高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册空间向量的应用第1课时导学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册空间向量的应用第1课时导学案，共11页。
[课时目标]
1.能用向量法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面间的距离问题.
2.通过空间中距离问题的求解,体会向量法在研究几何问题中的作用.
1.点到直线的距离
已知直线l的单位方向向量为u,A是直线l上的定点,P是直线l外一点,AP=a,则向量AP在直线l上的投影向量AQ= ,点P到直线l的距离PQ= = .
2.点到平面的距离
已知平面α的法向量为n,A是平面α内的定点,P是平面α外一点,过点P作平面α的垂线l,交平面α于点Q,则点P到平面α的距离PQ= = = .
3.直线(平面)到平面的距离
(1)如果一条直线l与一个平面α平行,可在直线l上任取一点P,将线面距离转化为 的距离求解.
(2)如果两个平面α,β互相平行,可在其中一个平面α内任取一点P,将两个平行平面的距离转化为
的距离求解.
4.异面直线的距离
P,Q分别为异面直线a,b上的点,若PQ⊥a且PQ⊥b,则称PQ为异面直线a,b的公垂线段,其长定义为两异面直线间的距离.
基础落实训练
1.已知A(2,0,0),B(0,1,0),C(0,0,2),则点A到直线BC的距离为( )
A.2B.2305
C.4D.365
2.已知a=(1,1,1)为平面α的一个法向量,A(1,0,0)为α内的一点,则点D(1,1,2)到平面α的距离为( )
A.3B.2
C.52D.63
3.已知点A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,2),P(1,-1,0),那么过点P平行于平面ABC的平面与平面ABC的距离是( )
A.2B.22
C.23D.14
题型(一) 点到直线的距离
[例1] 如图,已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=1,AB=4,BC=3,∠ABC=90°,求点B到直线A1C1的距离.
听课记录:
|思|维|建|模|
用向量法求点到直线的距离的一般步骤
(1)建立空间直角坐标系.
(2)求直线的单位方向向量u.
(3)计算所求点P与直线上某一点所构成的向量a.
(4)利用公式PQ= a2−(a·u)2计算点到直线的距离.
[针对训练]
1.如图,在长方体ABCD-A'B'C'D'中,AB=1,BC=2,AA'=3,点M是AD的中点,求点M到直线B'D'的距离.
题型(二) 点到平面的距离
[例2] 如图,P,O分别是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1上、下底面的中心,AB=2AA1=22.
(1)求平面PBC的法向量;
(2)求点O到平面PBC的距离.
听课记录:
|思|维|建|模|
求点到平面的距离的一般步骤
(1)建系:结合图形的特点,建立恰当的空间直角坐标系;
(2)求向量:在坐标系中求出点B到平面内任一点A对应的向量 ;
(3)求法向量:设出平面的法向量,利用向量垂直的条件转化为求解方程组,求出法向量;
(4)求距离:代入求点到平面的距离公式d=|AB·nn,计算出答案.
[针对训练]
2.如图,将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角,求点D到平面ABC的距离.

题型(三) 异面直线的距离
[例3] 定义:两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线AC与A1D之间的距离是( )
A.22B.12
C.13D.33
听课记录:
|思|维|建|模|
利用向量法求异面直线间的距离
(1)建立空间直角坐标系;
(2)求两异面直线公垂线的方向向量;
(3)找到连接异面直线上各一点的线段,求它的方向向量;
(4)求该线段的方向向量在公垂线方向向量上的投影向量的模,即为异面直线间的距离.
[针对训练]
3.将边长为2的正方形ABCD沿对角线AC折叠,使得△ACD垂直于底面ABC,则异面直线AD与BC的距离为 .
题型(四) 线面距与面面距
[例4] 如图,在四棱锥O-ABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,OA⊥底面ABCD,
OA=2,M,N,R分别是OA,BC,AD的中点.求:
(1)直线MN与平面OCD的距离;
(2)平面MNR与平面OCD的距离.
听课记录:
|思|维|建|模|
线面距、面面距实质上都是求点面距,求直线到平面、平面到平面的距离的前提是线面、面面平行.
[针对训练]
4.如图,在直棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面为直角梯形,AB∥CD且∠ADC=90°,AD=1,CD=3,
BC=2,AA1=2,E是CC1的中点,求直线A1B1与平面ABE的距离.
课下请完成课时检测(十)
1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题
第1课时 距离问题
◉课前预知教材
1.(a·u)u AP|2−AQ|2 a2−(a·u)2
2.AP·nn AP·nn |AP·n|n
3.(1)点P到平面α (2)点P到平面β
[基础落实训练] 1.B 2.A 3.C
◉课堂题点研究
[题型(一)]
[例1] 解:以B为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则A1(4,0,1),C1(0,3,1),B(0,0,0).直线A1C1的方向向量A1C1=(-4,3,0),BC1=(0,3,1),所以点B到直线A1C1的距离d=BC1|2−BC1·A1C1A1C12=10−952=135.
[针对训练]
1.解:建立如图所示的空间直角坐标系,M(1,0,0),D'(0,0,3),B'(2,1,3),MD'=(-1,0,3),D'B'
=(2,1,0),所以点M到直线B'D'的距离为
MD'|2−MD'·D'B'D'B'2
=10−252=2305.
[题型(二)]
[例2] 解:(1)因为P,O分别是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1上、下底面的中心,连接OA,OB,OC,OP,所以OA,OB,OP两两互相垂直,以O为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,因为AB=2AA1=22,所以OA=OC=OB=2,OP=AA1=2,
所以B(0,2,0),C(-2,0,0),P(0,0,2),所以PB=(0,2,-2),PC=(-2,0,-2).
设平面PBC的法向量为m=(x,y,z),
则m·PB=0,m·PC=0⇒2y−2z=0,−2x−2z=0,
取z=1,则x=-1,y=1,所以m=(-1,1,1),所以平面PBC的一个法向量为(-1,1,1).
(2)由(1)知平面PBC的一个法向量为(-1,1,1),又OB=(0,2,0),所以点O到平面PBC的距离d=|OB·m|m=|2|1+1+1=233,
所以点O到平面PBC的距离为233.
[针对训练]
2.解:设O是BD的中点,连接OA,OC,由于折叠前四边形ABCD是正方形,边长为2,所以OA=OB=OC=OD=1.依题意,平面ABD⊥平面BCD且交线为BD,
OA⊂平面ABD,OA⊥BD,所以OA⊥平面BCD,由于OC⊂平面BCD,所以OA⊥OC,则OA,OC,
OD两两相互垂直,以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系,则D(0,1,0),B(0,-1,0),A(0,0,1),
C(1,0,0),BD=(0,2,0),BA=(0,1,1),BC=(1,1,0),设平面ABC的法向量为n=(x,y,z),
则n·BA=y+z=0,n·BC=x+y=0,故可设n=(1,-1,1),
所以点D到平面ABC的距离为n·BDn=23=233.
[题型(三)]
[例3] 选D 法一 设M是A1D上任意一点,过M作MN⊥AC,垂足为N,设A1M=λA1D=λAD-λAA1,AN=μAC=μAB+μAD,则MN=AN-AM=μAB+μAD-AA1-λAD+λAA1=μAB+(μ-λ)AD+(λ-1)AA1,AC=AB+AD,由题意可知|AB|=|AD|=|AA1|=1,AB·AD=AB·AA1=AD·AA1=0.因为MN⊥AC,则MN·AC=0,可得[μAB+(μ-λ)AD+(λ-1)AA1]·(AB+AD)=μ+μ-λ=0,则λ=2μ,所以|MN|=|μAB+(μ-λ)AD+(λ-1)AA1|=[μAB+(μ−λ)AD+(λ−1)AA1]2
=μ2+(μ−λ)2+(λ−1)2=6μ−132+13
≥33,当且仅当μ=13时,等号成立,所以直线AC与A1D之间的距离是33.
法二 以DA,DC,DD1所在的直线为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则A(1,0,0),C(0,1,0),
D(0,0,0),A1(1,0,1),可得AC=(-1,1,0),DA1=(1,0,1),DA=(1,0,0).设n=(x,y,z),且n⊥AC,n⊥DA1,
则n·AC=−x+y=0,n·DA1=x+z=0,取x=1,则y=1,z=-1,可得n=(1,1,-1),则DA在n上的投影向量的模就是两异面直线间的距离,为DA·nn=33.
[针对训练]
3.解析:取AC的中点O,连结OB,OD,则OD⊥AC,OB⊥AC,由条件可知,平面ACD⊥平面ABC,且平面ACD∩平面ABC=AC,OD⊂平面ACD,所以OD⊥平面ABC.如图,以O为原点,OB,OC,OD为x,y,z轴的正方向,建立空间直角坐标系,则A(0,-2,0),B(2,0,0),C(0,2,0),D(0,0,2),AD=(0,2,2),BC=(-2,2,0),BD=(-2,0,2),设与AD,BC垂直的向量为n=(x,y,z),
则AD·n=2y+2z=0,BC·n=−2x+2y=0,
令x=1,则y=1,z=-1,所以n=(1,1,-1),
则异面直线AD与BC的距离为BD·nn=−2−23=263.
答案:263
[题型(四)]
[例4] 解:(1)因为OA⊥平面ABCD,四边形ABCD为正方形,以点A为坐标原点,AB,AD,AO所在直线分别为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则C(2,2,0),D(0,2,0),O(0,0,2),M(0,0,1),N(2,1,0),
R(0,1,0),因为M,R分别为OA,AD的中点,则MR∥OD,
因为MR⊄平面OCD,OD⊂平面OCD,所以MR∥平面OCD,因为AD∥BC且AD=BC,R,N分别为AD,BC的中点,则CN∥RD且CN=RD,所以四边形CDRN为平行四边形,所以RN∥CD,
因为RN⊄平面OCD,CD⊂平面OCD,所以RN∥平面OCD,因为MR∩RN=R,MR,RN⊂平面MNR,所以平面MNR∥平面OCD,
因为MN⊂平面MNR,所以MN∥平面OCD,
设平面OCD的法向量为n=(x,y,z),DC=(2,0,0),DO=(0,-2,2),
则n·DC=2x=0,n·DO=−2y+2z=0,取y=1,可得n=(0,1,1),NC=(0,1,0),所以直线MN与平面OCD的距离为d1=|NC·n|n=12=22.
(2)因为平面MNR∥平面OCD,所以平面MNR与平面OCD的距离为d2=|NC·n|n=12=22.
[针对训练]
4.解:∵A1B1∥AB,A1B1⊄平面ABE,AB⊂平面ABE,∴A1B1∥平面ABE,∴A1B1到平面ABE的距离就是点A1到平面ABE的距离.
如图,以D为坐标原点,
分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,则A1(1,0,2),A(1,0,0),
E(0,3,1),C(0,3,0).过点C作AB的垂线交AB于点F,易得BF=3,
∴B(1,23,0),∴AB=(0,23,0),BE=(-1,-3,1).
设平面ABE的法向量为n=(x,y,z),
则n·AB=0,n·BE=0,即23y=0,−x−3y+z=0,∴y=0,x=z,不妨取n=(1,0,1).
∵AA1=(0,0,2),∴点A1到平面ABE的距离d=|AA1·n|n=22=2.
∵直线A1B1与平面ABE的距离等于点A1到平面ABE的距离,
∴直线A1B1与平面ABE的距离为2.