2021学年第五章 数列5.1 数列基础5.1.2 数列中的递推巩固练习

这是一份2021学年第五章 数列5.1 数列基础5.1.2 数列中的递推巩固练习，共4页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.数列{an}满足a1=2019,且对任意的n∈N*,有an+3-an=2n,则a7=( )
A.2021B.2035
C.2037D.2041
2.已知数列{an}满足an+1=an+3,a1=0,则数列{an}的通项公式可以是( )
A.an=n B.an=2n
C.an=3n-3D.an=3n+3
3.已知数列{an}满足a1=1,an+1=an+3,an为奇数,2an+1,an为偶数,则a6=( )
A.16B.25C.28D.33
4.已知数列{an}的前n项和Sn=n2+1,则a1+a3=( )
A.6B.7C.8D.9
5.已知在数列{an}中,an+1=an+2-an,a1=2,a2=5,则a5为( )
A.-3 B.-11
C.-5 D.19
6.已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,Sn=n2an(n∈N*),可猜想出Sn的表达式为( )
A.Sn=2nn+1 B.Sn=3n-1n+1
C.Sn=2n+1n+2D.Sn=2nn+2
7.在数列{an}中,a1=2,an+1=an+ln1+1n,则an等于( )
A.2+ln n B.2+(n-1)ln n
C.2+nln nD.1+n+ln n
8.(多选题)图是某省从1月21日至2月24日的新冠肺炎每日新增确诊病例变化曲线图.
若该省从1月21日至2月24日的新冠肺炎每日新增确诊人数按日期顺序排列构成数列{an},数列{an}的前n项和为Sn,则下列说法中不正确的是( )
A.数列{an}是递增数列
B.数列{Sn}是递增数列
C.数列{an}的最大项是a11
D.数列{Sn}的最大项是S11
二、填空题
9.若数列{an}满足a1=1,an+1=3an+1,则a4= .
10.若数列{an}的前n项和Sn=n2-2n,则此数列的通项公式为 .
11.在数列{an}中,已知a1=1,且满足an+1=an+ann+1,则数列{an}的通项公式为 .
12.已知数列{an}中,a1=1,且an+1+2an+3=0,n∈N*,数列{an}的前n项和为Sn,则a6= ,S6= .
三、解答题
13.已知Sn为数列{an}的前n项和,且lg2(Sn+1)=n+1,求数列{an}的通项公式.
14.一位幼儿园老师给班上k(k≥3)个小朋友分糖果.她发现糖果盒中原有糖果数为a,就先从别处抓2块糖加入盒中,然后把盒内糖果的12分给第一个小朋友,再从别处抓2块糖加入盒中,然后把盒内糖果的13分给第二个小朋友,以后她总是在分给一个小朋友后,就从别处抓2块糖放入盒中,然后把盒内糖果的1n+1分给第n(n=1,2,3,…,k)个小朋友.设分给第n个小朋友后(未加入2块糖果前)盒内剩下的糖果数为an.
(1)当k=3,a=12时,分别求a1,a2,a3;
(2)用an-1(n≥2)表示an.
15.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=(a1+1)n2+n2.
(1)求数列{an}的通项公式.
(2)请问:是否存在正整数k,使得akak+2ak+1为数列{an}中的项?若存在,请求出k的值;若不存在,请说明理由.
参考答案
1.C 【解析】 因为an+3-an=2n,a1=2019,所以a7=a7-a4+a4-a1+a1=24+2+2019=2037.故选C.
2.C 【解析】 an=an-1+3=an-2+2×3=an-3+3×3=…=a1+3(n-1)=3n-3,故选C.
3.C 【解析】 当n=1时,a2=1+3=4;当n=2时,a3=2×4+1=9;当n=3时,a4=9+3=12;当n=4时,a5=2×12+1=25;当n=5时,a6=25+3=28.故选C.
4.B 【解析】 因为S1=a1=2,S2=a1+a2=5,所以a2=3,因为S3=a1+a2+a3=10,所以a3=5,则a1+a3=7.故选B.
5.D 【解析】 因为an+1=an+2-an,所以an+1+an=an+2,故a3=2+5=7,a4=5+7=12,a5=7+12=19,故选D.
6.A 【解析】 由a1=1,S2=a1+a2=22a2,得a2=13,S2=43;因为1+13+a3=32a3,所以a3=16,S3=32=64;因为1+13+16+a4=16a4,所以a4=110,S4=85.由S1=1=22,S2=43,S3=64,S4=85,可以猜想Sn=2nn+1.故选A.
7.A 【解析】 因为an+1-an=ln n+1n=ln(n+1)-ln n,所以a2-a1=ln 2-ln 1,a3-a2=ln 3-ln 2,a4-a3=ln 4-ln 3,…,an-an-1=ln n-ln(n-1)(n≥2).把以上各式累加得an-a1=ln n-ln 1,则an=2+ln n,且a1=2也适合上式,因此an=2+ln n(n∈N*).
8.ABD 【解析】 因为1月28日新增确诊人数小于1月27日新增确诊人数,即a7>a8,所以{an}不是递增数列,所以选项A中说法错误;因为2月23日新增确诊病例数为0,所以S33=S34,所以数列{Sn}不是递增数列,所以选项B中说法错误;因为1月31日新增确认病例数最多,从1月21日算起,1月31日是第11天,所以数列{an}的最大项是a11,所以选项C中说法正确;
数列{Sn}的最大项是S35,所以选项D中说法错误.故选ABD.
9.40 【解析】 数列{an}满足a1=1,an+1=3an+1,当n=1时,可得a2=3a1+1=3×1+1=4;当n=2时,可得a3=3a2+1=3×4+1=13;当n=3时,可得a4=3a3+1=3×13+1=40.
10.an=2n-3 【解析】 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-3,又a1=S1=-1也满足上式,所以an=2n-3.
11.an=n+12 【解析】 由an+1=an+ann+1,得an+1an=n+2n+1,于是n≥2时,anan-1=n+1n,an-1an-2=nn-1,…,a3a2=43,a2a1=32.
将上面(n-1)个式子相乘得ana1=n+12(n≥2),∵a1=1,∴an=n+12(n≥2).∵a1=1也适合上式,∴an=n+12.
12.-65 -48 【解析】 因为an+1+2an+3=0,所以an+1=-2an-3,又因为a1=1,所以a2=-2-3=-5,a3=-2×(-5)-3=7,a4=-2×7-3=-17,a5=-2×(-17)-3=31,a6=-2×31-3=-65,所以S6=1-5+7-17+31-65=-48.
13.解:由lg2(Sn+1)=n+1,得Sn+1=2n+1,即Sn=2n+1-1.当n=1时,a1=S1=3;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n.所以数列{an}的通项公式为an=3,n=1,2n,n≥2.
14.解:(1)当k=3,a=12时,a1=(a+2)-12(a+2)=7,a2=(a1+2)-13(a1+2)=6,a3=(a2+2)-14(a2+2)=6.
(2)由题意知an=(an-1+2)-1n+1(an-1+2)=nn+1(an-1+2)(n≥2).
15.解:(1)当n=1时,S1=a1=a1+22,得a1=2,可得Sn=3n2+n2.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3n2+n2-3(n-1)2+(n-1)2=3n-1,a1=2也符合an=3n-1,所以数列{an}的通项公式为an=3n-1.
(2)akak+2ak+1=(3k-1)(3k+5)3k+2=[(3k+2)-3][(3k+2)+3]3k+2=(3k+2)2-93k+2=3k+2-93k+2.若akak+2ak+1为数列{an}中的项,则93k+2为正整数,故3k+2=1或3或9,解得k=-13或13或73,又k为正整数,故不存在正整数k,使得akak+2ak+1为数列{an}中的项.