人教B版 (2019)选择性必修 第三册6.1.3 基本初等函数的导数导学案

6．1.3　基本初等函数的导数

最新课程标准

    1.会用导数的定义求函数的导数．

    2．能根据定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝，y＝的导数．(难点)

3．掌握基本初等函数的导数公式，并能进行简单的应用．(重点、易混点)

[教材要点]

知识点一　函数的导数

如果f(x)在开区间(a，b)内每一点x________的，则称f(x)在区间(a，b)可导．这样，对开区间(a，b)内每个值x，都对应一个________．于是，在区间(a，b)内，f′(x)构成一个新的函数，把这个函数称为函数y＝f(x)的导函数．记为____________．

知识点二　几个常用函数的导数

知识点三　基本初等函数的导数公式

[基础自测]

1．给出下列结论：

①若y＝，则y′＝－；

②若y＝，则y′＝；

③若f(x)＝3x，则f′(1)＝3.

其中正确的个数是(　　)

A．1  B．2

C．3  D．0

2．给出下列命题：

①y＝ln 2，则y′＝；②y＝，则y′＝－；

③y＝2x，则y′＝2xln 2；④y＝log2x，则y′＝.

其中正确命题的个数为(　　)

A．1  B．2

C．3  D．4

3．若函数f(x)＝10x，则f′(1)等于(　　)

A.　  B．10

C．10ln 10　　  D.

4．已知f(x)＝xα(α∈Q＋)，若f′(1)＝，则α等于(　　)

A.  B.

C.  D.

题型一　利用导数公式求函数的导数

例1　求下列函数的导数：

(1)y＝x12；(2)y＝；(3)y＝；(4)y＝3x；(5)y＝log5x.

　首先观察函数解析式是否符合求导形式，若不符合可先将函数解析式化为基本初等函数的求导形式．

方法归纳

1．若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求解．

2．对于不能直接利用公式的类型，一般遵循“先化简，再求导”的基本原则，避免不必要的运算失误．

3．要特别注意“与ln x”，“ax与logax”，“sin x与cos x”的导数区别．

跟踪训练1　若f(x)＝x3，g(x)＝log3x, 则f′(x)－g′(x)＝________.

题型二　利用公式求函数在某点处的导数

例2　质点的运动方程是s＝sin t，求质点在t＝时的速度．

　先求s ′(t)，再求s ′.

方法归纳

1．速度是路程对时间的导数，加速度是速度对时间的导数．

2．求函数在某定点(点在函数曲线上)的导数的方法步骤是：(1)先求函数的导函数；(2)把对应点的横坐标代入导函数求相应的导数值．

跟踪训练2　(1)求函数f(x)＝在(1,1)处的导数；

(2)求函数f(x)＝cos x在处的导数．

题型三　求曲线过某点的切线方程

1．若函数y＝f(x)在点x0处的导数存在，则曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程是什么？

[提示]　根据直线的点斜式方程，得切线方程为y－f(x0)＝f ′(x0)·(x －x0)．

2．曲线在某点处的切线是否与曲线只有一个交点？

[提示]　不一定，切线只是一个局部概念，是该点处的割线的极限位置，在其他地方可能还有一个或多个公共点．

3．函数在某点处的导数与导函数有什么区别和联系？

[提示]　区别：函数在某点处的导数是一个定值，导函数是一个函数．

联系：函数f(x)在x0处的导数就是导函数f ′(x)在x ＝x0时的函数值．

例3　已知曲线f(x)＝.

(1)求曲线过点A(1,0)的切线方程；

(2)求满足斜率为－的曲线的切线方程．

　(1)点A不在曲线上，设切点坐标，写出切线方程，把A(1,0)代入求出切点坐标，进而求出切线方程．

(2)设出切点坐标，由该点斜率为－，求出切点，进而求出切线方程．

方法归纳

1．求曲线过已知点的切线方程的步骤

2．若已知切线的斜率，则可根据切点处的导数即为斜率求得切点的坐标，根据点斜式写出切线方程．

跟踪训练3　试求过点P(3,5)且与曲线y＝x2相切的直线方程．

题型四　导数公式的应用

　点P是曲线y＝ex上的任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离．

[提示]　如图，当曲线y＝ex在点P(x0，y0)处的切线与直线y＝x平行时，点P到直线y＝x的距离最近，

则曲线y＝ex在点P(x0，y0)处的切线斜率为1，又y ′＝(ex) ′＝ex，

∴ex0＝1，得x0＝0，代入y＝ex，得y0＝1，即P(0,1)．

利用点到直线的距离公式得最小距离为.

例4　(1)已知函数y＝kx是曲线y＝ln x的一条切线，则k＝________.

(2)求过曲线f(x)＝cos x上一点P且与曲线在这点的切线垂直的直线方程．

　→→

→

方法归纳

求曲线方程或切线方程时，应注意：

1．切点是曲线与切线的公共点，切点坐标既满足曲线方程也满足切线方程；

2．曲线在切点处的导数就是切线的斜率；

3．必须明确已知点是不是切点，如果不是，应先设出切点．

跟综训练4　已知直线y＝kx是曲线y＝3x的切线，则k的值为________．

6．1.3　基本初等函数的导数

新知初探·自主学习

知识点一

都是可导　确定的导数f′(x)　f′(x)或y′(或y′x)

知识点二

0　1　2x　－　

知识点三

0　nxn－1　μxμ－1　axln a　ex　　　cos x　－sin x

[基础自测]

1．解析：对于①，y′＝(x－3)′＝，正确；

对于②，y′＝x＝x，不正确；

对于③，f′(x)＝3，故f′(1)＝3，正确．

答案：B

2．解析：对于①，y′＝0，故①错；显然②③④正确，故选C.

答案：C

3．解析：∵f′(x)＝10xln 10，

∴f′(1)＝10ln 10.

答案：C

4．解析：∵f(x)＝xα，∴f′(x)＝αxα－1，∴f′(1)＝α＝.

答案：D

课堂探究·素养提升

例1　解析：(1)y′＝(x12)′＝12x11.

(2)y′＝′＝(x－4)′＝－4x－5＝－.

(3)y′＝()′＝′＝x.

(4)y′＝(3x)′＝3xln 3.

(5)y′＝(log5x)′＝.

跟踪训练1　解析：∵f′(x)＝3x2，g′(x)＝，

∴f′(x)－g′(x)＝3x2－.

答案：3x2－

例2　解析：v(t)＝s′(t)＝cos t，∴v＝cos＝.

即质点在t＝时的速度为.

跟踪训练2　解析：(1)∵f′(x)＝′＝′＝－＝－，

∴f′(1)＝－＝－.

(2)∵f′(x)＝－sin x，

∴f′＝－sin ＝－.

例3　解析：(1)f′(x)＝－.

设过点A(1,0)的切线的切点为P，①

则f′(x0)＝－，即该切线的斜率为k＝－.

因为点A(1,0)，P在切线上，

所以＝－，②

解得x0＝.故切线的斜率k＝－4.

故曲线过点A(1,0)的切线方程为y＝－4(x－1)，

即4x＋y－4＝0.

(2)设斜率为－的切线的切点为Q，

由(1)知，k＝f′(a)＝－＝－，得a＝±.

所以切点坐标为或.

故满足斜率为－的曲线的切线方程为

y－＝－(x－)或y＋＝－(x＋)，

即x＋3y－2＝0或x＋3y＋2＝0.

跟踪训练3　解析：y′＝2x.

设所求切线的切点为A(x0，y0)．

∵点A在曲线y＝x2上，

∴y0＝x，

又∵A是切点，

∴过点A的切线的斜率k＝2x0，

∵所求切线过P(3,5)和A(x0，y0)两点，

∴其斜率为＝.

∴2x0＝，

解得x0＝1或x0＝5.

从而切点A的坐标为(1,1)或(5,25)．

当切点为(1,1)时，切线的斜率为k1＝2x0＝2；

当切点为(5,25)时，切线的斜率为k2＝2x0＝10.

∴所求的切线有两条，方程分别为y－1＝2(x－1)和y－25＝10(x－5)，即y＝2x－1和y＝10x－25.

例4　解析：(1)设切点为(x0，y0)，∵y′＝，∴k＝，

∴y＝·x，又点(x0，y0)在曲线y＝ln x上，

∴y0＝ln x0，∴ln x0＝，∴x0＝e，∴k＝.

(2)因为f(x)＝cos x，所以f′(x)＝－sin x，则曲线f(x)＝cos x在点P的切线斜率为

f′＝－sin＝－，

所以所求直线的斜率为，

所求直线方程为y－＝，

即y＝x－π＋.

答案：(1)　(2)见解析

跟踪训练4　解析：设切点为(x0，y0)．

因为y′＝3xln 3，①

所以k＝3x0ln 3，

所以y＝3x0ln 3·x，

又因为(x0，y0)在曲线y＝3x上，

所以3x0ln 3·x0＝3x0，②

所以x0＝＝log3 e.

所以k＝eln 3.

答案：eln 3