数学选择性必修 第三册5.1.2 数列中的递推教案

5.1.2　数列中的递推

情境导学

1．数列的递推公式

如果已知数列的首项(或前几项)，且数列的相邻两项或两项以上的关系都可以用一个公式来表示，则称这个公式为数列的递推关系(也称为递推公式或递归公式)．

拓展：数列递推公式与通项公式的关系

2.数列的前n项和

(1)一般地，给定数列{an}，称Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an为数列{an}的前n项和．

(2)Sn与an的关系

an＝

1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)递推公式是表示数列的一种方法． (　　)

(2)所有的数列都有递推公式．  (　　)

(3)若数列{an}的前n项和为Sn，则an＝Sn－Sn－1，n∈N＋. (　　)

(4)若数列{an}的前n项和为Sn，则a1＝S1. (　　)

[答案]　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√

2．(教材P9例1改编)数列1，，，，…的递推公式可以是(　　)

A．an＝ B．an＝

C．an＋1＝an D．an＋1＝2an

C　[由题意可知C选项符合，故选C.]

3．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2，则a2＝________.

3　[a2＝S2－S1＝4－1＝3.]

4．已知数列{an}中，a1＝－，an＋1＝1－，则a2__________.

3　[因为a1＝－，an＋1＝1－，

所以a2＝1－＝1＋2＝3.]

合作探究

【例1】　(1)已知数列{an}满足关系anan＋1＝1－an＋1(n∈N＋)且a2 019＝2，则a2 020＝(　　)

A．－  B.  C．－  D.

(2)已知数列{an}满足a1＝1，an＋2－an＝6，则a11的值为(　　)

A．31  B．32  C．61  D．62

(1)B　(2)A　[(1)由anan＋1＝1－an＋1，

得an＋1＝，

又∵a2 019＝2，

∴a2 020＝，故选B.

(2)∵数列{an}满足a1＝1，an＋2－an＝6，

∴a3＝6＋1＝7，a5＝6＋7＝13，a7＝6＋13＝19，a9＝6＋19＝25，a11＝6＋25＝31，故选A.]

(由递推公式写出数列的项的方法

1根据递推公式写出数列的前几项，首先要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可.

2若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式，如an＝2an＋1＋1.

3若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式，如an＋1＝.

1．已知数列{an}的第1项a1＝1，以后的各项由公式an＋1＝给出，试写出这个数列的前5项．

[解]　∵a1＝1，an＋1＝，

∴a2＝＝，

a3＝＝＝，

a4＝＝＝，

a5＝＝＝.

故该数列的前5项为1，，，，.

【例2】　(教材P12例3改编)已知数列{an}的前n项和为Sn，求{an}的通项公式：

(1)Sn＝2n2－3n；

(2)Sn＝3n－2.

[思路点拨]　应用an＝Sn－Sn－1(n≥2)求解，注意检验n＝1时a1是否满足an(n≥2)．

[解]　(1)当n＝1时，a1＝S1＝2－3＝－1；

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1

＝2n2－3n－[2(n－1)2－3(n－1)]

＝4n－5.(*)

当n＝1时，a1满足(*)式，故an＝4n－5.

(2)当n＝1时，a1＝S1＝3－2＝1.

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n－2)－(3n－1－2)＝2·3n－1.(*)

当n＝1时，a1不满足(*)式，

故an＝

(已知数列{an}的前n项和公式Sn，求通项公式an的步骤：

1当n＝1时，a1＝S1.

2当n≥2时，根据Sn写出Sn－1，化简an＝Sn－Sn－1.

3如果a1也满足当n≥2时，an＝Sn－Sn－1的通项公式，那么数列{an}的通项公式为an＝Sn－Sn－1；,如果a1不满足当n≥2时，an＝Sn－Sn－1的通项公式，那么数列{an}的通项公式要分段表示为an＝.

[探究问题]

1．在数列{an}中，a1＝3，＝2，照此递推关系，你能写出{an}任何相邻两项满足的关系吗？若将这些关系式两边分别相乘，你能得到什么结论？

[提示]　按照＝2可得＝2，＝2，＝2，…，＝2(n≥2)，将这些式子两边分别相乘可得···…·＝2·2·…·2.

则＝2n－1，所以an＝3·2n－1(n∈N＋)．

2．在数列{an}中，若a1＝3，an＋1－an＝2，照此递推关系试写出前n项中，任何相邻两项的关系，将这些式子两边分别相加，你能得到什么结论？

[提示]　由an＋1－an＝2得a2－a1＝2，a3－a2＝2，a4－a3＝2，…，an－an－1＝2(n≥2，n∈N＋)，将这些式子两边分别相加得：a2－a1＋a3－a2＋a4－a3＋…＋an－an－1＝2(n－1)，即an－a1＝2(n－1)，所以有an＝2(n－1)＋a1＝2n＋1(n∈N＋)．

【例3】　设数列{an}是首项为1的正项数列，且an＋1＝an(n∈N＋)，求数列的通项公式．

[思路点拨]　由递推公式，分别令n＝1,2,3，得a2，a3，a4，由前4项观察规律，可归纳出它的通项公式；或利用an＋1＝an反复迭代；或将an＋1＝an变形为＝进行累乘；或将an＋1＝an变形为＝1，构造数列{nan}为常数列．

[解]　法一：(归纳猜想法)因为an＋1＝an，a1＝1，a2＝×1＝，a3＝×＝，a4＝×＝，…

猜想an＝.

法二：(迭代法)因为an＋1＝an，

所以an＝an－1＝·an－2＝…＝··…·a1，从而an＝.

法三：(累乘法)因为an＋1＝an，

所以＝，

则··…·＝··…·，

所以an＝.

法四：(转化法)因为an＋1＝an，

所以＝1，

故数列{nan}是常数列，nan＝a1＝1，所以an＝.

由数列的递推公式求通项公式时，若递推关系为an＋1＝an＋f(n)或an＋1＝g(n)·an，则可以分别通过累加或累乘法求得通项公式，即：

(1)累加法：当an＝an－1＋f(n)时，常用an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1求通项公式．

(2)累乘法：当＝g(n)时，常用an＝··…··a1求通项公式．

2．已知数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋3(n∈N＋)，写出这个数列的前5项，猜想an并加以证明．

[解]　a1＝2，a2＝a1＋3＝5，

a3＝a2＋3＝8，a4＝a3＋3＝11，

a5＝a4＋3＝14，

猜想：an＝3n－1.

证明如下：由an＋1＝an＋3得

a2＝a1＋3，

a3＝a2＋3，

a4＝a3＋3，

…

an＝an－1＋3.

将上面的(n－1)个式子相加，得

an－a1＝3(n－1)，

所以an＝2＋3(n－1)＝3n－1.

课堂小结

1．因为an＝Sn－Sn－1只有当n≥2时才有意义，所以由Sn求通项公式an＝f(n)时，要分n＝1和n≥2两种情况分别计算，然后验证两种情况可否用统一解析式表示，若不能，则用分段函数的形式表示．

2．要注意通项公式和递推公式的区别

通项公式直接反映an和n之间的关系，即an是n的函数，知道任意一个具体的n值，就可以求出该项的值an；而递推公式则是间接反映数列的式子，它是数列任意两个(或多个)相邻项之间的推导关系，不能由n直接得出an.

1．数列1,3,6,10,15，…的递推公式是(　　)

A．an＋1＝an＋n，n∈N＋

B．an＝an－1＋n，n∈N＋，n≥2

C．an＋1＝an＋(n＋1)，n∈N＋

D．an＝an－1＋(n－1)，n∈N＋，n≥2

C　[由题意知a2－a1＝2，

a3－a2＝3，

a4－a3＝4，

…

an＋1－an＝n＋1，n∈N＋，故选C.]

2．数列{an}的前n项和Sn＝3n2－2n＋1，则数列{an}的通项公式an为(　　)

A．an＝6n－5 B．an＝

C．an＝6n＋1 D．an＝

B　[当n＝1时，a1＝S1＝3－2＋1＝2.

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n2－2n＋1－[3(n－1)2－2(n－1)＋1]＝6n－5.(*)

又n＝1时，不满足(*)式，

∴an＝故选B.]

3．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1－an＋1＝0(n∈N＋)，则数列{an}的通项为(　　)

A．an＝n2＋1 B．an＝n＋1

C．an＝1－n D．an＝3－n

D　[∵an＋1－an＝－1，

∴当n≥2时，

an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)

＝2＋

＝2＋(－1)×(n－1)

＝3－n.

当n＝1时，也满足，故an＝3－n(n∈N＋)．]

4．已知非零数列{an}的递推公式为a1＝1，an＝·an－1(n≥2)，则a4＝________.

4　[依次对递推公式中的n赋值，当n＝2时，a2＝2；当n＝3时，a3＝a2＝3；当n＝4时，a4＝a3＝4.]

5．已知数列{an}的第1项是2，以后的各项由公式an＝(n＝2,3,4，…)给出，写出这个数列的前5项，并归纳出数列{an}的通项公式．

[解]　可依次代入项数进行求值．

a1＝2，a2＝＝－2，a3＝＝－，

a4＝＝－，

a5＝＝－.

即数列{an}的前5项为2，－2，－，－，－.

也可写为，，，，.

即分子都是－2，分母依次加2，且都是奇数，所以an＝－(n∈N＋)．