数学选择性必修 第一册1.3 空间向量及其运算的坐标表示学案设计

这是一份数学选择性必修 第一册1.3 空间向量及其运算的坐标表示学案设计，共7页。学案主要包含了学习目标，自主学习，小试牛刀，经典例题，跟踪训练，当堂达标，参考答案等内容，欢迎下载使用。

【自主学习】
一．空间直角坐标系
在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}，以O为原点，分别以i，j，k方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴，y轴，z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立 ，O叫做 ， i，j，k都叫做 。
对于空间任意一个向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xe1＋ye2＋ze3，则把x，y，z称作向量p在单位正交基底e1，e2，e3下的坐标，记作 。
空间向量的坐标运算
空间向量a，b，其坐标形式为a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).
空间向量的平行、垂直及模、夹角
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则
【小试牛刀】
思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)空间直角坐标系中，向量eq \(AB,\s\up6(→))的坐标与终点B的坐标相同．( )
(2)设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)且b≠0，则a∥b⇒eq \f(x1,x2)＝eq \f(y1,y2)＝eq \f(z1,z2).( )
(3)四边形ABCD是平行四边形，则向量eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(DC,\s\up6(→))的坐标相同．( )
(4)设A(0,1，－1)，O为坐标原点，则eq \(OA,\s\up6(→))＝(0,1，－1)．( )
【经典例题】
题型一 空间直角坐标系
点拨：建系时要充分利用图形的线面垂直关系，选择合适的基底，在写向量的坐标时，考虑图形的性质，充分利用向量的线性运算，将向量用基底表示．
例1已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M、N分别是AB、PC的中点，并且PA＝AD＝1，建立适当坐标系，求向量eq \(MN,\s\up6(→))的坐标．
【跟踪训练】1 如图在边长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，取D点为原点建立空间直角坐标系，O，M分别是AC，DD1的中点，写出下列向量的坐标.eq \(AM,\s\up6(→))＝________，eq \(OB1,\s\up6(→))＝________.
题型二 空间向量的坐标运算
例2 （1）设a＝(1，－1，3)，b＝(－2，1，2)，则a＋2b＝________.
设a＝(1，－1，1)，b＝(－2，0，1)，则cs〈a，b〉＝________.
（3）已知点A(－1，2，0)，B(－1，0，2)，则|eq \(AB,\s\up6(→))|＝________.
【跟踪训练】2若向量a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，且满足条件(c－a)·(2b)＝－2，则
x＝________.
题型三 空间向量坐标运算的运用
例3 设a＝(1,5，－1)，b＝(－2,3,5)．
(1)若(ka＋b)∥(a－3b)，求k；
(2)若(ka＋b)⊥(a－3b)，求k.
【跟踪训练】3 已知正三棱柱ABC－A1B1C1，底面边长AB＝2，AB1⊥BC1，点O，O1分别是棱AC，A1C1的中点.建立如图所示的空间直角坐标系.
(1)求三棱柱的侧棱长；
(2)求异面直线AB1与BC所成角的余弦值.

【当堂达标】
1.已知向量a＝(0，2，1)，b＝(－1，1，－2)，则a与b的夹角为( )
A.0° B.45° C.90° D.180°
2.设O为坐标原点，M(5，－1，2)，A(4，2，－1)，若eq \(OM,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))，则点B应为( )
A.(－1，3，－3) B.(9，1，1) C.(1，－3，3) D.(－9，－1，－1)
3．若△ABC的三个顶点坐标分别为A(1，－2,1)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)，则△ABC的形状是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
4.(多选)已知a＝(2，－3,1)，则下列向量中与a平行的是( )
A．(1,1,1) B．(－4,6，－2) C．(2，－3,5) D．(－2，3, －1)
5.向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值是( )
A．1 B.eq \f(1,5) C.eq \f(3,5) D.eq \f(7,5)
6.A(－2,3,1)，B(2，－5,3)，C(8,1,8)，D(4,9,6)，求证：四边形ABCD为平行四边形．
【参考答案】
【自主学习】
1.空间直角坐标系Oxyz 原点 坐标向量 p＝(x，y，z)
2. a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) (a1－b1，a2－b2，a3－b3) (λa1，λa2，λa3) a1b1＋a2b2＋a3b3
3. eq \r(a\\al(2,1)＋a\\al(2,2)＋a\\al(2,3)) a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
【小试牛刀】
（1）× （2）× （3）√ （4）√
【经典例题】
例1 解 以AD，AB，AP所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系如图所示，
则M(0，eq \f(1,2)，0)，N(eq \f(1,2)，eq \f(1,2)，eq \f(1,2))．∴eq \(MN,\s\up6(→))＝(eq \f(1,2)，0，eq \f(1,2))．
【跟踪训练】1 (－2,0,1) (1,1,2) 解析：∵A(2,0,0)，M(0,0,1)，O(1,1,0)，B1(2,2,2)，
∴eq \(AM,\s\up6(→))＝(0,0,1)－(2,0,0)＝(－2,0,1)，eq \(OB1,\s\up6(→))＝(1,1,2)．
例2（1）(－3，1，7) 解析a＋2b＝(1,－1,3)＋2(－2，1，2)＝(1，－1，3)＋(－4，2，4)＝(－3，1，7).
（2）－eq \f(\r(15),15) 解析： cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(－2＋1,\r(3)·\r(5))＝－eq \f(\r(15),15).
（3）2eq \r(2) 析： |eq \(AB,\s\up6(→))|＝eq \r(（－1＋1）2＋（2－0）2＋（0－2）2)＝2eq \r(2).
【跟踪训练】2 2 析：据题意，有c－a＝(0,0,1－x),2b＝(2,4,2)，故(c－a)·2b＝2(1－x)＝－2,解得x＝2.
例3 解 (1)ka＋b＝(k－2,5k＋3，－k＋5)，a－3b＝(1＋3×2,5－3×3，－1－3×5)＝(7，－4，－16)．因为(ka＋b)∥(a－3b)，所以eq \f(k－2,7)＝eq \f(5k＋3,－4)＝eq \f(－k＋5,－16)，解得k＝－eq \f(1,3).
因为(ka＋b)⊥(a－3b)，所以(k－2)×7＋(5k＋3)×(－4)＋(－k＋5)×(－16)＝0，解得k＝eq \f(106,3).
【跟踪训练】3 解(1)设侧棱长为b,则A(0，－1，0)，B1(eq \r(3)，0，b)，B(eq \r(3)，0，0)，C1(0，1，b)，
所以eq \(AB1,\s\up6(→))＝(eq \r(3)，1，b)，eq \(BC1,\s\up6(→))＝(－eq \r(3)，1，b).因为AB1⊥BC1，所以eq \(AB1,\s\up6(→))·eq \(BC1,\s\up6(→))＝(eq \r(3)，1，b)·(－eq \r(3)，1，b)＝－(eq \r(3))2＋12＋b2＝0，解得b＝eq \r(2).故侧棱长为eq \r(2).
(2)由(1)知eq \(AB1,\s\up6(→))＝(eq \r(3)，1，eq \r(2))，eq \(BC,\s\up6(→))＝(－eq \r(3)，1，0)，因为|eq \(AB1,\s\up6(→))|＝eq \r(（\r(3)）2＋12＋（\r(2)）2)＝eq \r(6)，
|eq \(BC,\s\up6(→))|＝eq \r(（－\r(3)）2＋12＋02)＝2，eq \(AB1,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝(eq \r(3)，1，eq \r(2))·(－eq \r(3)，1，0)＝－(eq \r(3))2＋1×1＝－2，
所以cs〈eq \(AB1,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))〉＝eq \f(|\(AB1,\s\up6(→))·\(BC,\s\up6(→))|,|\(AB1,\s\up6(→))||\(BC,\s\up6(→))|)＝eq \f(|－2|,\r(6)×2)＝eq \f(\r(6),6).所以异面直线AB1与BC所成角的余弦值为eq \f(\r(6),6).
【当堂达标】
C 解析：∵cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(2－2,\r(5)×\r(6))＝0，0°≤〈a，b〉≤180°，∴〈a，b〉＝90°.
2. B 解析：设B(x，y，z)，由eq \(OM,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))得(5，－1，2)＝(x－4，y－2，z＋1)，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－4＝5，,y－2＝－1，,z＋1＝2，))∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝9，,y＝1，,z＝1.))
3.A解析：eq \(AB,\s\up6(→))＝(3,4,2)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(5,1,3)，eq \(BC,\s\up6(→))＝(2，－3,1)．由eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＞0，得A为锐角；由eq \(CA,\s\up6(→))·eq \(CB,\s\up6(→))＞0，得C为锐角；由eq \(BA,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＞0，得B为锐角．所以△ABC为锐角三角形．
4. BD 解析：若b＝(－4,6，－2)，则b＝－2(2，－3,1)＝－2a，所以a∥b，同理D也平行.
5.D 解析：依题意得(ka＋b)·(2a－b)＝0，所以2k|a|2－ka·b＋2a·b－|b|2＝0，
而|a|2＝2，|b|2＝5，a·b＝－1，所以4k＋k－2－5＝0，解得k＝eq \f(7,5).
6.证明 设O为坐标原点，依题意 =（-2，3，1），=（2，-5，3），
∴= = (2, 5,3) (2,3,1) = (4, 8 , 2).
同理可得= (4,8,2), = (6,6,5),= (6,6,5).
由 =， =，可知∥，∥，
所以四边形ABCD是平行四边形. 课程标准
学科素养
1.学会空间直角坐标系的建立方法，掌握空间向量的坐标表示．
2.会判断两向量平行或垂直.
3.掌握空间向量的模、夹角公式和两点间的距离公式．
1、直观想象
2、数学运算
3、数学抽象
向量运算
向量表示
坐标表示
加法
a＋b
a＋b＝
减法
a－b
a－b＝
数乘
λa
λa＝
数量积
a·b
a·b＝
名称
满足条件
向量表示形式
坐标表示形式
a∥b
a＝λb(λ∈R)
a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)
a⊥b
a·b＝0
a·b＝
模
|a|＝eq \r(a·a)
|a|＝
夹角
cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)
cs〈a，b〉＝eq \f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a\\al(2,1)＋a\\al(2,2)＋a\\al(2,3)) \r(b\\al(2,1)＋b\\al(2,2)＋b\\al(2,3)))