高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.3 空间向量及其运算的坐标表示导学案

空间向量运算的坐标表示

【学习目标】

1.掌握空间右手直角坐标系的概念，会确定一些简单几何体（正方体、长方体）顶点的坐标；

2.掌握空间向量的坐标运算的规律。

【学习重难点】

重点：空间向量的运算的坐标表示。

难点：空间向量的数量积的坐标表示与应用。

考点：空间向量的数量积的运算。

【学习过程】

一、知识梳理、双基再现

1．平面向量的坐标表示：的意义

2．平面向量的坐标运算：若，，

则=（　　），＝（   ）

3．平面两向量数量积的坐标表示：已知两个非零向量，     ＝（    ）

４． 空间直角坐标系：

给定一个空间直角坐标系和向量，且设，，为坐标向量，则存在唯一的有序实数组，使有序实数组叫做在空间直角坐标系O－xyz中的坐标，简记为空间中相等的向量其坐标是相同的．

5． 向量的直角坐标运算：设＝，        ＝，则

⑴＝______________________；　　⑵＝______________________；

⑶λ＝______________________； 　　⑷______________________

6． 两个向量共线或垂直的判定：

若则_______________________________       

⊥_________________________________________

7． 向量在空间直角坐标系中的坐标的求法：

设，，则

＝－＝－＝．

设＝,＝,则||= =___________;cos〈, 〉= =___________.

二、课例分析与探究

1．已知＝，＝，求（1），，，.

（2）若与z轴垂直，则λμ应满足什么条件？

2．已知且，求实数k的值

3．已知A点的坐标是(-1，-2，6)，B点的坐标是(1，2，-6)，O为坐标原点，则向量与的夹角是(　　)

A.0   B.  C.π  D.

三、合作探究

如图，在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是D1D、BD的中点，G在棱CD上，且CG=，应用空间向量的运算办法解决下列问题：

（1）求证：EF⊥B1C；

（2）求EF与C1G所成角的余弦；

（3）若A为C1G的中点，求FH的长.

四、举一反三、能力拓展

1．写出单位向量的坐标：= _____________   = ____________   = _____________

2．在空间直角坐标系O—xyz中，已知点A的坐标为(-1，2，1)，点B的坐标为(1，3，4)，则(　　)

A. =(-1，2，1 )   B.=(1，3，4)    C.=(2，1，3)    D.=(-2，-1，-3)

3．已知=（2，-3，5），=（-3，1，-4），则的值为______________.

4．已知A(3，3，3),B(6，6，6)，O为原点，则与的夹角是(　　)

A.0   B.π        C.    D.2π

【达标检测】

1．向量=(-1,2,3),则向量的模是(　　)

A.14  B.  C.11  D.

2．已知A=(3,5,-7),B=（-2，4，3），求,线段AB的中点坐标及线段AB的长

3．棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，在棱DD1上是否存在点P使B1D⊥面PAC？

4．如图，正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为，

（1）求和的夹角       （2）求证:

5．在三棱锥S—ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，AC=2，BC=，SB=（1）求证：SC⊥BC；

（2）求SC与AB所成角的余弦值