高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第三册5.1.1 数列的概念复习练习题

这是一份高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第三册5.1.1 数列的概念复习练习题，共9页。

A.递增数列B.递减数列
C.常数列D.摆动数列
2.(2020江西高一月考)数列32,-54,78,-916,…的一个通项公式为( )
A.an=(-1)n2n+12n
B.an=(-1)n2n+12n
C.an=(-1)n+12n+12n
D.an=(-1)n+12n+12n
3.(多选)(2020尤溪第五中学高一月考)已知数列{an}的通项公式为an=9-2n,则下列各数中是{an}的项的是( )
A.7B.0C.3D.5
4.已知数列-1,14,-19,…,(-1)n1n2,…,则它的第5项为( )
A.15B.-15C.125D.-125
5.(2020甘南藏族自治州合作第一中学高二月考)已知数列{an}的通项公式是an=3n+1(n是奇数),2n-2(n是偶数),则a2·a3=( )
A.70B.28C.20D.8
6.(2020上海高二课时练习)若数列{an}的通项公式为an=nn2+196(n∈N+),则这个数列中的最大项是第 项.
7.图①是第七届国际数学教育大会(简称ICME-7)的会徽图案,会徽的主体图案是由图②的一连串直角三角形演化而成的,其中OA1=A1A2=A2A3=…=A7A8=1,如果把图②中的直角三角形继续作下去,记OA1,OA2,…,OAn,…的长度构成数列{an},则此数列的通项公式为an= .
8.根据数列{an}的前几项,写出下列各数列{an}的一个通项公式:
(1)45,12,411,27,…;
(2)1,3,6,10,15,…;
(3)7,77,777,….
能力提升
1.(2020上海高二课时练习)下列四个命题:
①任何数列都有通项公式;
②给定了一个数列的通项公式就给定了这个数列;
③给出了数列的有限项就可唯一确定这个数列的通项公式;
④数列{an}的通项公式an是项数n的函数.
其中正确的有( )
A.1个B.2个
C.3个D.4个
2.已知数列{an}的通项公式an=lg(n+1)(n+2)(n∈N+),则它的前30项之积为( )
A.15B.5
C.6D.lg23+lg31325
3.已知数列{an}中,an=n2-kn(n∈N+),且{an}单调递增,则k的取值范围是( )
A.(-∞,2]B.(-∞,3)
C.(-∞,2)D.(-∞,3]
4.(2020江西高三月考)已知an=n-122n-123(n∈N+),则在数列{an}的前40项中,最大项和最小项分别是( )
A.a1,a30B.a1,a9C.a10,a9D.a12,a11
5.已知数列{an}的通项公式an=19-2n,则使an>0成立的最大正整数n的值为 .
6.根据图中的5个图形及相应点的个数的变化规律,试猜测第n个图中有 个点.
7.已知数列{an}的通项公式为an=n2-21n2(n∈N+).
(1)0和1是不是数列{an}中的项?如果是,求出是第几项;如果不是,说明理由.
(2)数列{an}中是否存在连续且相等的两项?若存在,分别是第几项?
8.已知数列{an}中,an=2n+kn,若对任意n∈N+,都有an≥a3成立,则实数k的取值范围为( )
A.[12,24]B.(12,24]
C.[3,12]D.(3,12]
解析
1.若数列{an}满足an=2n,则数列{an}是( )
A.递增数列B.递减数列
C.常数列D.摆动数列
解析∵an+1-an=2n+1-2n=2n>0,∴an+1>an,即{an}是递增数列.
答案A
2.(2020江西高一月考)数列32,-54,78,-916,…的一个通项公式为( )
A.an=(-1)n2n+12n
B.an=(-1)n2n+12n
C.an=(-1)n+12n+12n
D.an=(-1)n+12n+12n
解析根据分子、分母还有正负号的变化,可知an=(-1)n+1·2n+12n.
答案D
3.(多选)(2020尤溪第五中学高一月考)已知数列{an}的通项公式为an=9-2n,则下列各数中是{an}的项的是( )
A.7B.0C.3D.5
解析对于A,7=9-2n,解得n=1,A满足;对于B,0=9-2n,解得n=92,B不满足;对于C,3=9-2n,解得n=3,C满足;对于D,5=9-2n,解得n=2,D满足.故选ACD.
答案ACD
4.已知数列-1,14,-19,…,(-1)n1n2,…,则它的第5项为( )
A.15B.-15C.125D.-125
解析由题意知,数列的通项公式为an=(-1)n·1n2.当n=5时,该项为(-1)5·152=-125.
答案D
5.(2020甘南藏族自治州合作第一中学高二月考)已知数列{an}的通项公式是an=3n+1(n是奇数),2n-2(n是偶数),则a2·a3=( )
A.70B.28C.20D.8
解析因为an=3n+1(n是奇数),2n-2(n是偶数),
所以a2=2×2-2=2,a3=3×3+1=10,
所以a2·a3=20.
故选C.
答案C
6.(2020上海高二课时练习)若数列{an}的通项公式为an=nn2+196(n∈N+),则这个数列中的最大项是第 项.
解析由题意知,an=nn2+196=1n+196n,
因为n+196n≥2n·196n=28,
当且仅当n=14时,n+196n有最小值28,
所以当n=14时,1n+196n取得最大值128.
答案14
7.图①是第七届国际数学教育大会(简称ICME-7)的会徽图案,会徽的主体图案是由图②的一连串直角三角形演化而成的,其中OA1=A1A2=A2A3=…=A7A8=1,如果把图②中的直角三角形继续作下去,记OA1,OA2,…,OAn,…的长度构成数列{an},则此数列的通项公式为an= .
解析因为OA1=1,OA2=2,OA3=3,…,
OAn=n,…,
所以a1=1,a2=2,a3=3,…,an=n,….
答案n
8.根据数列{an}的前几项,写出下列各数列{an}的一个通项公式:
(1)45,12,411,27,…;
(2)1,3,6,10,15,…;
(3)7,77,777,….
解(1)注意前4项中有两项的分子为4,不妨把分子统一为4,即为45,48,411,414,…,可以看出它们的分母依次相差3,因而有an=43n+2.
(2)注意6=2×3,10=2×5,15=3×5,再把各项的分子和分母都乘以2,即1×22,2×32,3×42,4×52,5×62,…,因而有an=n(n+1)2.
(3)把各项除以7,得1,11,111,…,再乘以9,得9,99,999,…,因而有an=79(10n-1).
能力提升
1.(2020上海高二课时练习)下列四个命题:
①任何数列都有通项公式;
②给定了一个数列的通项公式就给定了这个数列;
③给出了数列的有限项就可唯一确定这个数列的通项公式;
④数列{an}的通项公式an是项数n的函数.
其中正确的有( )
A.1个B.2个
C.3个D.4个
解析根据数列的表示方法可知,不是任何数列都有通项公式,例如,π的近似值构成的数列3,3.1,3.14,3.141,…,就没有通项公式,所以①错误;根据数列的表示方法可知,②正确;给出了数列的有限项,数列的通项公式形式不一定唯一,比如,1,-1,1,-1,…,其通项公式既可以写成an=(-1)n+1,也可以写成an=(-1)n-1,③错误;根据数列通项公式的概念可知,④正确.故选B.
答案B
2.已知数列{an}的通项公式an=lg(n+1)(n+2)(n∈N+),则它的前30项之积为( )
A.15B.5
C.6D.lg23+lg31325
解析a1×a2×a3×…×a30=lg23×lg34×lg45×…×lg3132=lg3lg2×lg4lg3×…×lg32lg31=lg32lg2=lg232=lg225=5.
答案B
3.已知数列{an}中,an=n2-kn(n∈N+),且{an}单调递增,则k的取值范围是( )
A.(-∞,2]B.(-∞,3)
C.(-∞,2)D.(-∞,3]
解析an+1-an=(n+1)2-k(n+1)-n2+kn=2n+1-k,又{an}单调递增,故应有an+1-an>0,即2n+1-k>0恒成立,得k<2n+1恒成立,又n∈N+,故只需k<3即可.
答案B
4.(2020江西高三月考)已知an=n-122n-123(n∈N+),则在数列{an}的前40项中,最大项和最小项分别是( )
A.a1,a30B.a1,a9C.a10,a9D.a12,a11
解析∵an=n-122n-123=1+123-122n-123,
∴当n<123时,an<1,且单调递减,
当n>123时,an>1,且单调递减,
∵11<123<12,且n∈N+,
∴这个数列的前40项中的最大项和最小项分别是a12,a11.
故选D.
答案D
5.已知数列{an}的通项公式an=19-2n,则使an>0成立的最大正整数n的值为 .
解析由an=19-2n>0,得n<192.
∵n∈N+,∴n≤9.
答案9
6.根据图中的5个图形及相应点的个数的变化规律,试猜测第n个图中有 个点.
解析观察图形可知,第n个图有n个分支,每个分支上有n-1个点(不含中心点),再加上中心1个点,则有n(n-1)+1=n2-n+1个点.
答案n2-n+1
7.已知数列{an}的通项公式为an=n2-21n2(n∈N+).
(1)0和1是不是数列{an}中的项?如果是,求出是第几项;如果不是,说明理由.
(2)数列{an}中是否存在连续且相等的两项?若存在,分别是第几项?
解(1)令an=0,得n2-21n=0,
∴n=21或n=0(舍去),
∴0是数列{an}中的第21项.
令an=1,得n2-21n2=1,
而该方程无正整数解,∴1不是数列{an}中的项.
(2)假设存在连续且相等的两项是an,an+1,则有an=an+1,
即n2-21n2=(n+1)2-21(n+1)2.
解得n=10,所以存在连续且相等的两项,它们分别是第10项和第11项.
8.已知数列{an}中,an=2n+kn,若对任意n∈N+,都有an≥a3成立,则实数k的取值范围为( )
A.[12,24]B.(12,24]
C.[3,12]D.(3,12]
解析由题可知,an=2n+kn,对任意n∈N+,都有an≥a3成立,
当k≤0时,可知数列{an}单调递增,不符合题意;
当k>0时,若对任意n∈N+,都有an≥a3成立,
则a2≥a3,a4≥a3,
即4+k2≥6+k3,8+k4≥6+k3,
解得k≥12,k≤24,∴12≤k≤24.
此时,数列在(1,2)上递减,(3,+∞)上递增,或在(1,3)上递减,(4,+∞)上递增,故符合题意,所以实数k的取值范围为[12,24].
答案A