人教版新课标A选修2-13.1空间向量及其运算学案

课题： 3.1.5空间向量运算的坐标表示       第    课时     总序第    个教案

课型： 新授课                 编写时时间：   年  月  日     执行时间：   年  月  日

教学目标：

掌握空间向量的长度公式、夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式，并会用这些公式解决有关问题．

批   注

教学重点：夹角公式、距离公式．

教学难点：夹角公式、距离公式的应用．

教学用具： 多媒体，三角形

教学方法：启发式教学法

教学过程：

一、复习引入

1. 向量的直角坐标运算法则：设a＝，b＝，则

⑴a＋b＝；　　⑵a－b＝；

⑶λa＝；　　　⑷a·b＝

上述运算法则怎样证明呢？（将a＝i＋j＋k和b＝i＋j＋k代入即可）

2. 怎样求一个空间向量的坐标呢？（表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标．）

二、新课讲授

⒈ 向量的模：设a＝，b＝，求这两个向量的模.

｜a｜＝，｜b｜＝．这两个式子我们称为向量的长度公式．

这个公式的几何意义是表示长方体的对角线的长度．

2. 夹角公式推导：∵　　a·b＝|a||b|cos＜a,b＞

　　　∴　　＝··cos＜a,b＞

由此可以得出：cos＜a,b＞＝

这个公式成为两个向量的夹角公式．利用这个共识，我们可以求出两个向量的夹角，并可以进一步得出两个向量的某些特殊位置关系：

当cos＜a、b＞＝1时，a与b同向；当cos＜a、b＞＝－1时，a与b反向；

当cos＜a、b＞＝0时，a⊥b．

3. 两点间距离共识：利用向量的长度公式，我们还可以得出空间两点间的距离公式：

在空间直角坐标系中，已知点，，则

，其中表示A与B两点间的距离．

3. 练习：已知A(3,3,1)、B(1，0，5)，求：⑴线段AB的中点坐标和长度；

⑵到A、B两点距离相等的点的坐标x、y、z满足的条件．

（答案：(2,,3)；；）

说明：⑴中点坐标公式：

＝；

⑵中点p的轨迹是线段AB的垂直平分平面．在空间中，关于x、y、z的三元一次方程的图形是平面．

4. 出示例5：如图，在正方体中，，求与所成的角的余弦值．

分析：如何建系？ → 点的坐标？ → 如何用向量运算求夹角？ →

变式：课本P96、例6

5. 用向量方法证明：如果两条直线同垂直于一个平面，则这两条直线平行．

三.巩固练习   

作业：课本P97练习 3题.

教学后记：