2025高二数学第五章数列5.1数列基础5.1.2数列中的递推课件新人教B版选择性必修第三册

5.1.2 数列中的递推 第五章 数 列学习目标1.逐步体会递推公式是数列的一种表示方法.(数学抽象)2.理解递推公式的概念及含义,能够根据递推公式写出数列的前几项.(数学运算)3.掌握由一些简单的递推公式求数列的通项公式的方法.(数学运算)4.理解数列的前n项和,会根据数列的前n项和Sn求通项an.(数学运算)尝试与发现 如下是某次智力测试中的一道题，你能做出来吗？你能用数列的语言来描述有关问题吗？观察1，3， 6，10，15，…中数字出现的规律，写出第8个数.问题探究 概念解析 一、数列的递推关系 如果已知数列的首项(或前几项),且数列的相邻两项或两项以上的关系都可以用一个公式来表示,则称这个公式为数列的递推关系(也称为递推公式或递归公式).通项公式与递推公式的区别与联系概念辨析典例解析    归纳总结 跟踪训练例2.意大利数学家斐波那契在13世纪初提出了一个关于兔子繁殖的问题：假设每对新生的小兔子2个月后就长大成大兔子，且从第3个月起每个月都生1对小兔子，兔子均不死亡.由1对新生小兔子开始，记每个月的兔子对数构成的数列为{Fn}，试写出F1，F2，F3，F4，F5，F6以及数列{Fn}的递推关系.典例解析   数学文化尝试与发现 已知某电子书，今年上半年每个月的销售量构成数列，220，530，950，1360，1820，2350，假设你是该电子书的销售人员，关于上述数列除了每一个数字的大小和增长趋势外，你还会关心什么？作为销售人员，一般来说还会关心上半年电子书的总销售量，即220+530+950+1360+1820+2350=7230二、数列的前n项和一般地,给定数列{an},称Sn=a1+a2+a3+…+an为数列{an}的前n项和.概念解析例如，对于尝试与发现中的数列来说，S1=a1=220，S2=a1+a2=220+530=750，S3=a1+a2+a3=S2+a3=750+1360=2110，等等。尝试与发现   概念解析三、 an与Sn的关系  典例解析由Sn求an的方法an= 若a1适合an(n≥2),则用一个公式表示an,若a1不适合an(n≥2),则要用分段函数的形式表示an.此时不可不求a1而直接求an.归纳总结跟踪训练2. (1)若数列{an}的前n项和Sn满足Sn=2n2-3n,求通项an;(2)若数列{an}的前n项和Sn满足Sn=5n-3,求通项an.跟踪训练解:(1)当n=1时,a1=S1=2×12-3×1=-1;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(2n2-3n)-[2(n-1)2-3(n-1)]=4n-5.显然a1=-1也适合n≥2时的an=4n-5.故数列{an}的通项公式为an=4n-5.(2)当n=1时,a1=S1=51-3=2;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(5n-3)-(5n-1-3)=4×5n-1,显然a1=2不适合n≥2时的an=4×5n-1.1.下列说法错误的是(　　)A.递推公式也是数列的一种表示方法B.an=an-1,a1=1(n≥2)是递推公式C.给出数列的方法只有图像法、列表法、通项公式法D.an=2an-1,a1=2(n≥2)是递推公式当堂达标解析:通过图像、列表、通项公式我们可以确定一个数列,另外根据递推公式和数列的第一项,我们也可以确定数列.an=an-1(n≥2)与an=2an-1(n≥2),这两个关系式虽然比较特殊,但都表示的是数列中的任意项与它的前后项间的关系,且都已知a1,所以都是递推公式.答案:C2.已知数列{an}的第1项是1,第2项是2,以后各项由an=an-1+an-2(n>2)给出,则该数列的第5项等于(　　)A.6 B.7 C.8 D.9解析:∵a1=1,a2=2,an=an-1+an-2(n>2),∴a3=a2+a1=2+1=3,a4=a3+a2=3+2=5,a5=a4+a3=5+3=8.答案:C解析:当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n3-(n-1)3,故a4=43-33=64-27=37.答案:B3.设数列{an}的前n项和Sn=n3,则a4的值为(　　)A.15 B.37 C.27 D.644.在数列{an}中,a1=2,an+1=an+ln ,则通项公式an=　　　　　.  ∵a1=2,∴an=2+ln n.∵a1=2+ln 1=2,∴{an}的通项公式为2+ln n.答案:2+ln n 5.已知数列{an}满足a1=0,an+1=an+(2n-1),写出它的前5项,并归纳出数列的一个通项公式.解:∵a1=0,an+1=an+(2n-1),∴a2=a1+(2×1-1)=0+1=1,a3=a2+(2×2-1)=1+3=4,a4=a3+(2×3-1)=4+5=9,a5=a4+(2×4-1)=9+7=16.故该数列的一个通项公式是an=(n-1)2.课堂小结