高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第三册数列中的递推第1课时学案

这是一份高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第三册数列中的递推第1课时学案，共9页。
学案
学习目标
1. 理解数列递推公式的含义，理解递推公式与通项公式的区别与联系.
2. 能观察数列项与项之间的内在联系，根据递推公式求出数列的前几项.
3. 掌握由一些简单的递推公式求数列的通项公式的方法.
引入课题
1.如果数列 an 的通项公式为an=n2+2n，那么120是不是这个数列的项？ 如果是，是第几项？
2.图中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形. 在图中4个大三角形中，着色的三角形的个数依次构成一个数列的前4项，写出这个数列的一个通项公式.

知识讲解
1.递推公式的概念
如下是某次智力测试中的一道题，你能做出来吗？你能用数列的语言来描述有关问题吗？
观察1，3，6，10，15，…中数字出现的规律，写出第8个数.
知识归纳：如果一个数列的相邻两项或两项以上的关系都可以用一个公式来表示则称这个公式为数列的递推关系（也称为递推公式或递归公式）. 递推公式也是数列的一种表示方法.
典例分析
例1 分别写出下列数列an的一个递推关系，并求出各个数列的第7 项.
（1）1，2，4，7，11，…；
（2）-1，2，5，8，11，…；
（3）1，-2，4，-8，16，….
解：（1）a2- a1=2-1=1，
a3-a2=4-2=2，
a4-a3=7-4=3，
a5-a4=11-7=4，
所以an+1-an=n，
即an+1=an+n.
从而，a6= a5+5=11+5=16，
a7= a6+5=16+6=22.
（2）a2- a1=a3-a2= a4-a3=a5-a4=3，所以an+1-an=3，即an+1=an+3.
a7=a6+3=a5+3+3=11+6=17.
（3）因为a2a1=a3a2 =a4a3 =a5a4 =-2，所以an+1an=-2，即an+1=-2an.
a7=(-2)a6=(-2)2a5=(-2)2×16=64.
归纳：一般来说，根据数列的首项（或前几项）以及数列的递推关系，可以求出这个数列中的每一项.
2.递推公式概念理解
问题1：所有的数列都可以用递推公式表示吗？
问题2：由递推公式给出一个数列需要哪些条件？
结论：（1）与数列不一定都有通项公式一样，并不是所有的数列都有递推公式.
（2）递推公式也是给出数列的一种重要方法，递推公式和通项公式一样都是关于序号 n 的恒等式，用符合要求的正整数依次去替换 n，就可以求出数列的各项.
（3）递推公式通过赋值可逐项求出数列的项，直至求出所需的项.
（4）运用递推法给出数列，可以揭示数列的一些性质, 但不容易了解数列的全貌, 也不方便计算. 我们可以用它得出数列的通项公式或者得到一个特殊数列，比如具有周期性的数列.
（5）由递推公式给出一个数列的条件：
用递推公式给出一个数列，必须给出:
①“基础”——数列 an的第 1 项或前几项;
②递推关系一一数列 an的任一项 an 与它的前一 项 an-1（或前几项）之前的关系，并且这个关系可以用一个公式来表示.
例2 意大利数学家斐波那契在 13 世纪初提出了一个关于兔子繁殖的问题：假设每对新生的小兔子2个月后就长成大兔子，且从第3个月起每个月都生1对小兔子，兔子均不死亡，由1对新生的小兔子开始，记每个月的兔子对数构成的数列为Fn. 试写出F1，F2，F3，F4，F5，F6以及数列Fn的递推关系.
思考过程：
前2个月内，F1=F2=1.
第3个月时，F3=1+1=2.
第4个月时，F4=2+1=3.
第5个月时，F5=3+2=5.
第6个月时，F6=5+3=8.
即当前月的免子总数=上个月的免子总数+上上个月的免子总数
一般地，当 n≥3 时，第n个月的兔子对数Fn，应该等于第n-1个月的兔子对数 Fn-1加上新生的兔子对数，又因为第n-2个月的那些对兔子到了第n个月都能生1对兔子，所以有Fn=Fn-1+Fn-2.
递推公式：Fn=1，n=1，2， Fn-1+Fn-2，n≥3.
通项公式：Fn=15[(1+52)n-1-52n].
问题3：数列的递推公式是关于正整数n的函数吗？如果给定一个数列的递推公式，然后任给一个n的值，能由递推公式直接算出第n项的值吗？
解：若数列 an的通项公式为an=2n+1，a10=2×10+1=21.
若数列 an的递推公式为a1=2，an=an-1+2n≥2，不能直接将n=10代入求得a10.
问题4：递推关系和通项公式有什么区别和联系？
3.由递推公式求通项公式
（1）已知a1=1， an+1-an=2，求数列an的通项公式.
解：方法一，∵an=an-1+1×2
=an-2+2×2
=an-3+3×2
…
=a1+n-1×2
=2n-1，
又a1=2n-1=1，满足上式，
∴ 数列an的通项公式为an =2n-1(nϵN*).
方法二，∵a1=1， an+1-an=2，
∴a2-a1=2，
a3-a2=2，
a4-a3=2，
a5-a4=2，
…
an-an-1=2，
将上述(n-1)个式子的两边分别相加得，
a2-a1+a3-a2+a4-a3+a5-a4+…+(an-an-1)=2+2+2+2+…+2=2(n-1)(n≥2)，
即an-a1=2(n-1)(n≥2)，
又a1=1，
∴ an=2n-1 (n≥2).
又a1=2n-1=1，满足上式，
∴ 数列an的通项公式为an =2n-1(nϵN*).
（2）已知a1=1， an+1=2an，求数列an的通项公式.
解：方法一，由已知得数列an各项均不为零，
∵an=2an-1
= 22an-2
= 23an-3
…
= 2n-1a1(n≥2)，
又a1=2(1-1)=1，也满足上式，
∴数列an的通项公式为an= 2(n-1) (nϵN*).
方法二，由已知得数列an各项均不为零，
∵ anan-1=2(n≥2)，
∴a2a1=2， a3a2=2， a4a3=2，…， anan-1=2，
将上述(n-1)个式子两边相乘得，
a2a1∙a3a2 ∙ a4a3 ∙… ∙ anan-1= ana1=2(n-1) (n≥2)，
又a1=1，所以an= 2(n-1) (n≥2)，
a1=2(1-1)=1，也满足上式，
∴数列an的通项公式为an= 2(n-1) (nϵN*).
思考：累加法和累乘法求通项公式的基本步骤
累乘法：若数列的递推关系形如an+1=fnanan≠0，即an+1an=f(n) ，且
数列fn可求积，一般用累乘法求通项公式.
由递推关系得， a2a1=f(1) ， a3a2=f(2) ，a4a3=f(3) ，…， anan-1=fn-1
(n≥2) ，以上各式两边相乘得ana1=f(1)∙f(2)∙ f(3) ∙ …∙ f(n-1)，从而
an=a1 f(1)∙f(2)∙ f(3) ∙ …∙ f(n-1).
累加法：若数列的递推关系形如an+1-an=f(n)，则可用累加法.
an-an-1=f(n)，an-1-an-2=f(n-1)，…，
a3-a2=f(3)，a2-a1=f(2)，
将以上等式左右两边相加，得
an-an-1+an-1-an-2+…+a3-a2+a2-a1=fn+fn-1+…+f3+f(2)，
即an=a1+ f(2) +f3+…+fn-1+fn
注意：检验当 n = 1 时，是否满足结论，得出最后的结论.
随堂练习
1.分别写出下列数列an的一个递推关系，并求出各个数列的第7项．
（1）4，5，7，10，14…；
（2）7，9，11，13，15…；
（3）2，6，18，54，162 ….
解：（1） an+1=an+n，a6=14+6=20，a7=20+5=25；
（2） an+1=an+2，a7=15+2+2=19；
（3） an+1=3an，a7=162×3×3=1 458.
2.根据以下信息，分别写出数列an的前5项.
（1）a1=2，an+1=12an；
（2）a1=3，an+1=an+2.
解：（1） a1=2，a2=1，a3=12， a4=14， a5=18；
（2） a1=3，a2=5，a3=7， a4=9， a5=11.
3. 数列an中，a1=1， an+1-an=n+1，求数列an的通项公式.
解：∵a1=1， an+1-an=n+1，
∴ n≥2时， a2-a1=2， a3-a2=3，…， an-an-1=n，
∴a2-a1+a3-a2+a4-a3+a5-a4+…+(an-an-1)=2+3+…+n=(n-1)(n+2)2(n≥2)，
∴an-a1=(n-1)(n+2)2(n≥2)，
∴ an=1+ (n-1)(n+2)2=n2+n2(n≥2)，
∵a1=1+12=1，符合条件，
∴ an=n2+n2 (nϵN*).
4. 已知数列an中，满足a1=2， an+1=n+2n an (nϵN*)，求数列an的通项公式.
解：∵an+1=n+2n an，
∴ anan-1=n+1n-1(n≥2)，
当an=a1∙a2a1∙a3a2 ∙ a4a3 ∙… ∙ anan-1=2×31 ×42 ×…×n+1n-1=n(n+1)(n≥2)，
又a1=2满足上式，
∴数列an的通项公式为an=n(n+1)(nϵN*).
本课小结
我的收获：