高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第三册数列中的递推教学设计

这是一份高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第三册数列中的递推教学设计，共6页。教案主要包含了情境引入，新知讲授，典例探究，课堂小结，布置作业等内容，欢迎下载使用。
一、情境引入
一老汉为感谢梁山好汉除暴安良，带了些千里马要送给梁山好汉.见过宋江以后，宋江把老汉带来的马匹的一半和另外一匹马作为回礼送给了他老汉又去见卢俊义，把现有的马匹全送给了他，卢俊义也把老汉送来的马匹的半和另外一匹马作为回礼送给了老汉……一直送到108名好汉的最后一名段景住都是这样的.老汉下山回家时还剩下两匹马，问老汉上山时一共带了多少匹千里马？
设计意图：通过这个小故事让学生感受到数学来源于生活同时又为生活服务，同时也能引起学生的兴趣和好奇心，为进入新课的学习做好准备.
二、新知讲授
1.递推公式
请同学们观察下列问题，你能发现该数列的规律吗？
如下是某次智力测试中的一道题，你能做出来吗？你能用数列的语言来描述有关问题吗？
观察1,3,6,10,15,…中数字出现的规律，写出第8个数.
师生活动：教师在黑板上出示问题，引导学生发现规律.由于题目比较简单,可以让学生完成后一起订正答案.
，
，
，
，
通过观察,学生容易发现后项与前项的差值逐渐增加1,这里最重要的是教师要引导学生观察等式的被减数下标数与差值相等,据此引导学生继续探究.
可以猜测,数列应该满足,即.从而可知.显然,上述数列可以由完全确定.
像上面一样,如果已知数列的首项(或前几项),且数列的相邻两项或两项以上的关系都可以用一个公式来表示,则称这个公式为数列的递推关系(也称为递推公式或递归公式).
设计意图:培养学生分析问题和抽象概括的能力,使其感受数学概念的形成过程及建模思想.
2.数列的前项和
教师用课件出示下列问题,引导学生思考:
已知某电子书今年上半年每个月的销售量构成数列220,530,950,1360,1820,2350.假设你是该电子书的销售人员，关于上述数列，除了每一个数字的大小和增长趋势外，你还会关心什么？
学生可能想不到总销售量，教师可以适当引导.
作为销售人员,一般来说还会关心上半年电子书的总销售量,即.
一般地,给定数列,称为数列的前项和.
设计意图:通过具体例子掌握数列的前项和的概念,并进一步要求学生能够写出的表达式,从而深入理解数列的前项和的概念.
教师用课件继续出示：
已知数列的前项和为.你能写出吗?你能总结出一般规律吗?
学生根据数列的前项和的概念容易写出:
,则,则.
教师进一步引导学生归纳:
一般地,如果数列的前项和为,那么当,有,所以.
因此
教师让学生识记数列的前项和公式后,试着让学生根据写出对应数列的通项公式,学生分小组完成,集体订正.
因为时,,
所以
根据正确答案,教师提几个问题让学生回答,让学生进一步理解利用前项和公式求通项公式的步骤和注意事项.问题为什么要从开始计算?
问题的时候能代入进行计算吗?
问题请你总结一下利用前项和公式来求通项公式时需要注意哪些问题.
师生活动:这部分内容是本节课的难点,学生不容易接受,难度主要有两点:一是前项和的含义,学生理解起来可能存在困难,教师可以通过适当的实际例子帮助学生理解;二是根据前项和求通项公式时,学生往往忽略讨论的情况,教师可以通过反面实例帮助学生加深记忆.
三、典例探究
例1 分别写出下列数列的一个递推关系,并求出各个数列的第7项.
（1）;
（2）;
（3）.
解 （1）因为
，
，
，
，
所以,即.
从而,.
（2）因为,
所以,即.
从而.
（3）因为,
所以,即.
从而.
完成例1后教师总结:一般来说,根据数列的首项(或前几项)以及数列的递推关系,可以求出这个数列中的每一项.
设计意图:通过例1的解答,让学生熟悉数列递推公式的求法及用它来求数列中的指定项,提升学生的逻辑推理和数学运算核心素养.
例2 意大利数学家斐波那契在13世纪初提出了一个关于兔子繁殖的问题:假设每对新生的小兔子2个月后就长成大兔子,且从第3个月起每个月都生1对小兔子,兔子均不死亡.由1对新生的小兔子开始,记每个月的兔子对数构成的数列为.试写出以及数列的递推关系.
解 根据题意可知,前2个月内,小兔子都还没有长成大兔子,因此.
第3个月时,第1个月的那对小兔子会生1对小兔子,因此.
第4个月时,第1个月的那对小兔子还会再生1对小兔子,因此.
第5个月时,除了第1个月的那对小兔子会再生1对小兔子外,第3个月出生的那对小兔子也会生1对小兔子,因此.
第6个月时,第1个月的那对小兔子、第3个月出生的那对小兔子以及第4个月出生的那对小兔子,都会生1对小兔子,因此.
一般地,当时,第个月的兔子对数,应该等于第个月的兔子对数加上新生的兔子对数,又因为第个月的那对兔子到了第个月都能生1对兔子,因此有.
上面例2中的数列,通常称为斐波那契数列.可以证明,斐波那契数列的通项公式为.同学们回忆一下,对这个数你有什么印象吗？把它化为小数约是0.618，恰好是黄金分割比，因此斐波那契数列也称为黄金数列.这个数列在很多领域中都有广泛的应用，而且在自然界中处处都有斐波那契数列的影子，现代金融技术分析方法中，还有专门的斐波那契分析法，请感兴趣的同学课后查阅相关资料，和同学们一起分享成果.
师生活动：裴波那契数列比较抽象，学生不容易理解，尤其是对于F2学生更加不容易理解教师要给学生分析明白，也可以展示下面的树形图，对于学生理解会有帮助.
设计意图:通过例2的学习,让学生了解著名的斐波那契数列,进一步理解数列之间的递推关系,体会数列在生活中的应用,学习有用的数学.
例3 已知数列的前项和为,求数列的通项公式.
解 由题意可知,当时,有.又因为,所以时也成立,因此.
师生活动:让学生对比本例和讲授知识点时提到的,求得的两个通项公式一个是不分段的,一个是分段的,教师要引导学生体会何时分段,何时不分段.
四、课堂小结
本节课学习了以下内容：数列的递推公式，根据递推公式以及前几项可以求出数列的任一项，数列的前n项和，根据数列的前n项和可以求出数列的通项公式.
五、布置作业
教材第13页练习A第1~5题.
板书设计
5.1.2数列中的递推
一、情境引入
二、新知讲授
1.递推公式
如果已知数列的首项（或前几项），且数列的相邻两项或两项以上的关系都可以用一个公式来表示，则称这个公式为数列的递推关系（也称为递推公式或递归公式）
2.数列的前项和
一般地,给定数列,称为数列的前项和
如果数列的前项和为,那么当,有,所以
因此
三、典例探究
例1
例2
斐波那契数列
例3
四、课堂小结
五、布置作业