选择性必修 第三册5.4 数列的应用课后复习题

这是一份选择性必修 第三册5.4 数列的应用课后复习题，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．等比数列1，a，a2，a3，…(a≠0)的前n项和Sn＝( )
A.eq \f(1－an,1－a) B.eq \f(1－an－1,1－a)
C.eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1－an,1－a)，a≠1,n，a＝1)) D.eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1－an－1,1－a)，a≠1,n，a＝1))
2．数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n＋3，则a4＋a5＋…＋a10等于( )
A．171 B．21
C．10 D．161
3．等比数列{an}的通项an＝2·3n－1，其前n项和为Sn，则a1＋a3＋…＋a2n－1＝( )
A．3n－1 B．32n－1－1
C.eq \f(1,4)(9n－1) D．9n－1
4．《九章算术》是人类科学史上应用数学的最早巅峰，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织六尺，今一月织十一匹三丈(1匹＝40尺，一丈＝10尺)，问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织6尺，一月织了十一匹三丈，问每天增加多少尺布？”若一个月按30天算，记该女子一个月中的第n天所织布的尺数为an，则eq \f(a1＋a3＋…＋a29,a2＋a4…＋a30)的值为( )
A.eq \f(14,15) B.eq \f(16,17)
C.eq \f(23,24) D.eq \f(2,3)
二、填空题
5．如果数列{an}满足a1，a2－a1，a3－a2，…，an－an－1，…是首项为1，公比为2的等比数列，那么an＝________.
6．等比数列{an}共有2n项，它的全部各项的和是奇数项的和的3倍，则公比q＝________.
7．等比数列{an}中，若a1＋a3＋…＋a99＝150，且公比q＝2，则数列{an}的前100项和为________．
三、解答题
8．已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5＋a7＝26，{an}的前n项和为Sn.
(1)求an及Sn；
(2)令bn＝eq \f(1,a\\al(2,n)－1)(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Tn.
9．一支车队有15辆车，某天依次出发执行任务．第1辆车于下午2时出发，第2辆车于下午2时10分出发，第3辆车于下午2时20分出发，依此类推．假设所有的司机都连续开车，并且都在下午6时停下休息．
(1)到下午6时，最后一辆车行驶了多长时间？
(2)如果每辆车的行驶速度都是60 km/h，这支车队当天总共行驶了多少路程？
10．从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少eq \f(1,5)，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加eq \f(1,4).
(1)设n年内(本年度为第一年)总投入为an万元，旅游业总收入为bn万元，写出an，bn的表达式；
(2)至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？
1．解析：当a＝1时，Sn＝n；当a≠1时，Sn＝eq \f(1－an,1－a).
答案：C
2．解析：∵数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n＋3
∴a4＋a5＋…＋a10＝S10－S3
＝(2×102－3×10＋3)－(2×32－3×3＋3)
＝161.
答案：D
3．解析：S2n＝a1＋a3＋…＋a2n－1＋a2＋a4＋…＋a2n
＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)(1＋q)，
∴a1＋a3＋…＋a2n－1＝eq \f(1,4)S2n＝eq \f(1,4)×eq \f(21－32n,1－3)
＝eq \f(1,4)(9n－1)．
答案：C
4．解析：由题意可得：每天织布的量组成了等差数列{an}，
a1＝6(尺)，S30＝11×40＋30＝470(尺)，设公差为d(尺)，则30×6＋eq \f(30×29,2)d＝470，解得d＝eq \f(2,3).
则eq \f(a1＋a3＋…＋a29,a2＋a4＋…＋a30)＝eq \f(15a1＋\f(1,2)×15×14×2d,15a2＋\f(1,2)×15×14×2d)＝
eq \f(15×6＋15×14×\f(2,3),15×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(6＋\f(2,3)))＋15×14×\f(2,3))＝eq \f(23,24).
答案：C
5．解析：an－an－1＝a1qn－1＝2n－1，
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2－a1＝2，,a3－a2＝22，,…,an－an－1＝2n－1.))
相加得an－a1＝2＋22＋…＋2n－1＝2n－2，
故an＝a1＋2n－2＝2n－1.
答案：2n－1
6．解析：设{an}的公比为q，则奇数项也构成等比数列，其公比为q2，首项为a1，
S2n＝eq \f(a11－q2n,1－q)，S奇＝eq \f(a1[1－q2n],1－q2).
由题意得eq \f(a11－q2n,1－q)＝eq \f(3a11－q2n,1－q2).
∴1＋q＝3，∴q＝2.
答案：2
7．解析：由eq \f(a2＋a4＋…＋a100,a1＋a3＋…＋a99)＝q，q＝2，得eq \f(a2＋a4＋…＋a100,150)＝2⇒a2＋a4＋…＋a100＝300，则数列{an}的前100项的和S100＝(a1＋a3＋…＋a99)＋(a2＋a4＋…＋a100)＝150＋300＝450.
答案：450
8．解析：(1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.
因为a3＝7，a5＋a7＝26，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＋2d＝7，,2a1＋10d＝26，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝3，,d＝2.))所以an＝3＋2(n－1)＝2n＋1，
Sn＝3n＋eq \f(nn－1,2)×2＝n2＋2n.
所以an＝2n＋1，Sn＝n2＋2n.
(2)由(1)知an＝2n＋1，
所以bn＝eq \f(1,a\\al(2,n)－1)＝eq \f(1,2n＋12－1)＝eq \f(1,4)·eq \f(1,nn＋1)
＝eq \f(1,4)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,n)－\f(1,n＋1)))，
所以Tn＝eq \f(1,4)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2)＋\f(1,2)－\f(1,3)＋…＋\f(1,n)－\f(1,n＋1)))＝eq \f(1,4)
·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,n＋1)))＝eq \f(n,4n＋1)，
即数列{bn}的前n项和Tn＝eq \f(n,4n＋1).
9．解析：由题意，知第1辆车在休息之前行驶了240 min，各辆车行驶的时间构成一个等差数列{an}，其中a1＝240，公差d＝－10，则an＝240－10(n－1)＝－10n＋250.
(1)∵a15＝－10×15＋250＝100，
∴到下午6时，最后一辆车行驶了100 min.
(2)这支车队所有车辆行驶的总时间为eq \f(240＋100,2)×15＝2 550(min)＝eq \f(85,2)(h)，∴这支车队当天总共行驶的路程为eq \f(85,2)×60＝2 550(km)．
10．解析：(1)第1年投入为800万元，
第2年投入为800×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,5)))万元，
…，
第n年投入为800×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,5)))n－1万元，
所以，n年内的总投入为：
an＝800＋800×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,5)))＋…＋800×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,5)))n－1
＝4 000×eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)))n))，
第1年旅游业收入为400万元，
第2年旅游业收入为400×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,4)))万元，
…，
第n年旅游业收入400×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,4)))n－1万元．
所以，n年内的旅游业总收入为
bn＝400＋400×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,4)))＋…＋400×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,4)))n－1
＝1 600×eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,4)))n－1)).
(2)设至少经过n年旅游业的总收入才能超过总投入，由此bn－an＞0，
即1 600×eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,4)))n－1))－4 000×eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)))n))＞0，
化简得5×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)))n＋2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,4)))n－7＞0，
令x＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)))n，代入上式得：5x2－7x＋2＞0.
解得x＜eq \f(2,5)，或x＞1(舍去)．
即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)))n＜eq \f(2,5)，由此得n≥5.
∴至少经过5年，旅游业的总收入才能超过总投入．