人教A版 (2019)必修 第一册基本不等式第1课时学案

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册基本不等式第1课时学案，共10页。学案主要包含了基本不等式的证明与理解，利用基本不等式求简单式子的最值等内容，欢迎下载使用。
学习目标 1.了解基本不等式的证明过程.2.掌握基本不等式ab≤a+b2(a>0，b>0).(重点)3.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.(难点)

导语
从前有个金店的天平坏了，天平的两臂长短不相等，店主不想购置新的天平，又怕别人说他缺斤少两，于是他想出一个办法：先把顾客要购买的黄金放入左边的托盘中，右边托盘中加砝码得到一个读数，再把黄金放入右边的托盘中，在左边托盘加砝码得到第二个读数，然后把两个读数相加除以2作为黄金的最终质量出售.你觉得店主这个买卖做到诚信无欺了吗？要解决这个问题，我们一起进入今天的课堂吧！
一、基本不等式的证明与理解
问题1 请写出我们上节课学习的重要不等式.
提示 ∀a，b∈R，a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时，等号成立.
问题2 如果a>0，b>0，我们用a，b分别替换重要不等式中的a，b，能得到什么样的结论？
提示 用a，b分别替换重要不等式中的a，b可得到a+b≥2ab，当且仅当a=b时，等号成立.我们习惯表示成ab≤a+b2，当且仅当a=b时，等号成立.
问题3 上述不等式是在重要不等式基础上转化出来的，是否对所有的a>0，b>0都能成立？请给出证明.
提示 方法一 (作差法)
a+b2-ab=a+b-2ab2=(a)2-2ab+(b)22=(a-b)22≥0，即a+b2≥ab，当且仅当a=b时，等号成立.
方法二 (性质法)
要证ab≤a+b2，
只需证2ab≤a+b，
只需证a+b-2ab≥0，
即证(a-b)2≥0，
显然(a-b)2≥0成立，当且仅当a=b时，等号成立.
方法三 (利用几何意义证明)
如图，AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC=a，BC=b，过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD，BD，故有△ACD∽△DCB，故CD=ab，由于CD小于或等于圆的半径，故用不等式表示为ab≤a+b2，由此也可以得出圆的半径不小于半弦.
知识梳理
1.基本不等式：如果a>0，b>0，则ab≤a+b2，当且仅当a=b时，等号成立.
2.a+b2叫做正数a，b的算术平均数，ab叫做正数a，b的几何平均数，从平均数的角度看，基本不等式反映了两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
注意点：
(1)基本不等式也称为均值不等式，其条件要求为a>0，b>0.
(2)等号成立的条件也是基本不等式的一部分，不要遗漏.
例1 (多选)下列说法正确的是( )
A.对∀a，b∈R，a+b2≥ab成立
B.若a>0，b>0且a≠b，则a+b>2ab
C.对∀a，b∈R，a2+b2≥2ab
D.若x>2，则x+1x≥2中可以取等号
答案 BC
解析 A项，当a=-1，b=-1时，不等式不成立；
D项，x+1x≥2x·1x=2时取等号的条件为x=1x,x>2,无解，不等式中不可取等号.
反思感悟 利用基本不等式时要注意a>0，b>0和取等号的条件是否满足.
跟踪训练 (多选)下面四个推导过程正确的有( )
A.若a，b为正实数，则ba+ab≥2ba·ab=2
B.若a∈R，a≠0，则4a+a≥24a·a=4
C.若x，y∈R，xy1”，则2-x-1x-1的最大值为 .
答案 -1
解析 2-x-1x-1=1+1-x-1x-1
=1-(x-1)+1x-1，
由x>1，得x-1>0，
可得(x-1)+1x-1≥2(x-1)·1x-1=2，
当且仅当1x-1=x-1，即x=2时，等号成立，
故2-x-1x-1≤1-2=-1，即2-x-1x-1的最大值为-1.
延伸探究5 将例2(2)改为“若0a>0，所以由基本不等式可得2a+b2≥22a·b2=2ab，当且仅当2a=b2，即a=b4时等号成立，此时b>a=b4>0满足题意.
2.下列结论正确的是( )
A.当x>0且x≠1时，x+1x的最小值为2
B.当x>0时，x+1x≥2
C.当x≠0时，x+1x≥2
D.当x>0时，x+1x2的最小值为2
答案 B
解析 选项A不满足“取等号时的条件”，故不正确；选项C不满足“各项必须为正”，故不正确；选项D不满足“积为定值”，故不正确.
3.已知x>0，a>0，4x+ax在x=3时取得最小值，则a的值为 .
答案 36
解析 ∵x>0，a>0，∴4x>0，ax>0，
∴4x+ax≥24x·ax=4a，当且仅当4x=ax，即x=a2时，等号成立.
又∵4x+ax在x=3时取得最小值，
∴a2=3，∴a=36.
4.当x>1时，x+4x-1的最小值为 .
答案 5
解析 因为x>1，故有x-1>0，所以x+4x-1=x-1+4x-1+1≥2(x-1)·4x-1+1=5，
当且仅当x-1=4x-1，即x=3时等号成立.
因此所求的最小值为5.
课时对点练
[分值：100分]
单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共12分
1.若a，b为正实数，且a+b=2，则ab的最大值为( )
A.3B.1C.23D.2
答案 B
解析 因为a，b为正实数，且a+b=2≥2ab，当且仅当a=b=1时等号成立，所以ab≤1.
2.不等式x-2y+1x-2y≥2成立的前提条件为( )
A.x≥2yB.x>2y
C.x≤2yD.x0，即x>2y.
3.下列不等式中正确的是( )
A.a+4a≥4B.a2+b2≥4ab
C.ab≥a+b2D.x2+3x2≥23
答案 D
解析 若aNB.M=NC.M1，b>1，
所以M=1a+1b≥21a·1b=2ab，
当且仅当1a=1b时取等号，
又2ab>1ab，故M>N.
5.已知x，y均为正实数，且(x+2)(y+1)=16，则x+y的最小值为( )
A.3B.4C.5D.6
答案 C
解析 x，y均为正实数，且(x+2)(y+1)=16，
所以x+2+y+1≥2(x+2)(y+1)=8，即x+y≥5，
当且仅当x+2=y+1=4，即x=2，y=3时取等号，
则x+y的最小值为5.
6.设x>0，则3-3x-1x的最大值是( )
A.3B.3-22C.-1D.3-23
答案 D
解析 ∵x>0，∴3x+1x≥23x·1x=23，当且仅当x=33时，等号成立，
∴-3x+1x≤-23，
则3-3x-1x≤3-23，
即3-3x-1x的最大值为3-23.
7.(多选)已知a，b∈R，且ab>0，则下列不等式成立的是( )
A.a+b2≥abB.ab≤a2+b22
C.ba+ab≥2D.2aba+b≤a+b2
答案 BC
解析 对于A，因为ab>0，故当a0，所以ab>0，ba>0，则ba+ab≥2ba·ab=2，当且仅当a=b时，等号成立，故C正确；
对于D，因为a2+b2≥2ab，所以(a+b)2≥4ab，当a0 ，
所以 2x2-3x+1x=2x+1x-3≥22x·1x-3=22-3 ，
当且仅当2x=1x，即 x=22 时取等号.所以所求的最小值为22-3.
9.(5分)若a∈R，则a2+2a2+1的最小值是 ，此时a= .
答案 2 0
解析 a2+2a2+1=a2+1+1a2+1
≥2a2+1·1a2+1=2，
当且仅当a2+1=1a2+1，
即a=0时，等号成立.
10.(10分)已知x>3，求4x-3+x的最小值.
解 因为x>3，所以x-3>0，
所以4x-3+x=4x-3+(x-3)+3
≥24x-3·(x-3)+3=24+3=7，
当且仅当4x-3=x-3，
即x=5时，等号成立.
所以4x-3+x的最小值为7.
11.x2+4x的最小值为( )
A.3B.4C.6D.8
答案 B
解析 x2+4x=|x|+4x≥2|x|·4x=4，当且仅当|x|=4x，即x=±2时，等号成立，故所求最小值为4.
12.(多选)下列命题中，为真命题的有( )
A.∀x>0，x+1x≥2B.∃x-2
C.∀x>0，x1+x2≥12D.∃x0，x+1x≥2x·1x=2，
当且仅当x=1时，等号成立，故A正确；
∀x0，x1+x2=1x+1x≤12x·1x=12，
当且仅当x=1时，等号成立，故C错误；
易知当x=-1时，x1+x2=-12，即∃x2)，n=2-b2(b≠0)，则m，n的大小关系是 .
答案 m>n
解析 由a>2，得a-2>0.
又m=a+1a-2=(a-2)+1a-2+2，
所以m≥2(a-2)·1a-2+2=4.
当且仅当a-2=1a-2，即a=3时取等号，
由于b≠0，所以n=2-b2