人教B版 (2019)选择性必修 第三册5.1.2 数列中的递推导学案

5．1.2　数列中的递推

最新课程标准

    1.理解递推公式的含义．(重点)

    2．掌握递推公式的应用．(难点)

3．理解数列中的an与Sn的关系.

[教材要点]

知识点一　数列递推公式

(1)两个条件：

①已知数列的________________；

②从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示．

(2)结论：具备以上两个条件的公式叫做这个数列的________公式．

由数列的递推公式能否求出数列的项？

[提示]　能，但是要逐项求．

知识点二　数列递推公式与通项公式的关系

知识点三　 an与Sn的关系

若数列{an}的前n项和为Sn，

则an＝

特别地，若a1满足an＝Sn－Sn－1(n≥2)，则不需要分段．

[基础自测]

1．已知数列{an}的第1项是1，第2项是2，以后各项由an＝an－1＋an－2(n≥3)给出，则该数列的第5项等于(　　)

A．6  B．7

C．8　　  D．9

2．已知非零数列{an}的递推公式为a1＝1，an＝·an－1(n≥2)，则a4＝________.

3．已知数列{an}中，a1＝－，an＋1＝1－，则a5＝________.

4．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋1，则an＝________.

题型一　由递推关系写数列的项

例1　(1)已知数列{an}满足关系anan＋1＝1－an＋1(n∈N＋)且a2 018＝2，则a2 019＝(　　)

A．－  B.

C．－  D.

(2)已知数列{an}满足a1＝1，an＋2－an＝6，则a11的值为(　　)

A．31  B．32

C．61  D．62

方法归纳

由递推公式写出数列的项的方法

1．根据递推公式写出数列的前几项，首先要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可．

2．若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式，如an＝2an＋1＋1.

3．若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式，如an＋1＝.

跟踪训练1　已知数列{an}的第1项a1＝1，以后的各项由公式an＋1＝给出，试写出这个数列的前5项．

题型二　由an与Sn的关系求通项公式

例2　已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n，则an＝________.

方法归纳

已知Sn求an的三个步骤

1．利用a1＝S1求出a1.

2．当n≥2时，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)求出an的表达式．

3．看a1是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；否则应写成分段的形式，即an＝

跟踪训练2　已知数列{an}的前n项和Sn＝3n＋1，则an＝________.

题型三　数列的递推公式与通项公式的关系

　1.某剧场有30排座位，从第一排起，往后各排的座位数构成一个数列{an}，满足a1＝20，an＋1＝an＋2，你能归纳出数列{an}的通项公式吗？

[提示]　由a1＝20，an＋1＝an＋2得a2＝a1＋2＝22，

a3＝a2＋2＝24，a4＝a3＋2＝26，a5＝a4＋2＝28，…，

由以上各项归纳可知an＝20＋(n－1)·2＝2n＋18.

即an＝2n＋18(n∈N＋，n≤30)．

2．在数列{an}中，a1＝3，＝2，照此递推关系，你能写出{an}任何相邻两项满足的关系吗？若将这些关系式两边分别相乘，你能得到什么结论？

[提示]　按照＝2可得＝2，＝2，＝2，…，＝2(n≥2)，将这些式子两边分别相乘可得···…·＝2·2·…·2.

则＝2n－1，所以an＝3·2n－1(n∈N＋)．

3．在数列{an}中，若a1＝3，an＋1－an＝2，照此递推关系试写出前n项中，任何相邻两项的关系，将这些式子两边分别相加，你能得到什么结论？

[提示]　由an＋1－an＝2得a2－a1＝2，a3－a2＝2，

a4－a3＝2，…，an－an－1＝2(n≥2，n∈N＋)，将这些式子两边分别相加得：a2－a1＋a3－a2＋a4－a3＋…＋an－an－1＝2(n－1)，即an－a1＝2(n－1)，

所以有an＝2(n－1)＋a1＝2n＋1(n∈N＋)．

例3　设数列{an}是首项为1的正项数列，且an＋1＝an(n∈N＋)，求数列的通项公式．

　由递推公式，分别令n＝1,2,3，得a2，a3，a4，由前4项观察规律，可归纳出它的通项公式；或利用an＋1＝an反复迭代；或将an＋1＝an变形为＝进行累乘；或将an＋1＝an变形式＝1，构造数列{nan}为常数列．

方法归纳

由数列的递推公式求通项公式时，若递推关系为an＋1＝an＋f(n)或an＋1＝g(n)·an，则可以分别通过累加或累乘法求得通项公式，即：

1．累加法：当an＝an－1＋f(n)时，常用an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1求通项公式．

2．累乘法：当＝g(n)时，常用an＝··…··a1求通项公式．

跟踪训练3　已知数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋3(n∈N＋)，写出这个数列的前5项，猜想an并加以证明．

教材反思

1．本节课的重点是数列递推公式的应用，难点是数列函数性质的应用及由递推公式求数列的通项公式．

2．要掌握判断数列单调性的方法，掌握求数列最大(小)项的方法．

3．要会用数列的递推公式求数列的项或通项．

4．要注意通项公式和递推公式的区别

通项公式直接反映an和n之间的关系，即an是n的函数，知道任意一个具体的n值，就可以求出该项的值an；而递推公式则是间接反映数列的式子，它是数列任意两个(或多个)相邻项之间的推导关系，不能由n直接得出an.

5．1.2　数列中的递推

新知初探·自主学习

知识点一

(1)首项(或前几项)　(2)递推

知识点二

an－1　n　数列

知识点三

S1　Sn－Sn－1

[基础自测]

1．解析：因为an＝an－1＋an－2(n≥3)且a1＝1，a2＝2.所以a3＝a2＋a1＝2＋1＝3，

a4＝a3＋a2＝3＋2＝5，

a5＝a4＋a3＝5＋3＝8.

答案：C

2．解析：依次对递推公式中的n赋值，当n＝2时，a2＝2；当n＝3时，a3＝a2＝3；当n＝4时，a4＝a3＝4.

答案：4

3．解析：因为a1＝－，an＋1＝1－，

所以a2＝1－＝1＋2＝3，

a3＝1－＝，a4＝1－＝－，a5＝1＋2＝3.

答案：3

4．解析：当n＝1时，a1＝S1＝2.

当n≥2时，

an＝Sn－Sn－1＝n2＋1－[(n－1)2＋1]＝2n－1，

故an＝

答案：

课堂探究·素养提升

例1　解析：(1)由anan＋1＝1－an＋1，

得an＋1＝，

又∵a2 018＝2，

∴a2 019＝，故选B.

(2)∵数列{an}满足a1＝1，an＋2－an＝6，

∴a3＝6＋1＝7，a5＝6＋7＝13，a7＝6＋13＝19，a9＝6＋19＝25，a11＝6＋25＝31.

答案：(1)B　(2)A

跟踪训练1　解析：∵a1＝1，an＋1＝，

∴a2＝＝，

a3＝＝＝，

a4＝＝＝，

a5＝＝＝.

故该数列的前5项为1，，，，.

例2　解析：a1＝S1＝2－3＝－1，

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5，

由于a1也适合此等式，∴an＝4n－5.

答案：4n－5

跟踪训练2　解析：当n＝1时，a1＝S1＝3＋1＝4；

当n≥2时，

an＝Sn－Sn－1＝(3n＋1)－(3n－1＋1)＝2·3n－1.

当n＝1时，2×31－1＝2≠a1，

所以an＝

答案：

例3　解析：因为an＋1＝an.

法一：(归纳猜想法)a1＝1，a2＝×1＝，a3＝×＝，a4＝×＝，…

猜想an＝.

法二：(迭代法)因为an＋1＝an，

所以an＝an－1＝·an－2＝…＝··…·a1，从而an＝.

法三：(累乘法)因为an＋1＝an，

所以＝，

则··…·＝··…·，

所以an＝.

法四：(转化法)因为＝，

所以＝1，

故数列{nan}是常数列，nan＝a1＝1，所以an＝.

跟踪训练3　解析：a1＝2，a2＝a1＋3＝5，

a3＝a2＋3＝8，a4＝a3＋3＝11，

a5＝a4＋3＝14，

猜想：an＝3n－1.

证明如下：由an＋1＝an＋3得

a2＝a1＋3，a3＝a2＋3，

a4＝a3＋3，

…，

an＝an－1＋3.

将上面的(n－1)个式子相加，得

an－a1＝3(n－1)，

所以an＝2＋3(n－1)＝3n－1.