人教B版 (2019)5.1.2 数列中的递推导学案及答案

5.1.2　数列中的递推

 必备知识·素养奠基

1.数列的递推公式

如果已知数列的首项(或前几项),且数列的相邻两项或两项以上的关系都可以用一个公式来表示,则称这个公式为数列的递推关系(也称为递推公式或递归公式).

数列递推公式与通项公式有什么区别和联系?

提示:

2.数列的前n项和

(1)定义:一般地,给定数列{an},称Sn=a1+a2+a3+…+an为数列{an}的前n项和.

(2)关系:an=

1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)

(1)递推公式不能用来表示数列. (　　)

(2)所有的数列都有递推公式. (　　)

(3)由公式an+1=an-2(n≥1)可写出数列{an}的所有项.(　　)

(4)若数列{an}满足an+1=an,则该数列是常数列. (　　)

提示:(1)×.递推公式也是给出数列的一种重要方法.

(2)×.并不是所有的数列都有递推公式.例如精确到1,0.1,0.01,0.001,… 的不足近似值排列成一列数:1,1.4,1.41,1.414,…就没有递推公式.

(3)×.还需知道数列中至少一项的值.

(4)√.该数列每一项都相同.

2.已知数列{an}满足a1=1,an+1=an+n,则a3的值为 (　　)

A.2   B.3   C.4   D.5

【解析】选C.由a1=1,an+1=an+n,所以a2=a1+1=2,a3=a2+2=2+2=4.

3.已知数列{an}满足a1<0,=2(n∈N+),则数列{an}是________数列(填“递增”或“递减”). 

【解析】由已知a1<0,an+1=2an(n∈N+),得an<0(n∈N+).

又an+1-an=2an-an=an<0,所以数列{an}是递减数列.

答案:递减

关键能力·素养形成

类型一　由递推公式写数列的项

【典例】1.数列{an}满足a1=1,an+1=2an+1(n∈N+),那么a4的值为 (　　)

A.4    B.8    C.15    D.31

2.已知数列{an},a1=1,a2=2,an=an-1+an-2(n≥3),则a5=________. 

3.根据各个数列的首项和递推公式,写出它的前5项,并归纳出通项公式.

(1)a1=0,an+1=an+(2n-1)(n∈N+);

(2)a1=1,an+1=(n∈N+);

(3)a1=3,an+1=3an-2(n∈N+).

【思维·引】1.由递推公式弄清相邻两项之间的关系,依次代入n=1,2,3,计算即可.

2.由递推公式弄清相邻三项之间的关系,依次代入n=3,4,5计算即可.

3.写出数列的前几项,归纳写出通项公式.

【解析】1.选C.因为数列{an}满足a1=1,an+1=2an+1(n∈N+),所以a2=2a1+1=2+1=3,a3=2a2+1=6+1=7,a4=2a3+1=14+1=15.

2.由题知a3=a2+a1=3,a4=a3+a2=5,

a5=a4+a3=8.

答案:8

3.(1)因为a1=0,a2=1,a3=4,a4=9,a5=16,所以an=(n-1)2.

(2)因为a1=1,a2=,a3==,

a4=,a5==,所以an=.

(3)因为a1=3=1+2×30,a2=7=1+2×31,

a3=19=1+2×32,

a4=55=1+2×33,

a5=163=1+2×34,

所以an=1+2×3n-1.

【内化·悟】

由递推公式写出通项公式的步骤是什么?

提示:(1)根据递推公式写出数列的前几项(至少是前3项).(2)根据写出的前几项,观察归纳其特点,并把每一项统一形式.

(3)归纳总结写出一个通项公式.

【类题·通】

由递推公式写出数列的项的方法

(1)根据递推公式写出数列的前几项,首先要弄清楚公式中各部分的关系,依次代入计算即可.

(2)解答这类问题时还需注意:若知道的是首项,通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式.

(3)若知道的是末项,通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式.

【习练·破】

设数列{an}满足写出这个数列的前五项.

【解析】据题意可知:a1=1,a2=1+=2,a3=1+=,a4=1+=,a5=1+=.

类型二　由递推公式求通项公式

角度1　累加法

【典例】在数列{an}中,a1=2,an+1=an+ln,求数列的通项公式an.

【思维·引】将递推公式整理为an+1-an=f(n),累加求通项公式.

【解析】an+1-an=ln=ln(1+n)-ln n,a1=2,

a2-a1=ln 2,a3-a2=ln 3-ln 2,

a4-a3=ln 4-ln 3,…

an-an-1=ln n-ln(n-1)(n≥2),

以上各式相加得an=2+ln 2+(ln 3-ln 2)+…+[ln n-ln(n-1)].

所以an=2+ln n(n≥2).

因为a1=2也适合上式,所以an=2+ln n.

【素养·探】

在由递推公式求通项公式的问题中,经常利用核心素养中的数学运算,通过研究递推公式分析数列相邻项之间的关系,使用累加法或累乘法求解,提高运算能力.将本例的条件改为“在数列{an}中,a1=1,an=an-1+(n≥2)”,求数列的通项公式.

【解析】因为an=an-1+(n≥2),

所以an-an-1==-,

所以a1=1,

a2-a1=-,

a3-a2=-,

a4-a3=-,

…

an-an-1=-.

所以an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3)+…+(an-an-1)

=1+(-)+(-)+(-)+…+(-)

=-+1.

当n=1时a1=1也适合上式,

所以an=-+1.

角度2　累乘法

【典例】设数列{an}中,a1=1,an=an-1(n≥2),求数列的通项公式an.

【思维·引】将递推公式整理为=f(n),累乘求通项公式.

【解析】因为a1=1,an=an-1(n≥2),

所以=,an=×××…×××a1=×××…×××1=.

又因为n=1时,a1=1,符合上式,所以an=.

　【类题·通】

1.用“累加法”求数列的通项公式

当an-an-1=f(n)(n≥2)满足一定条件时,常用an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1累加来求通项an.

2.用“累乘法”求数列的通项公式

当=g(n)(n≥2)满足一定条件时,常用an=···…··a1累乘来求通项an.

【习练·破】

已知数列{an}中,a1=1,当n∈N+且n≥2时,(2n+1)an=(2n-3)an-1,求通项公式an.

【解析】当n≥2时,因为(2n+1)an=(2n-3)an-1,

所以=,

所以···…··=···…··=.

所以=,

所以an=,

当n=1时符合上式,

所以an=,n∈N+.

【加练·固】

若a1=2,an+1=an,求该数列{an}的通项公式.

【解析】由an+1=an,可得=,

　则an=···…··a1=···…··2=,n=1时,a1=2也满足上式,

所以an=.

类型三　数列相关概念的应用

角度1　Sn与an的关系

【典例】已知数列{an}的前n项和Sn=n2-9n,求通项公式an.

【思维·引】利用前n项和Sn与通项公式an的关系求通项公式.

【解析】因为Sn=n2-9n,所以n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-10.a1=S1=-8适合上式,所以an=2n-10(n∈N+).

【素养·探】

本例中,若Sn=n2-9n+1,试求通项公式an.

【解析】因为Sn=n2-9n+1,所以n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-10.a1=S1=-7,不适合上式.

所以an=(n∈N+).

角度2　数列的单调性

【典例】已知函数f(x)=(x+1)(x∈R),设数列{an}的通项公式an=f(n)

(n∈N+).

(1)试探究数列{an}的项的增减有何规律.

(2)求该数列的最大项.

【思维·引】(1)利用an,an+1之间的关系进行判断.

(2)利用数列项的增减特征确定最大项后求值.

【解析】(1)an=f(n)=(n+1).

所以an+1-an=(n+2)-(n+1)=

,当n<9时,an+1-an>0,即an+1>an;

当n=9时,an+1-an=0,即an+1=an;

当n>9时,an+1-an<0,即an+1<an.

则a1<a2<a3<…<a9=a10>a11>a12>….

所以数列{an}的项先递增到a9,a9与a10相等,从a10开始递减.

(2)由(1)可知,数列{an}有最大项,为第9项和第10项.

a9=a10=10×.

【内化·悟】

数列{an}的通项an=f(n),如何求数列{an}的最大项?

提示:先研究函数y=f(x)的单调性,再依据an=f(n)的定义域是正整数集(或其有限子集)求出数列{an}的最大项.

【类题·通】

1.关于Sn与an的关系

数列{an}的前n项和Sn与通项公式an的关系为an=求通项公式

时注意两个方面,一是书写an=Sn-Sn-1要注明n≥2,因为当n=1时,Sn-1无意义;二是

要验证n=1时a1=S1是否适合an=Sn-Sn-1.

2.数列单调性的判断方法

根据定义判断:若an+1>an,则{an}是单调递增数列;若an+1<an,则{an}是单调递减数列;若an+1=an,则{an}是常数列.

作差法:若an+1-an>0,则数列{an}是单调递增数列;若an+1-an<0,则数列{an}是单调递减数列;若an+1-an=0,则数列{an}是常数列.

3.求数列的最大项和最小项的方法

方法一:利用判断函数增减性的方法,先判断数列的增减情况,再求数列的最大项或最小项.

方法二:解不等式(组):设an是最大项,则有对任意n∈N+且n≥2均成立,解不等式组即可.

　【习练·破】

1.数列{an}中,an=-2n2+29n+3,则此数列中的最大值是 (　　)

A.107    B.108    C.108    D.109

【解析】选B.由已知,得an=-2n2+29n+3=-2+108,由于n∈N+,故当n取距离最近的正整数7时,an取得最大值108.所以数列{an}中的最大值为a7=108.

2.若数列{an}的前n项和Sn=n2+1,则a4=________,通项公式an=________. 

【解析】a4=S4-S3=16+1-9-1=7,

an==.

答案:7　

【加练·固】

数列{an}的通项公式为an=n2-5n+4.

(1)数列中有多少项是负数?

(2)当n为何值时,an有最小值?并求出最小值.

【解析】(1)令an=n2-5n+4<0,得1<n<4,n∈N+,

所以数列中仅有两项a2,a3是负数.

(2)an=n2-5n+4=-,其对称轴为n=,

又n∈N+,所以n取2,3时,an有最小值-2.

课堂检测·素养达标学

1.符合递推关系式an=an-1的数列是 (　　)

A.1,2,3,4,…        B.1,,2,2,…

C.,2,,2,…       D.0,,2,2,…

【解析】选B.B中从第二项起,后一项是前一项的倍,符合递推公式an=an-1.

2.已知数列{an}的通项公式为an=,则数列{an}为 (　　)

A.递增数列      B.递减数列

C.常数列       D.无法确定数列的增减性

【解析】选B.因为an==2+,所以n≥2时,an-an-1=2+-2-=-<0,所以an<an-1,所以数列{an}为递减数列.

3. 已知数列{an}满足an=4an-1+3,且a1=0,则a5=________. 

【解析】因为a1=0,所以a2=4a1+3=3,

a3=4a2+3=15,a4=4a3+3=63,a5=4a4+3=255.

答案:255

4.已知数列{an}中,a1=2,an=-(n≥2),则a2 020=________. 

【解析】因为a2=-=-,a3=-=2,a4=-=a2,

所以{an}的周期为2,所以a2 020=a2=-.

答案:-

【新情境·新思维】

两位同学课余玩一种类似于古代印度的“梵塔游戏”:有3个柱子甲、乙、丙,甲柱上有n(n≥3)个盘子,最上面的两个盘子大小相同,从第二个盘子往下大小不等,大的在下,小的在上(如图).

把这n个盘子从甲柱全部移到乙柱游戏结束,在移动的过程中每次只能移动一个盘子,甲、乙、丙柱都可以利用,且3个柱子上的盘子始终保持小的盘子不能放在大的盘子之下.设游戏结束需要移动的最少次数为an,则当n≥3时,an和an+1满足              (　　)

A.an+1=4an-3n       B.an+1=4an-1

C.an+1=2an+1       D.an+1=2an+n

【解析】选C.n(n≥3)个盘子最少移动次数为an,n+1个时,将最大的上面的n个移到丙需an次,然后将最大的移到乙,再将丙的n个移动到乙需an次,故总次数为an+1=2an+1.