高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第三册数列中的递推第1课时教学设计

这是一份高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第三册数列中的递推第1课时教学设计，共14页。教案主要包含了设计意图等内容，欢迎下载使用。
教学设计
教学目标：
1. 理解数列递推公式的含义，理解递推公式与通项公式的区别与联系.
2. 能观察数列项与项之间的内在联系，根据递推公式求出数列的前几项.
3. 掌握由一些简单的递推公式求数列的通项公式的方法.
教学重难点
教学重点：理解数列递推公式，能根据递推公式求出数列的前几项.
教学难点：掌握由一些简单的递推公式求数列的通项公式的方法.
教学过程：
课堂导入
1.如果数列 an 的通项公式为an=n2+2n，那么120是不是这个数列的项？ 如果是，是第几项？
2.图中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形. 在图中4个大三角形中，着色的三角形的个数依次构成一个数列的前4项，写出这个数列的一个通项公式.
教师：通项公式是数列的一种重要表示方法，能够最精确地反映数列的规律，以直接求出任意指定的项（如第 100 项），当能明显看出数列的项的取值规律时，我们可以用通项公式表示数列.
【设计意图】立足学生已有知识储备，通过回顾数列、通项公式等核心知识，唤醒学生对数列表示方法和规律特征的记忆，为后续实例导入和概念生成搭建桥梁，降低新知学习的认知门槛，实现“旧知引新知”的衔接，同时强化知识间的关联性.
新知探究
1.递推公式的概念
教师：如下是某次智力测试中的一道题，你能做出来吗？你能用数列的语言来描述有关问题吗？
观察1，3，6，10，15，…中数字出现的规律，写出第8个数.
学生交流，教师展示数列规律：
引导学生整理成数学语言：如果将给定的数列记作数列an ，那么就相当于给出了数列的前5项，要求写出数列的第8项a8.
方法一：观察各项的关系，
a2- a1=3-1=2
a3-a2=6-3=3
a4-a3=10-6=4
可以猜测，数列an应该满足an+1-an=n+1，即an+1-an=n+1
则a6=a5+6=15+6=21，
a7=a6+7=21+7=28，
a8=a7+8=28+8=36，
显然，数列an可以由a1=1，an+1-an=n+1完全确定.
方法二：通项公式法.
教师这个数列是著名的三角形数序列(Triangular numbers)
从特例入手，一般是依次写出前几项，观察项与项的序号的关系，从中寻找规律，归纳、猜想数列的通项公式.
a1=1
a2=1+2=3
a3=1+2+3=6
a4=1+2+3+4=10
a5=1+2+3+4+5=15
推导出通项公式为：an=1+2+3+…+n=n(n+1)2
由通项公式得，a8=1+2+3+4+5+6+7+8=8×(8+1)2=36，
通过两种不同的方法，教师揭示：数列实质是一类特殊的函数，它可用类似函数解析式即数列的通项公式来表示，那除了通项公式还有其他表示方法吗?
预设：用前后项的关系表示，即递推公式法.
教师揭示概念：如果一个数列的相邻两项或两项以上的关系都可以用一个公式来表示则称这个公式为数列的递推关系（也称为递推公式或递归公式）. 递推公式也是数列的一种表示方法.比如下面的数列可以用递推关系表示.
【设计意图】通过对比通项公式的表示方法，让学生初步感知递推关系的独特性，初步掌握递推公式的概念，理解递推公式也是表示数列的一种重要方法，为后续概念的抽象奠定基础.
典例分析
例1 分别写出下列数列an的一个递推关系，并求出各个数列的第7 项.
（1）1，2，4，7，11，…；
（2）-1，2，5，8，11，…；
（3）1，-2，4，-8，16，….
解：（1）a2- a1=2-1=1，
a3-a2=4-2=2，
a4-a3=7-4=3，
a5-a4=11-7=4，
所以an+1-an=n，
即an+1=an+n.
从而，a6= a5+5=11+5=16，
a7= a6+5=16+6=22.
（2）a2- a1=a3-a2= a4-a3=a5-a4=3，所以an+1-an=3，即an+1=an+3.
a7=a6+3=a5+3+3=11+6=17.
（3）因为a2a1=a3a2 =a4a3 =a5a4 =-2，所以an+1an=-2，即an+1=-2an.
a7=(-2)a6=(-2)2a5=(-2)2×16=64.
教师引导归纳：（1）一般来说，根据数列的首项（或前几项）以及数列的递推关系，可以求出这个数列中的每一项.
（2）对于已知前几项的数列，可以用观察法找出数列递推关系，通过分析相邻项（或相邻多项）的和、差、积、商关系，归纳递推规律，推导得出递推关系后，代入已知项验证，确保递推规律与数列各项一致，若存在多组可能的递推关系，优先选择简洁、贴合数列特征的形式.
教师追问：所有的数列都可以用递推公式表示吗？（组织学生讨论，举出反例）
不是，比如数列15，5，16，16，28，32，51，38…
归纳：（1）与数列不一定都有通项公式一样，并不是所有的数列都有递推公式.
（2）递推公式也是给出数列的一种重要方法，递推公式和通项公式一样都是关于序号 n 的恒等式，用符合要求的正整数依次去替换 n，就可以求出数列的各项.
（3）递推公式通过赋值可逐项求出数列的项，直至求出所需的项.
（4）运用递推法给出数列，可以揭示数列的一些性质, 但不容易了解数列的全貌, 也不方便计算. 我们可以用它得出数列的通项公式或者得到一个特殊数列，比如具有周期性的数列.
（5）由递推公式给出一个数列的条件：用递推公式给出一个数列，必须给出:
①“基础”——数列 an的第 1 项或前几项;
②递推关系一一数列 an的任一项 an 与它的前一 项 an-1（或前几项）之前的关系，并且这个关系可以用一个公式来表示.
【设计意图】从实例到概念，遵循“具体—抽象”的认知规律，帮助学生准确把握递推关系的核心要素.通过例题讲解，注重解题步骤的规范性，为学生后续自主练习提供示范，突破“由递推关系写前几项”的重点.
例2 意大利数学家斐波那契在 13 世纪初提出了一个关于兔子繁殖的问题：假设每对新生的小兔子2个月后就长成大兔子，且从第3个月起每个月都生1对小兔子，兔子均不死亡，由1对新生的小兔子开始，记每个月的兔子对数构成的数列为Fn. 试写出F1，F2，F3，F4，F5，F6以及数列Fn的递推关系.
教师：怎么理解题意？
预设：数形结合，画图辅助理解（必要时可以图、表结合）.
前2个月内，F1=F2=1.
第3个月时，F3=1+1=2.
第4个月时，F4=2+1=3.
第5个月时，F5=3+2=5.
第6个月时，F6=5+3=8.
即当前月的免子总数=上个月的免子总数+上上个月的免子总数
一般地，当 n≥3 时，第n个月的兔子对数Fn，应该等于第n-1个月的兔子对数 Fn-1加上新生的兔子对数，又因为第n-2个月的那些对兔子到了第n个月都能生1对兔子，所以有Fn=Fn-1+Fn-2.
递推公式：Fn=1，n=1，2， Fn-1+Fn-2，n≥3.
注意递推公式的完整性.
教师：这是一个由递推公式给出的数列，称为斐波那契数列.它的通项公式是Fn=15[(1+52)n-1-52n].
- 公式中1+52（约1.618）为黄金分割比，体现了斐波那契数列与黄金分割的内在关联，可激发学生对数学美学的兴趣；尽管公式中含无理数，但代入任意正整数n，结果均为正整数，符合数列各项特征.
【设计意图】以经典的斐波那契数列为实例，贴近学生认知水平，既能激发学生的探究兴趣，又能自然引出“递推”的核心逻辑.通过对比通项公式的表示方法，让学生初步感知递推关系的独特性，为后续概念的辨析奠定基础.
2.递推公式概念辨析
新知探究
教师：以斐波那契数列为例，递推公式揭示了数列项与项之间的关系，通项公式则揭示了数列的项与序号之间的关系，讨论：
（1）数列的递推公式是关于正整数n的函数吗？如果给定一个数列的递推公式，然后任给一个n的值，能由递推公式直接算出第n项的值吗？（举例说明）
（2）二者有什么区别和联系？（组织学生列表辨析概念）
预设：解：若数列 an的通项公式为an=2n+1，a10=2×10+1=21.
若数列 an的递推公式为a1=2，an=an-1+2n≥2，不能直接将n=10代入求得a10.
归纳：递推公式和通项公式的区别和联系
【设计意图】通过实例辨析、表格对比，突破“通项公式与递推关系辨析”的难点，帮助学生区分二者的逻辑差异，避免混淆.
3.由递推公式求通项公式
已知a1=1， an+1-an=2，求数列an的通项公式.
教师引导学生由递推公式的定义出发，根据相邻项的联系，运用迭代法求通项公式.
方法一：迭代法
解：∵an=an-1+1×2
=an-2+2×2
=an-3+3×2
…
=a1+n-1×2
=2n-1，
又a1=2n-1=1，满足上式，
∴ 数列an的通项公式为an =2n-1(nϵN*).
方法二：累加法
∵a1=1， an+1-an=2，
∴a2-a1=2，
a3-a2=2，
a4-a3=2，
a5-a4=2，
…
an-an-1=2，
将上述(n-1)个式子的两边分别相加得，
a2-a1+a3-a2+a4-a3+a5-a4+…+(an-an-1)=2+2+2+2+…+2=2(n-1)(n≥2)，
即an-a1=2(n-1)(n≥2)，
教师引导学生思考其他的方法，先列出前面项的递推关系，引导学生观察算式并说出自己的发现，算式累加后可以相互抵消.
教师展示：已知a1=1， an+1=2an，求数列an的通项公式.
方法一：同样可以用迭代法
解：由已知得数列an各项均不为零，
∵an=2an-1
= 22an-2
= 23an-3
…
= 2n-1a1(n≥2)，
又a1=2(1-1)=1，也满足上式，
∴数列an的通项公式为an= 2(n-1) (nϵN*).
方法二：类比累加法的思路进行求解，即累乘法.
解：由已知得数列an各项均不为零，
∵ anan-1=2(n≥2)，
∴a2a1=2， a3a2=2， a4a3=2，…， anan-1=2，
将上述(n-1)个式子两边相乘得，
a2a1∙a3a2 ∙ a4a3 ∙… ∙ anan-1= ana1=2(n-1) (n≥2)，
又a1=1，所以an= 2(n-1) (n≥2)，
a1=2(1-1)=1，也满足上式，
∴数列an的通项公式为an= 2(n-1) (nϵN*).
教师和学生共同归纳：
累加法：若数列的递推关系形如an+1-an=f(n)，则可用累加法.
an-an-1=f(n)，an-1-an-2=f(n-1)，…，
a3-a2=f(3)，a2-a1=f(2)，
将以上等式左右两边相加，得
an-an-1+an-1-an-2+…+a3-a2+a2-a1=fn+fn-1+…+f3+f(2)，
即an=a1+ f(2) +f3+…+fn-1+fn
注意：检验当 n = 1 时，是否满足结论，得出最后的结论.
累乘法：若数列的递推关系形如an+1=fnanan≠0，即an+1an=f(n) ，且
数列fn可求积，一般用累乘法求通项公式.
由递推关系得， a2a1=f(1) ， a3a2=f(2) ，a4a3=f(3) ，…， anan-1=fn-1
(n≥2) ，以上各式两边相乘得ana1=f(1)∙f(2)∙ f(3) ∙ …∙ f(n-1)，从而
an=a1 f(1)∙f(2)∙ f(3) ∙ …∙ f(n-1).
注意：检验当 n = 1 时，是否满足结论，得出最后的结论.
【设计意图】以迭代法、累加法、累乘法为核心，引导学生掌握递推关系向通项公式的转化，破解“由递推求远项”的痛点，搭建“递推规律—代数运算—通项表达”的思维桥梁.通过自主探究提炼方法，既强化数学运算与逻辑推理能力，又渗透转化与化归思想，让学生理解两种表示方法的内在关联，为后续复杂递推问题奠基.
随堂练习
1.分别写出下列数列an的一个递推关系，并求出各个数列的第7项．
（1）4，5，7，10，14…；
（2）7，9，11，13，15…；
（3）2，6，18，54，162 ….
解：（1） an+1=an+n，a6=14+6=20，a7=20+5=25；
（2） an+1=an+2，a7=15+2+2=19；
（3） an+1=3an，a7=162×3×3=1 458.
2.根据以下信息，分别写出数列an的前5项.
（1）a1=2，an+1=12an；
（2）a1=3，an+1=an+2.
解：（1） a1=2，a2=1，a3=12， a4=14， a5=18；
（2） a1=3，a2=5，a3=7， a4=9， a5=11.
3. 数列an中，a1=1， an+1-an=n+1，求数列an的通项公式.
解：∵a1=1， an+1-an=n+1，
∴ n≥2时， a2-a1=2， a3-a2=3，…， an-an-1=n，
∴a2-a1+a3-a2+a4-a3+a5-a4+…+(an-an-1)=2+3+…+n=(n-1)(n+2)2(n≥2)，
∴an-a1=(n-1)(n+2)2(n≥2)，
∴ an=1+ (n-1)(n+2)2=n2+n2(n≥2)，
∵a1=1+12=1，符合条件，
∴ an=n2+n2 (nϵN*).
4. 已知数列an中，满足a1=2， an+1=n+2n an (nϵN*)，求数列an的通项公式.
解：∵an+1=n+2n an，
∴ anan-1=n+1n-1(n≥2)，
当an=a1∙a2a1∙a3a2 ∙ a4a3 ∙… ∙ anan-1=2×31 ×42 ×…×n+1n-1=n(n+1)(n≥2)，
又a1=2满足上式，
∴数列an的通项公式为an=n(n+1)(nϵN*).
【设计意图】兼顾不同层次学生的需求，基础题巩固本节课核心知识点，提升题拓展学生思维.
课堂总结
师生活动：回顾数列的概念及其表示方法的学习过程，包括本节课的主要内容和主要思想方法.
1.递推公式.
如果一个数列的相邻两项或两项以上的关系都可以用一个公式来表示则称这个公式为数列的递推关系（也称为递推公式或递归公式）. 递推公式也是数列的一种表示方法.
2. 一般来说，根据数列的首项（或前几项）以及数列的递推关系，可以求出这个数列中的每一项.
3. 由递推关系求数列的通项公式的常用方法.
①从特例入手，归纳、猜想数列的通项公式，一般是依次写出前几项，观察项与项的序号的关系，从中寻找规律.
②从一般入手，抓住递推关系，充分运用累加、迭代、累乘等常用方法推导通项公式.
【设计意图】总结本节课的主要内容及思想方法，提升学生的归纳总结能力..
布置作业
1.课后A组、B组相关习题.
2. 拓展作业：查阅资料，了解递推关系在实际生活中的其他应用（如人口增长、存款利息计算等），下节课分享交流.​
【设计意图】巩固课堂所学的基础知识和基本技能，拓展作业让学生感受数学与生活的联系，激发学生的自主探究意识，延伸课堂教学效果.
板书设计
数列的递推关系
1.递推关系的概念
2.由递推关系写前几项
3.递推关系→通项公式
（1）迭代法；（2）累加法；（3）累乘法.
【设计意图】清晰呈现本节课的知识框架，帮助学生快速梳理核心内容，构建系统的知识体系.
教学反思
数列递推是高中数学中的重要内容，它不仅涉及到数列的基本概念与性质，还要求学生掌握通过已知项推导后续项的方法.通过课堂练习和课后作业反馈，大部分学生能够正确识别和应用不同类型的递推公式，但在处理复杂的递推问题时，如对累加法、累乘法求通项公式仍存在一定的困难.虽然小组讨论激发了学生的思考，但仍有少数学生参与度不高.可以通过设置更具挑战性的探究任务，如设计自己的递推数列并研究其性质，来激发学生的好奇心和探索欲.