MN.
3．在四棱锥P­ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，AE⊥PD于点E，l⊥平面PCD．求证：l∥AE．
【详解】证明：因为PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以PA⊥CD．
又四边形ABCD是矩形，所以CD⊥AD．
因为PA∩AD＝A，PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，所以CD⊥平面PAD．
又AE⊂平面PAD，所以AE⊥DC．
因为AE⊥PD，PD∩CD＝D，PD⊂平面PCD，CD⊂平面PCD，所以AE⊥平面PCD．
因为l⊥平面PCD，所以l∥AE．
4．如图，已知，于点A，于点B，，，求证：．
【答案】见解析
【详解】证明：因为，，所以，
又因为，，所以，
又，平面，所以平面，
因为，，所以，又，，
所以平面，所以.
题型2：利用直线与平面垂直证明线线垂直
典型例题
例题1．如题图，正方体中，为棱上一点．
(1)试过点在平面上作直线，写出作法，并说明理由；
(2)若为棱中点，是棱中点，求异面直线与所成角的大小．
【答案】(1)答案见解析(2)
【详解】（1）连接，在平面上过点P作交AD于Q，如图所示
平面，则，又，，
则平面，而平面，所以.
（2）连接，如图所示：
由P、Q分别是和AD中点，得，则是异面直线PQ与所成角（或其补角），
连接，在中，，则，
所以异面直线PQ与所成角的大小为．
例题2．如图，在三棱柱中，，且，底面，为中点．
(1)求证：；
(2)求证：平面
【详解】（1）底面且平面，，
又且，平面，平面，
又平面，
（2）
取的中点，连接，因为分别为的中点可知，，
所以四边形是平行四边形，所以，因为平面，平面，
所以平面，同理可得平面，又因为，平面，
所以平面平面，又因为平面，所以平面
例题3．如图所示，已知平面，，分别是，的中点，．
(1)求证：平面；
(2)求证：；
【详解】（1），分别是，的中点，，
平面，且平面，平面；
（2）平面，，分别是，的中点，，
，平面，平面，
平面，.
例题4．已知空间几何体中，与均为等边三角形，平面平面平面．求证：.
【详解】证明：取的中点，连接，
因为与均为等边三角形，所以，
又，所以平面，平面，所以.
例题5．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，，，，点在棱上，平面平面.
(1)证明：；
(2)若平面，求三棱锥的体积.
【答案】(1)证明见解析(2)
【详解】（1）证明：因为平面平面，平面平面，，平面．
平面，平面，；
（2）解：
连接交于点，连接，
因为平面，平面平面，平面，
所以，因为为的中点，则为的中点，
因为，底面为平行四边形，所以，
又，，平面，所以平面，
又平面，所以，因为，，所以，
又，所以，则，所以，
所以，
所以.
同类题型演练
1．如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，平面，，，F是PD的中点，点在棱CD．
(1)求四棱锥P－ABCD的表面积；
(2)求证：．
【答案】(1)(2)证明见解析
【详解】（1）解：已知平面，平面，，
而底面ABCD是矩形，则，又，平面，，
∴平面，平面ABP，∴，
∴，同理可得，
∴.
（2）证明：∵平面，平面，∴，
又四边形是矩形，∴，
∵，∴平面，
∵平面，∴，
又∵，点F是的中点，∴，
而，∴平面，
∵平面，∴．
2．如图，四棱锥E-ABCD中，EA=EB，AB//CD，AB⊥BC，AB=2CD．
(1)求证：AB⊥ED；
(2)线段EA上是否存在点F，使DF//平面BCE？若存在，求出；若不存在，说明理由．
【答案】(1)证明见解析；(2)存在，.
（1）在四棱锥E-ABCD中，取AB中点O，连接EO，DO，如图，
因EA=EB，则EO⊥AB，而AB//CD，AB=2CD，则有BO//CD，BO=CD，即四边形OBCD是平行四边形，
又AB⊥BC，则四边形OBCD为矩形，即有AB⊥DO，而，平面，
因此AB⊥平面EOD，又平面，所以AB⊥ED．
（2）点F满足，即F为EA中点时，有DF//平面BCE，
取EB中点G，连接CG，FG，因F为EA中点，则FG//AB，，
又AB//CD，，于是得FG//CD，FG=CD，即四边形CDFG是平行四边形，有DF//CG，
又平面BCE，平面BCE，因此DF//平面BCE，
所以存在点F使DF//平面BCE，.
3．在四棱锥中，底面，，,，．证明：.
【详解】证明：在四边形中，作，，垂足分别为、，
因为，，，所以四边形为等腰梯形，
在等腰梯形中，，，则，
又因为，则四边形为矩形，则，
因为，，，
所以，，则，
故，，，
所以，所以，
因为平面，平面，所以，
又，、平面，所以平面，
又因为平面，所以.
4．如图，是边长为的等边三角形，、分别是、的中点，是的重心，将沿折起，使得点到达点的位置，点在平面的射影为点．证明：.
【详解】证明：连接，因是等边三角形，是的中点，是的重心，
所以在上，且，
又点在平面的射影为点，即平面，
因为平面，所以，
又，、平面，所以平面，
又平面，所以．
5．如图，三棱柱中，是底面边长为2的正三棱锥．
（1）求证：；
（2）若异面直线与所成的角为，求三棱锥的体积．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【详解】（1）取的中点，连，交于，连、，
因为是正三棱锥，所以三角形为正三角形，所以为三角形的中心，
所以平面，所以，
因为，且，所以平面，所以，
又，所以.
（2）因为，异面直线与所成的角为，
所以，又是底面边长为2的正三棱锥．所以为正三角形，
所以，连，则，所以，
所以，所以.
题型3：直线与平面垂直的性质定理的综合运用
典型例题
例题1．如图，在棱长都等于1的三棱锥中，是上的一点，过作平行于棱和棱的截面，分别交，，于，，．
(1)证明截面是矩形；
(2)在的什么位置时，截面面积最大，说明理由．
【答案】(1)证明见解析(2)是的中点时，截面面积最大
【详解】（1）平面，平面平面，平面，
，同理，，同理，四边形是平行四边形，
取中点，连接，，
，是中点，，同理，
又，平面，平面，
平面，，
又，，，即四边形是矩形.
（2）设，，由（1）知，
又，，则，
当时，最大，即是的中点时，截面面积最大.
例题2．在三棱锥中，底面是边长为2的等边三角形，点在底面上的射影为棱的中点，且与底面所成角为，点为线段上一动点.
(1)证明：；
(2)若，求点到平面的距离.
【答案】(1)见解析；(2).
【详解】（1）分别连接，，为中点，为等边三角形
，
点在底面上的投影为点，
平面，平面，，
又平面平面，
面，面，.
（2）设点到平面的距离为,点到面的距离为，
，为在底面上的投影,
为与面所成角，，
垂直平分，，为正三角形，，
Rt中，易得，，
，到的距离为，，
又，由，，
，，点到平面的距离为
例题3．如图，三棱台中，，，四边形为等腰梯形，，平面平面.
(1)求证：；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析(2)
【详解】（1）证明：延长AD、BE、CF交于点P，
∵四边形ACFD为等腰梯形，∠ACF＝45°，∴∠APC＝90°，即CP⊥AP，
∵平面ABED⊥平面ACFD，平面平面ACFD＝AP，平面ACFD，
∴CP⊥平面ABED，∵平面ABED，∴CP⊥AB.
（2）由AC＝2AB＝2DF，可知D为PA的中点，
设AB＝DF＝a，则，，由（1）知，CP⊥AB，∵∠ABC＝90°，即AB⊥BC，，CP、平面PBC，
∴AB⊥平面PBC，∴AB⊥PB，∴，，
过点P作PM⊥BC于点M，∵AB⊥平面PBC，平面PBC，∴AB⊥PM，
又，AB、平面ABC，∴PM⊥平面ABC，∴PM⊥BC，
由（1）知，CP⊥平面ABED，∴CP⊥PB，∴，
即，∴，∵D为PA的中点，
∴D到平面ABC的距离，∴直线BD与平面ABC所成角的正弦值为.
例题4．在三棱锥中，，，、分别是棱、的中点.
(1)证明：；
(2)线段上是否存在点，使得平面?若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析；(2)存在，当上的点满足.
【详解】（1）取的中点，连接，，如图，因，，则，，
而平面，平面，，于是得平面，又平面，
所以.
（2）当上的点满足时，平面
连接交于，连接，、分别是、的中点，
则是△的重心，有，即有，因此，
而平面，平面，所以平面．
同类题型演练
1．如图，在四棱锥中，底面ABCD，，，，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．求证：
(1)；
(2)平面ABE．
（1）在四棱锥中，
∵底面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴，
∵AC⊥CD，且PA∩AC＝A，∴平面PAC．
而AE⊂平面PAC，∴CD⊥AE．
（2）由AB＝BC，，得，
又PA＝AB＝BC，所以AC＝PA．
∵E是PC的中点，∴AE⊥PC．
由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，∴AE⊥平面PCD．
而PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD．
∵PA⊥底面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴PA⊥AB．
又∵AB⊥AD，且PA∩AD＝A，
∴AB⊥平面PAD，而PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD．
又∵AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE．
2．如图，在三棱锥A­BCD中，且AD⊥DC，AC⊥CB，面ABD⊥面BCD，AD＝CD＝BC，E为AC的中点，H为BD的中点.
(1)求证：AD⊥BC；
(2)在直线CH上确定一点F，使得AF∥面BDE，求AF与面BCD所成角的度数.
【答案】(1)证明见解析(2)45°
（1）证明:，为中点，所以，
又面面，且面面，所以面，则，
又,,,所以面，所以.
（2）在CH延长线上取点F，使FH＝HC，且为中点，则四边形BCDF为平行四边形，
又EH∥AF，EH⊂面BDE，AF⊄面BDE，∴AF∥面BDE，
又AD⊥面BCD，∴∠AFD即为AF与面BCD所成的角，
又DF＝BC＝AD，∴∠AFD＝45°，即AF与面BCD所成的角为45°
3．如图，在四棱锥中，平面底面，底面为平行四边形，.
(1)求证：；
(2)在棱上是否存在点，使得平面？若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析(2)存在，点为棱的中点
【详解】（1）因为平面底面，平面底面，
平面，所以平面.
又因为平面，所以.
（2）解：存在，点为棱的中点.连接，交于点，连接，如图所示：
因为底面为平行四边形，所以点为的中点.
在中，因为点分别为的中点.
所以，且.
又因为平面平面，所以平面.
4．如图，四棱锥的底面是矩形，E为侧棱的中点，侧面是正三角形，且侧面底面．
(1)求证：平面；
(2)当为何值时，使得？
【答案】(1)证明见解析；(2)
（1）因为平面平面，平面平面，
，平面，所以平面，
又平面，所以，
又侧面是正三角形，E为侧棱的中点，所以，
因为，，，所以平面；
（2）设的中点为，连接，则，
又平面平面，平面平面，
所以平面，所以是在平面上的射影，
要使得，只需要，在矩形中，设，
由，可知，又，
所以，所以，
所以，即，所以，所以，
所以当为何值时，使得
题型3：空间中的距离问题
角度1：点面距
典型例题
例题1．已知正方体的棱长为2，点为棱的中点，则点到平面的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由于是的中点，所以到平面的距离等于到平面的距离，设这个距离为，
由题可知，所以，
由于，所以，所以.故选：A
例题2．如图，棱长为2的正方体中，点是的中点，是侧面的中心，则到平面的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】解：连接，因为是侧面的中心，所以，
因为，由正方体的性质知，所以，是平行四边形，所以，
因为平面，平面所以平面，
所以，到平面的距离与到平面的距离相等，设到平面的距离为
中，，，
因为，
所以，，解得
所以，到平面的距离为故选：A
例题3．在正四棱柱中，，，则点到平面的距离为_____.
【答案】
【详解】设点A到平面的距离为d，由 ，即
可得
故答案为：
例题4．已知三棱锥的高为分别为的中点，若平面，平面，平面相交于点，则到平面的距离为___________.
【答案】
【详解】如图所示，平面ABD与平面BCE交于BQ，平面ABD与平面ACF交于AP，
所以O为AP与BQ的交点.因为D，E，F分别为VC，VA，VB的中点，
所以P，Q分别为，的重心，所以，连接DO并延长交AB于H，连接PQ，
设PQ与DO交于S，则，，易得，
所以，，所以，
设三棱锥的高为，三棱锥的高为，所以，所以，故.
例题5．在我国古代数学名著《九章算术》中，四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑．已知在鳖臑中，平面，．为的中点，则点到平面的距离为______．
【答案】
【详解】因为平面ABC，平面ABC，所以，
依题意可知平面，所以平面，
由于是的中点，所以到平面的距离是到平面的距离的一半，
即到平面的距离是.,，所以，
由于，所以，，
设到平面的距离为，则，即.
故答案为：
角度2：线面距
典型例题
例题1．若正四棱柱的底面边长为1，与底面所成角的大小为60°，则到底面的距离为（ ）
A．B．1C．2D．
【答案】D
【详解】由题意，B1B⊥平面ABCD，所以∠B1AB是AB1与底面ABCD所成的角，则∠B1AB＝60°，因为正四棱柱ABCD-A1B1C1D1底面边长为1，所以B1B＝AB×tan60°＝，即正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的侧棱长为.又因为A1C1∥平面ABCD，A1A⊥平面ABCD，所以A1C1到底面ABCD的距离为A1A＝.故选：D.
例题2．如图，在棱长为1的正方体中，，分别为棱，的中点，则到平面的距离是________．
【答案】
【详解】因为，且面，所以，面，则A1B1到平面D1EF的距离为到面的距离，且明显可见，面，对于三棱锥，有，设到面的距离为，由题意得，，，，在中，得到，
，所以，，化简得
，进而可得，故答案为：
例题3．在棱长为2的正方体中，直线到平面的距离为___________.
【答案】.
【详解】如图，在棱长为2的正方体中，取的中点E，连接，则，且，
又平面，平面，所以，而，所以平面，
易知平面，则C1到平面的距离即为直线B1C1到平面的距离，
所以直线B1C1到平面的距离为.故答案为：.
例题4．如图，在四棱锥中，底面是菱形，，平面平面，，，的中点为.
(1)求证：平面；
(2)求直线到面的距离.
【答案】(1)证明见解析(2).
【详解】（1）连接BD交AC于O，连接FO，
∵F为AD的中点，O为BD的中点，则，
∵平面ACF，平面ACF，∴平面ACF.
（2）因为平面平面ABCD，平面平面，，平面，所以平面ABCD.由于平面ACF，则PB到平面ACF的距离，即P到平面ACF的距离.
又因为F为PD的中点，点P到平面ACF的距离与点D到平面ACF的距离相等.
取AD的中点E，连接EF，CE，
则，因为平面ABCD，所以平面ABCD，
因为平面，所以，因为菱形且，，
所以，，
则，，，，
设点D到平面ACF的距离为，由得
即直线PB到平面ACF的距离为.
例题5．在直三棱柱中，，，且异面直线与所成的角等于，设；
（1）求的值；
（2）求直线到平面的距离.
【答案】（1）；（2）．
【详解】解：（1）∵，∴就是异面直线与所成的角，即，
又连接，

∵，则，∴为等边三角形，
∵，，∴，
∴，∴；
（2）易知平面，此时有直线上的任意一点到平面的距离等于点到平面的距离，设其为，连接，
又∵，，∴平面，并且，
∵的面积，并且的面积，
∵，∴，∴，
∴直线到平面的距离为．
角度3：面面距
典型例题
例题1．用六个完全相同的正方形围成的立体图形叫正六面体.已知正六面体的棱长为，则平面与平面间的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由题意知：正六面体是棱长为的正方体，
，，，，平面平面，
连接，，，，平面，
又平面，，同理可证得：，
又平面，，平面，平面，
设垂足分别为，则平面与平面间的距离为.
正方体的体对角线长为.
在三棱锥中，由等体积法求得：，
∴平面与平面间的距离为：.故选：.
例题2．如图，在棱长为的正方体中，、分别是与的中点.
(1)证明：平面平面；
(2)求平面与平面之间的距离.
【答案】(1)证明见解析；(2).
（1）若为中点，连接，又F是CC1的中点，
所以，，故为平行四边形，
所以，又E是AA1的中点，易知：，
所以，正方体中，而，面，
由面，则面，同理面，
又，面，故平面EB1D1平面FBD；
（2）由（1）知：平面EB1D1与平面FBD之间的距离等于到面的距离，
而，而，，故△中BD的高为，
所以，而，到面的距离，
所以，可得，故平面EB1D1与平面FBD之间的距离为.
例题3．在棱长为的正方体中，、、、分别为、、、的中点．
(1)求证：平面平面；
(2)求平面与平面之间的距离．
【答案】(1)证明见解析(2)
（1）证明：因为、分别为、的中点，则．
又因为平面，平面，所以平面．
因为，，、分别为、的中点，则且，
所以，四边形为平行四边形，则，
平面，平面，所以，平面．
又因为，所以平面平面．
（2）解：连接分别交、于点、，则为的中点，且，
因为平面，平面，，
又因为，，平面，
因为平面平面，所以，平面，
所以线段的长度等于平面与平面之间的距离，
因为、分别为、的中点，则且，
且有，则，因为正方体的棱长为，所以，
即平面与平面之间的距离为．
例题4．如图，正方体中，.
（1）求证：平面平面；
（2）求两平面与之间的距离.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【详解】(1)正方体中，且不在平面内，
所以平面同理可得，平面
又平面平面 ；
（2）如图，设，连接，
，
平面，，
又正方体中，平面，
，又，
平面，根据（1），平面平面平面，
图中线段EF为两平面的公垂线段，线段EF的长即为两平面间的距离，
平行四边形中，分别是的中点，是线段的三等分点，
，
两平面与之间的距离为.
题型3同类题型演练
1．若四棱柱的所有棱长均为2，且，则到平面的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】如图，设与交于点，连接，，，
，，又为的中点，，
四边形为菱形，，又，平面，
在平面中，过作，垂足为，则，
又，平面，即到平面的距离为，
由已知：，为等边三角形，，.
和均为等边三角形，，，
在中，由余弦定理，，
，，
在中，.故选：C.
2．如图，在三棱柱中，， ，，侧棱的长为1，则该三棱柱的高等于________
【答案】##0.5
【详解】过作平面、直线的垂线，交点分别为O，D，E，连接OD、OC、OE，则即为三棱柱的高，
由平面，平面，可得，
又，平面，平面，
所以平面，又平面，
所以，同理可得，又，所以四边形为矩形，
在直角三角形和中，，，侧棱的长为1，
则，，所以，所以，
即三棱柱的高等于.故答案为：.
3．如图，正四棱柱的底面边长为2，，E为的中点，则到平面EAC的距离为________．
【答案】
【详解】连接，
因为∥，平面，平面，所以∥平面EAC，
所以到平面EAC的距离等于到平面EAC的距离，设到平面EAC的距离为，
因为正四棱柱的底面边长为2，，所以，
因为E为的中点，所以，所以，
所以，,
因为，所以,
所以，解得，故答案为：.
4．某中学开展劳动实习，对棱长为3的正方体木块进行加工.如图，学生需要分别过顶点A和对角线BD对正方体木块进行平面切割，两个切割面与棱，，，分别交于点M，F，E，N，要求两次切割所得到的截面平行，且，则两个截面间的距离为_____________.
【答案】2
【详解】连接，分别交EF，MN于点H，Q，连接AQ.连接AC交BD于点G，连接HG.
因为平面平面，是分别是平面、平面与平面的交线，所以，因为平面平面，平面、平面，分别与平面交于直线、，与平面交于直线、，所以，，则四边形为平行四边形，.
又因为，所以点M，F，E，N分别为棱，，，的中点
在中，，由平面平面得，又，，平面，所以平面，平面，所以平面平面，所以平面AMN与平面EFBD间的距离即为Q到平面BDE的距离，即为Q到GH的距离，设为h，在平行四边形AGHQ中，，则，即两个截面间的距离为2.故答案为：2．
5．如图，在边长为的正方体中，为底面正方形的中心.
(1)求证：直线平面；
(2)求直线与平面之间的距离.
【答案】(1)证明见解析(2)
【详解】（1）连接交于点，连接，
，，四边形为平行四边形，，，
四边形，为平行四边形，分别为中点，
，，四边形为平行四边形，，
平面，平面，平面.
（2）由（1）知：平面，则直线与平面之间的距离即为点到平面的距离，
，为边长为的等边三角形，；
又，，设点到平面的距离为，
则，解得：，直线与平面之间的距离为.
题型4：直线与平面所成角探索性问题
典型例题
例题1．已知正三棱柱中，，是的中点.
(1)求证：平面；
(2)点是直线上的一点，当与平面所成的角的正切值为时，求三棱锥的体积．
【答案】(1)证明见解析；(2)
（1）证明：连接交于点，连接，
因为四边形为平行四边形，，则为的中点，
因为为的中点，则，
平面，平面，故平面.
（2）解：因为平面，与平面所成的角为，
因为是边长为的等边三角形，则，
平面，平面，，则，所以，，
平面，，所以，点到平面的距离等于点到平面的距离，
因为为的中点，则，
则.
例题2．已知点是边长为2的菱形所在平面外一点，且点在底面上的射影是与的交点，已知，是等边三角形.
(1)求证：；
(2)求点到平面的距离；
(3)若点是线段上的动点，问：点在何处时，直线与平面所成的角最大？求出最大角的正弦值，并说明点此时所在的位置.
【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)，在线段上靠近点的处.
（1）因为点在底面上的射影是与的交点，所以平面.
因为平面,所以.
因为四边形为菱形，所以.
因为平面,所以平面.
因为平面，所以.
（2）由题意可得、与都是边长为2的等边三角形，
所以,.所以.
因为,所以.设点到平面的距离为，
由得，即，解得.
故点到平面的距离为.
（3）设直线与平面所成的角为，平面，
∴到平面的距离即为到平面的距离.过作垂线平面交于点，则，
此时,要使最大，则需使最小，此时.
经计算得，，，则，此时在线段上靠近点的处.
例题3．如图，在三棱锥中，侧面，是全等的直角三角形，是公共的斜边，且，，另一个侧面是正三角形．
(1)求证：；
(2)在棱上是否存在一点，使与面所成角为？若存在，求的长；若不存在，说明理由．
【答案】(1)证明见解析(2)存在，.
（1）证明：如图1所示，取中点，连接，
因为，所以，
又因为，所以
又因为，且平面，所以平面，
因为平面，所以.
（2）解：存在．如图1所示，作于点，由（1）知，
因为，且平面，所以平面，
设，则，，
因为无解，即点在延长线上，如图2所示，
所以，解得，即，
所以，所以垂足与构成一个正方形，
过作交于，连接,
因此平面，所以平面，所以，
记，则，，
所以，解得，即存在满足条件．
同类题型演练
1．如图，三棱锥中，，，．
(1)AB上是否存在点Q，使得．若存在，求出点Q的位置并证明，若不存在，说明理由；
(2)若，求直线AB与平面PAC所成角的正弦值．
【答案】(1)存在Q，且Q是AB中点时，，证明见解析(2)
【详解】（1）
存在Q，且Q是AB中点时，；
证明如下：如图，取AC中点M，连结PM，QM，，，∴，
又∵PA＝PC，∴， ，∴平面PMQ， 平面PMQ，即：；
（2）如图，过点B作AC的平行线交MQ的延长线于点D，
由（1）知：平面PMQ，∴ 平面PMD， 平面PMD， ，∠BDP＝90°， ，
，，，
中，，DM＝BC＝1，，
，由于平面PMQ， 平面PAC，∴平面平面PAC，
在 中， ，
,
点Q到平面PAC的距离 ，，
因此AQ与平面PAC所成角的正弦值，
即：直线AB与平面PAC所成角的正弦值为．
2．如图，在三棱锥中，，，，为的中点.
(1)证明：平面ABC；
(2)若E是棱AC上的动点，当的面积最小时，求SC与平面SDE所成角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析(2)
【详解】（1）
因为，又D为BC的中点，所以，且，
连接，，所以为等腰直角三角形，且，
，由，可知，
由，，，平面，可知平面.
（2）解：因为，平面，所以，，所以，
当的面积最小时，取最小值，此时得，
这时为的中位线，且.
因为，且，，平面，所以平面，故为与平面所成的角.
因为E是AC的中点，所以.在中，，
所以SC与平面SDE所成角的正弦值为，余弦值为.
3．在三棱锥中，的面积为，点O为的中点，，且．
(1)求证：平面平面．
(2)E为线段上的点，若与面所成的角为，求的长度．
【答案】(1)证明见解析；(2)1
1）证明：∵且，∴，又，
由，可得，解得，则，
所以为正三角形，所以；
因为，所以，
因为，平面，所以平面，
因为平面，所以平面平面．
（2）解：作，交的延长线于点，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，平面，所以，
在直角三角形中，，在等边三角形中，，
在中，，所以．
在直角三角形中，，，
过点作，垂足为，则，所以平面，
所以就是与平面所成的角，
设，由，得，
由，得，在直角三角形中，，
因为与平面所成角为，所以，即，即．
即在线段上是存在一点，使与面成角，且．
三、高考（模拟）题体验
1．在三棱柱中，底面，，点是棱上的点，，若截面分这个棱柱为两部分，则这两部分的体积比为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】取中点，连接，
由题意知：为等边三角形，则为等边三角形，，
平面，平面平面，平面，
又平面，，平面，平面，
不妨设，则，，，
，，
，，
，即截面分棱柱的两部分的体积比为.故选：D.
2．如图，对于直四棱柱，要使，则在四边形中，满足的条件可以是______．（只需写出一个正确的条件）
【答案】（只要使得即可）.
【详解】连接，如下图所示：
因为平面，平面，则，
若，，、平面，平面，
平面，.故答案为：（只要使得即可）.
3．如图，四棱锥的底面是梯形，为延长线上一点，平面是中点.
(1)证明：；
(2)若，三棱锥的体积为，求点到平面的距离.
【答案】(1)证明见解析；(2)
【详解】（1）连接，
平面平面，同理，，，
.
又平面,平面.
平面.
取的中点，连接为的中点，，.
，，
为的中点，.
又平面，平面.
平面.
（2）.
，且四边形为矩形，即，
又由（1），平面，，平面.
∴.
连接，中，中.
为中点，点到平面的距离中，.
由（1）知面，在中，，
中，∴，
.
设点到平面的距离为，则即，
解得.所以点到平面的距离为.
4．如图，多面体中，四边形为菱形，平面，且.
(1)求证：；
(2)求点到平面的距离.
【答案】(1)证明见解析(2)
【详解】（1）证明：平面，平面，
四边形为菱形，，
又，平面平面，平面
（2）
平面，，
由四边形为菱形，，可得，，
设点到平面的距离为，则，
由可得，解得.点到平面的距离为.
5．如图，四面体中，是的中点.
(1)当在线段上移动时，判断与是否垂直，并说明理由；
(2)若，当是线段的中点时，求到平面的距离.
【答案】(1)，理由见解析(2)
【详解】（1）解：，理由如下：连接，，
∵，，，∴．
∴，又是的中点∴．
∵，∴，且，平面．
∴平面，又平面．∴．
（2）解：由，，可得，
∵是的中点，∴．
由（1）知，且，
∴，．可得．
又，，平面∴平面．
当是线段中点时到平面的距离与到平面的距离相等．
因为是线段中点，所以到平面的距离为，
由题可知，
设到平面的距离为h，，
由，即∴．
即到平面的距离为．