高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第三册数列中的递推第2课时学案及答案

这是一份高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第三册数列中的递推第2课时学案及答案，共5页。
学案
学习目标
1. 理解数列的前n项和的含义.
2. 通过数列的前n项和与通项公式的转化，进一步理解项与和的关系.
引入课题
1. 已知某电子书今年上半年每个月的销售量构成数列
220，530，950，1 360，1 820，2 350.
假设你是该电子书的销售人员，关于上述数列，除了每一个数字的大小和增长趋势外，你还会关心什么？
知识讲解
1. 数列的前n项和
已知某电子书今年上半年每个月的销售量构成数列
220，530，950，1 360，1 820，2 350.
记上半年电子书的总销售量为Sn，
S1= a1=200，
S2= a1+a2=220+530=750，
S3= a1+a2+a3=S2+a3=750+950=1 700，
归纳：（1）一般地，给定数列an，称Sn=a1+a2+a3+…+an,
为数列an的前n项和.
（2）前?项和是数列从第1项到第?项的累加结果，而非任意几项的和.
（3）Sn随?的变化而变化，是关于?的函数.
（4）如果数列an的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式.
2.数列的前n项和与通项公式的关系
已知数列an的前n项和为Sn= 2n+1.你能写出 a1，a2，a3吗？你能总结出一般规律吗？
因为S1=2×1+1=3，又因为S1=a1，所以a1=3.
因为S2=2×2+1=5，又因为S2=a1+a2，所以a2=S2−a1=5−3=2.
因为S3=2×3+1=7，又因为S3=a1+a2 +a3=S2+a3，所以a3=S3−S2=7−5=2.
从前n项和的意义看，前n项和比前(n−1)项和多数列的第n项an.
归纳：an=S1 ，n=1， Sn−Sn−1，n≥2.
_____________________
问题：an为什么要写成分段数列的形式？
典例分析
例 已知数列an的前n项和为Sn=n2，求数列an的通项公式.
由题意可知 a1=S1=1.
当n≥2时，有an= Sn−Sn−1= n2−n−12=2n−1.
又因为2×1+1=1，所以n=1时an=2n−1也成立，因此an=2n−1.
问题：若Sn=n2+1，数列an的通项公式是什么？
3.已知Sn求an
（1）先利用a1=S1求出a1.
（2）用n−1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an= Sn−Sn−1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式.
（3）注意检验n=1时的表达式是否可以与n≥2时的表达式合并.
随堂练习
1. 1 202年，斐波那契在《算盘全书》中从免子问题得到斐波那契数列1，1，2，3，5，8，13，21…该数列的特点是前两项为1，从第三项起，每一项都等于它前面两项的和，人们把这样的一列数组成的数列an称为斐波那契数列. 记Sn为该数列的前n项和，则下列结论错误的是（ B ）
A. a11=89
B. a2023为偶数
C. a1+a3+a4+… +a2023=a2024
D. a2+a4+a6+… +a2024=S2023
2. 如图，用相同的球堆成若干堆“正三棱锥”形的装饰品，其中第1堆只有1层，且只有1个球；第2堆有2层，第1层有1个球，第2层有3个球；…；第堆有n层，第1层有1个球，第2层有3个球，第3层有6个球，…，第n层有an个球. 记第n堆的球的总数为Sn则（参考公式：1²+2²+32+…+n2=16n(n+1)(2n+1) （ ACD ）
A. an=an−1+nn≥2B.an= n(n−1)2
C.Sn+1=Sn+(n+1)(n+2)2 D.Sn=16n(n+1)(n+2)
3. 已知数列an的前n项和满足以下关系，求数列an的通项公式.
（1） Sn=n2−4n； （2）Sn=n2+2 （3） 2Sn=n2+3n
解：（1）由题意可知 a1=S1=1−4×1=−3.
当n≥2时，有an= Sn−Sn−1= n2−4n−[n−12−4n−1]=2n−5.
又因为2×1−5=−3，所以n=1时an=2n−5也成立，因此an=2n−5.
（2）由题意可知 a1=S1=1+2=3.
当n≥2时，有an= Sn−Sn−1= n2+2−[n−12+2]=2n−1.
又因为2×1−1=−1，所以n=1时an=2n−1不成立，
因此an=3，n=1， 2n−1，n≥2.
（3）由题意可知，当n=1时，2S1=1+3=4，所以 a1=2.
当n≥2时， 由2Sn=n2+3n得2Sn−1=n−12+3n−1，
2Sn− 2Sn−1= n2+3n−n−12+3n−1=2n+2，
即2an=2n+2，
所以an= n+1.
又因为2×1+1=3，所以n=1时an=n+1也成立，
因此an= n+1.
本课小结
我的收获：