人教B版 (2019)选择性必修 第三册5.3.1 等比数列第2课时导学案

第2课时　等比数列的性质

最新课程标准

    1.掌握等比数列的性质及其应用．(重点)

    2．熟练掌握等比数列与等差数列的综合应用．(难点、易错点)

3．能用递推公式求通项公式．(难点)

[教材要点]

知识点一　等比中项

(1)前提：三个数x，G，y成等比数列．

(2)结论：________叫做x，y的等比中项．

(3)满足的关系式：G2＝________.

　任意两数都有等比中项吗？

[提示]　不是，只有同号的两数才有．

知识点二　“子数列”性质

对于无穷等比数列{an}，若将其前k项去掉，剩余各项仍为________，首项为________，公比为________；若取出所有的k的倍数项，组成的数列仍为________，首项为________，公比为________．

知识点三　等比数列项的运算性质

在等比数列{an}中，若s＋t＝p＋q(s，t，p，q∈N＋)，则as·at＝________.

①特别地，当p＋q＝2s(p，q，s∈N＋)时，ap·aq＝________.

②对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的________，即a1·an＝a2·an－1＝…＝ak·an－k＋1＝….

知识点四　两个等比数列合成数列的性质

若数列{an}，{bn}均为等比数列，c为不等于0的常数，则数列{can}，{an·bn}，也为________．

知识点五　等比数列的单调性

 [基础自测]

1．已知等比数列{an}，a1＝1，a3＝，则a5等于(　　)

A．±  B．－

C.  D．±

2．已知在等比数列{an}中，an＋1＜an，a2·a8＝6，a4＋a6＝5，则等于(　　)

A.  B.

C.  D.

3．等比数列{an}中，a1＝，q＝2，则a4与a8的等比中项为________．

4．若a，b，c既成等差数列，又成等比数列，则它们的公比为________．

题型一　等比中项的应用

例1　在等差数列{an}中，公差d≠0，且a1，a3，a9成等比数列，则等于多少？

方法归纳

由等比中项的定义可知：＝⇒G2＝xy⇒G＝±.这表明只有同号的两项才有等比中项，并且这两项的等比中项有两个，它们互为相反数．反之，若G2＝xy，则＝，即x，G，y成等比数列．所以x，G，y成等比数列⇔G2＝xy(xy≠0)．

跟踪训练1　若1，a,3成等差数列，1，b,4成等比数列，则的值为(　　)

A．±　　　　　　　　　B.

C．1  D．±1

题型二　等比数列性质的应用

例2　已知数列{an}为等比数列．

(1)将公比为q的等比数列{an}依次取相邻两项的乘积组成新的数列a1a2，a2a3，a3a4，….此数列是(　　)

A．公比为q的等比数列

B．公比为q2的等比数列

C．公比为q3的等比数列

D．不一定是等比数列

(2)若a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8，求数列{an}的通项公式．

(3)若an>0，且a2a4＋2a3a5＋a4a6＝36，求a3＋a5的值；

方法归纳

在等比数列的有关运算中，常常涉及到次数较高的指数运算．若按常规解法，往往是建立a1，q的方程组，这样解起来很麻烦．通过本例可以看出：结合等比数列的性质进行整体变换，会起到化繁为简的效果．

跟踪训练2　(1)下列结论错误的是(　　)

A．有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积．

B．当q>1时，{an}为递增数列．

C．当q＝1时，{an}为常数列．

D．当a1>0，q>1时，{an}为递增数列．

(2)在等比数列{an}中，已知a4＋a7＝2，a5a6＝－8，求a1＋a10.

题型三　灵活设项求解等比数列

例3　有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．

方法归纳

合理地设出所求数中的三个数，根据题意再表示出另一个是解决这类问题的关键，一般地，三个数成等比数列，可设为，a，aq；三个数成等差数列，可设为a－d，a，a＋d.

跟踪训练3　三个数成等比数列，其积为512，如果第一个数与第三个数各减去2，则这三个数成等差数列，求这三个数．

教材反思

1．本节课的重点是等比数列性质的应用，难点是等比数列性质的推导．

2．要重点掌握等比数列的常用性质：

(1)如果s＋t＝p＋q，则有asat＝apaq；

(2)如果2s＝p＋q，a＝ap·aq；

(3)若s，t，p成等差数列，as，at，ap成等比数列；

(4)在等比数列{an}中，每隔k项(k∈N＋)取出一项，按原来的顺序排列，所得的新数列仍为等比数列；

(5)如果{an}，{bn}均为等比数列，且公比分别为q1，q2，那么数列，{an·bn}，，{|an|}仍是等比数列，且公比分别为，q1q2，，|q1|；

(6)等比数列的项的对称性：在有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1·an＝a2·an－1＝a3·an－2＝….

第2课时　等比数列的性质

新知初探·自主学习

知识点一

(2)G　(3)xy

知识点二

等比数列　ak＋1　q　等比数列　ak　qk

知识点三

ap·aq　a　积

知识点四

　等比数列

[基础自测]

1．解析：在等比数列中，a＝a1·a5，所以a5＝＝.

答案：C

2．解析：由a2·a8＝a4·a6＝6，a4＋a6＝5，a6＜a4，得a6＝2，a4＝3，＝＝，故选D.

答案：D

3．解析：a4＝a1q3＝×23＝1，

a8＝a1q7＝×27＝16，

∴a4与a8的等比中项为±＝±4.

答案：±4

4．解析：只有非零常数列才满足题意，所以公比q＝1.

答案：1

课堂探究·素养提升

例1　解析：由题意知a3是a1和a9的等比中项，

∴a＝a1a9，∴(a1＋2d)2＝a1(a1＋8d)，得a1＝d，

∴＝＝.

跟踪训练1　解析：∵1，a,3成等差数列，∴a＝＝2，

∵1，b,4成等比数列，∴b2＝1×4，b＝±2，∴＝＝±1.

答案：D

例2　解析：(1)由于＝×＝q·q＝q2，n≥2且n∈N＋，

∴{anan＋1}是以q2为公比的等比数列，故选B.

(2)∵a＝a1a3代入已知，得a＝8，∴a2＝2.

设前三项为，2,2q，则有＋2＋2q＝7.

整理，得2q2－5q＋2＝0，

∴q＝2或q＝.

∴或∴an＝2n－1或an＝23－n.

(3)∵a2a4＋2a3a5＋a4a6＝36，

∴a＋2a3a5＋a＝36，

∴(a3＋a5)2＝36，又∵an>0，∴a3＋a5＝6.

跟踪训练2　解析：(2)因为数列{an}为等比数列，所以a5a6＝a4a7＝－8.

联立可解得或.

当时，q3＝－，故a1＋a10＝＋a7q3＝－7；

当时，q3＝－2，同理，有a1＋a10＝－7.

答案：(1)B　(2)见解析

例3　解析：法一：设四个数依次为a－d，a，a＋d，，

由条件得

解得或

所以，当a＝4，d＝4时，所求四个数为0,4,8,16；

当a＝9，d＝－6时，所求四个数为15,9,3,1.

故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.

法二：设四个数依次为－a，，a，aq(a≠0)，

由条件得解得或

当a＝8，q＝2时，所求四个数为0,4,8,16；

当a＝3，q＝时，所求四个数为15,9,3,1.

故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.

跟踪训练3　解析：设三个数依次为，a，aq，

∵·a·aq＝512，∴a＝8.

∵＋(aq－2)＝2a，

∴2q2－5q＋2＝0，∴q＝2或q＝，

∴这三个数为4,8,16或16,8,4.