高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册导数在研究函数中的应用一课一练

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册导数在研究函数中的应用一课一练，共5页。
A.1B.2
C.3D.4
2.函数f(x)=2x3-6x+m有三个零点,则实数m的取值范围是( )
A.[-4,4]
B.(-4,4)
C.(-∞,-4]∪[4,+∞)
D.(-∞,-4)∪(4,+∞)
3.已知函数f(x)=x2-2ln x,若在定义域内的任意x,使得不等式f(x)-m≥0恒成立,则实数m的最大值是( )
A.2B.-2
C.1D.-1
4.若对任意的x∈R,>x+lg2a恒成立,则实数a的取值范围是( )
A.B.
C.(0,8)D.(0,8]
5.已知函数f(x)=ln x与g(x)=,则它们的图象交点个数为( )
A.0B.1
C.2D.不确定
6.已知函数f(x)=2x-kex(2x+1),若∃x0∈(0,+∞),使得f(x0)≥0成立,则实数k的最大值是( )
A.B.
C.D.
7.(2024·全国甲卷)曲线y=x3-3x与y=-(x-1)2+a在(0,+∞)上有两个不同的交点,则a的取值范围为 .
8.已知函数f(x)=xex,若f(x)>x2+(a-1)x在x∈(0,+∞)上恒成立,则实数a的最大值为 .
9.已知函数f(x)=-mx+3,g(x)=ln x,若∀x∈(0,e],f(x)-g(x)≥1恒成立,则实数m的取值范围是 .
10.已知函数f(x)=sin x+ax,其中x∈[0,π].
(1)当a=-时,求f(x)的极值;
(2)当a≥1时,求f(x)的零点个数.
11.已知函数f(x)=2ex-x-ln(x+a).
(1)当a=1时,求f(x)在x=1处的切线方程;
(2)若f(x)>2a恒成立,求a的取值范围.
12.已知函数f(x)=ex-4x.
(1)求函数在(0,f(0))处的切线方程;
(2)求f(x)在[0,3]上的最大值和最小值,并说明函数零点的个数;
(3)求证:曲线y=f(x)在抛物线y=-x2-1的上方.

课时跟踪检测(二十八)
1.选B 由拉格朗日中值定理,f(-1)=-2,f(1)=2,f'(x)=15x2-3,则f(1)-f(-1)=f'(x0)×2,所以f'(x0)=2 ,则15-3=2,x0=±,符合题意,共2个解,故选B.
2.选B 由题意可得f'(x)=6x2-6,当x0,令f'(x)=0得x=1,令f'(x)0,g(x)单调递增,g(0)=1,g(1)=-2.因为曲线y=x3-3x与y=-(x-1)2+a在(0,+∞)上有两个不同的交点,所以等价于y=a与y=g(x)有两个交点,所以a∈(-2,1).
答案:(-2,1)
8.解析:当x>0时,f(x)>x2+(a-1)x恒成立,等价于a0),所以h'(x)=ex- 1,所以当x>0时,h'(x)>0,h(x)单调递增,又e0-0+1=2,所以h(x)>2,所以a≤2,所以实数a的最大值为2.
答案:2
9.解析:由∀x∈(0,e],f(x)-g(x)≥1,可化为mx+ln x-2≤0,取x=e有me+1-2≤0,得m≤.令h(x)=mx+ln x-2(02a,
即2ex+x>ln(x+a)+2x+2a,
变形得ln ex+2ex>ln(x+a)+2(x+a)(此处也可变形为2ex+x>ln(x+a)+2eln(x+a),设h(x)=x+2ex),
设g(x)=ln x+2x,则有g(ex)>g(x+a),显然g(x)在(0,+∞)上为增函数,所以只需ex>x+a>0恒成立.设h(x)=ex-x-a(x>-a),求导得h'(x)=ex-1,
①若a>0,当-a0,则h(x)在(0,+∞)上单调递增,
故 h(x)≥h(0)=1-a,要使h(x)>0恒成立,需使1-a>0,又a>0,故得00,函数f(x)单调递增;
当x0,则G(x)单调递增,G(0)=-30,所以G(x)=0在(0,1)内有唯一解,设为x0,即=4-2x0,
当x< x0时,F'(x) x0时,F'(x)>0,F(x)在(x0,+∞)上单调递增,
故F(x)min=F(x0)=-4x0++1=-6x0+5,x0∈(0,1),
根据二次函数的性质可知,对称轴为x0=3,所以二次函数在(0,1)内单调递减,又当x0=1时,F(x0)=0,所以F(x)min=F(x0)>0,
故曲线y=f(x)在抛物线y=-x2-1的上方.