高中数学人教A版 (2019)必修 第一册基本不等式第2课时导学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册基本不等式第2课时导学案，共12页。学案主要包含了利用基本不等式证明不等式，基本不等式在实际问题中的应用等内容，欢迎下载使用。

一、利用基本不等式求复杂式子的最值问题
例1 若x>0，y>0，且1x+9y=1，则x+y的最小值为 .
答案 16
解析 方法一 (巧用“1”的代换求最值)
∵1x+9y=1，x>0，y>0，
∴x+y=1x+9y(x+y)=10+9xy+yx≥10+29xy·yx=16，
当且仅当9xy=yx即x=4，y=12时，等号成立.
即x+y的最小值为16.
方法二 (分离消元法求最值)
∵1x+9y=1，
∴y=9xx-1=9+9x-1，
∵x>0，y>0，∴x>1，
∴x+y=x+9+9x-1=(x-1)+9x-1+10
≥2(x-1)·9x-1+10=16，
当且仅当x-1=9x-1，即x=4时，等号成立，
此时，y=12，x+y的最小值为16.
延伸探究1 若x>0，y>0，x+y=1，则1x+9y的最小值为 .
答案 16
解析 ∵x+y=1，x>0，y>0，
∴1x+9y=1x+9y(x+y)=10+9xy+yx≥10+29xy·yx=16，
当且仅当9xy=yx，即x=14，y=34时，等号成立，
即1x+9y的最小值为16.
延伸探究2 若x>0，y>0，xy=9x+y，则x+y的最小值为 .
答案 16
解析 ∵x>0，y>0，xy=9x+y，∴1x+9y=1，
由例1可知，x+y的最小值为16.
延伸探究3 若x>1，y>9，xy=9x+y-8，则x+y的最小值为 .
答案 12
解析 由xy=9x+y-8得(x-1)(y-9)=1，
又x>1，y>9，
∴x+y=(x-1)+(y-9)+10
≥2(x-1)(y-9)+10=12，
当且仅当x-1=y-9=1，即x=2，y=10时，等号成立，即x+y的最小值为12.
延伸探究4 若x>1，y>9，xy=9x+y-8，则xy的最小值为 .
答案 16
解析 由xy=9x+y-8得y=9x-8x-1，
∴xy=x·9x-8x-1，
令t=x-1，则x=t+1且t>0，
∴xy=(t+1)·9(t+1)-8t=(t+1)(9t+1)t
=9t2+10t+1t=9t+1t+10
≥29t·1t+10=16，
当且仅当9t=1t，即t=13，即x=43，y=12时，等号成立，即xy的最小值为16.
反思感悟 (1)常数代换法解题的关键是通过代数式的变形，构造和式或积式为定值的式子，然后利用基本不等式求解最值.应用此种方法求解最值时，应把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘求积或相除求商.
(2)对含有多个变量的条件最值问题，若无法直接利用基本不等式求解，可尝试减少变量的个数，即用其中一个变量表示另一个，再代入代数式中转化为只含有一个变量的最值问题.
(3)当式子的一部分(比如分母)比较复杂时，可以通过换元简化表达式.
二、利用基本不等式证明不等式
例2 已知a，b，c均为正实数，且a+b+c=1.
求证：1a-11b-11c-1≥8.
证明 因为a，b，c均为正实数，a+b+c=1，
所以1a-1=1-aa=b+ca≥2bca，
同理1b-1≥2acb，1c-1≥2abc.
上述三个不等式两边均为正，分别相乘，
得1a-11b-11c-1≥2bca·2acb·2abc=8，
当且仅当a=b=c=13时，等号成立.
延伸探究5 本例的条件不变，求证：1a+1b+1c≥9.
证明 1a+1b+1c
=a+b+ca+a+b+cb+a+b+cc
=3+ba+ab+ca+ac+cb+bc≥3+2+2+2=9，
当且仅当a=b=c=13时，等号成立.
反思感悟 利用基本不等式证明不等式的策略
(1)利用基本不等式证明不等式时，可依据要求证不等式的两端的结构，合理选择基本不等式及其变形不等式来证，如a2+b2≥2ab(a，b∈R)，可变形为ab≤a2+b22；a+b2≥ab(a>0，b>0)可变形为ab≤a+b22等.同时要从整体上把握基本不等式，如a4+b4≥2a2b2，a2b2+b2c2≥2(ab)(bc)，都是对“a2+b2≥2ab，a，b∈R”的灵活应用.
(2)在证明条件不等式时，要注意“1”的代换，另外要特别注意多次运用基本不等式时等号成立的条件.
(3)当不能直接利用基本不等式时，可将原不等式进行组合、构造，以满足能使用基本不等式的形式.
跟踪训练1 已知a，b，c∈R，求证：a4+b4+c4≥a2b2+b2c2+c2a2.
证明 由基本不等式可得
a4+b4=(a2)2+(b2)2≥2a2b2，
同理，b4+c4≥2b2c2，c4+a4≥2c2a2，
则(a4+b4)+(b4+c4)+(c4+a4)
≥2a2b2+2b2c2+2c2a2，
从而a4+b4+c4≥a2b2+b2c2+c2a2，
当且仅当a2=b2=c2时，等号成立.
三、基本不等式在实际问题中的应用
例3 (课本例3)(1)用篱笆围一个面积为100 m2的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？
(2)用一段长为36 m的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？
解 设矩形菜园的相邻两条边的长分别为x m，y m，篱笆的长度为2(x+y)m.
(1)由已知得xy=100.由x+y2≥xy，
可得x+y≥2xy=20，所以2(x+y)≥40，
当且仅当x=y=10时，上式等号成立.
因此，当这个矩形菜园是边长为10 m的正方形时，所用篱笆最短，最短篱笆的长度为40 m.
(2)由已知得2(x+y)=36，矩形菜园的面积为xy m2.
由xy≤x+y2=182=9，可得xy≤81，
当且仅当x=y=9时，上式等号成立.
因此，当这个矩形菜园是边长为9 m的正方形时，菜园的面积最大，最大面积是81 m2.
例3 小明的爸爸要在家用围栏做一个面积为16 m2的矩形游乐园，当这个矩形的边长为多少时，所用围栏最省，并求所需围栏的长度.
解 设矩形围栏相邻两条边长分别为x m，y m，围栏的长度为2(x+y)m.
方法一 由已知得xy=16，
由x+y2≥xy，可知x+y≥2xy=8，
所以2(x+y)≥16，
当且仅当x=y=4时，等号成立，
因此，当这个矩形游乐园是边长为4 m的正方形时，所用围栏最省，所需围栏的长度为16 m.
方法二 由已知xy=16，得y=16x，
所以2(x+y)=2x+16x≥2×2x·16x=16.
当且仅当x=y=4时，等号成立，
因此，当这个矩形游乐园是边长为4 m的正方形时，所用围栏最省，所需围栏的长度为16 m.
延伸探究6 如果小明的爸爸只有12 m长的围栏，如何设计，才能使游乐园的面积最大？
解 由已知得2(x+y)=12，
故x+y=6，面积为xy，
由xy≤x+y2=62=3，
可得xy≤9，
当且仅当x=y=3时，等号成立.
因此，当游乐园为边长为3 m的正方形时，面积最大，最大面积为9 m2.
反思感悟 利用基本不等式解决实际问题的步骤
(1)理解题意.设变量，并理解变量的实际意义；
(2)构造定值.利用基本不等式求最值；
(3)检验.检验等号成立的条件是否满足题意；
(4)结论.
跟踪训练2 (课本例4)某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为4 800 m3，深为3 m.如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，那么怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？
解 设贮水池池底的相邻两条边的边长分别为x m，y m，水池的总造价为z元.根据题意，有
z=150×4 8003+120(2×3x+2×3y)
=240 000+720(x+y).
由容积为4 800 m3，可得3xy=4 800，
因此xy=1 600.
所以z≥240 000+720×2xy，
当x=y=40时，上式等号成立，此时z=297 600.
所以，将贮水池的池底设计成边长为40 m的正方形时总造价最低，最低总造价是297 600元.
跟踪训练2 某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层，每层2 000平方米的楼房.经测算，若将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560+48x(单位：元).为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？
注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用=购地总费用建筑总面积.
解 设将楼房建为x层，则每平方米的平均购地费用为2 160×1042 000x=10 800x.
设每平方米的平均综合费用为y元，
则y=560+48x+10 800x=560+48x+225x.
当x+225x取最小值时，y有最小值.
∵x>0，∴x+225x≥2x·225x=30，
当且仅当x=225x，即x=15时，等号成立.
∴当x=15时，y有最小值2 000.
因此该楼房建为15层时，每平方米的平均综合费用最少.
1.知识清单：
(1)巧用“1”的代换求最值问题.
(2)分离消元法求最值.
(3)利用基本不等式证明不等式.
(4)基本不等式在实际问题中的应用.
2.方法归纳：消元法、换元法、常数代换法.
3.常见误区：一正、二定、三相等，常因缺少条件或符号导致错误.
1.已知a>0，b>0，a+b=2，则1a+4b的最小值是( )
A.72B.4C.92D.5
答案 C
解析 ∵a>0，b>0，a+b=2，
∴a2+b2=1，
∴1a+4b=1a+4ba2+b2=52+b2a+2ab≥52+2b2a·2ab=92，
当且仅当b=2a，即a=23，b=43时取等号.
2.若正实数x，y满足xy+3x=3，则12x+y的最小值为( )
A.7B.8C.9D.10
答案 C
解析 ∵x>0，y>0，xy=3-3x>0，
∴00，y>0，
由题意可得2(x+y)=8，
所以x+y=4，
所以矩形模型的面积S=xy≤(x+y)24=424=4，当且仅当x=y=2时，等号成立，
所以当矩形模型的长和宽都为2 cm时，面积最大，为4 cm2.
4.已知x，y是正数且x+y=1，则4x+2+1y+1的最小值为( )
A.1315B.94C.2D.3
答案 B
解析 由x+y=1，得(x+2)+(y+1)=4，
即14[(x+2)+(y+1)]=1，
∴4x+2+1y+1
=4x+2+1y+1·14[(x+2)+(y+1)]
=144+1+4(y+1)x+2+x+2y+1
≥14×(5+4)=94，
当且仅当4(y+1)x+2=x+2y+1，
即x=23，y=13时等号成立.
∴4x+2+1y+1的最小值为94.
课时对点练
[分值：100分]
单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共12分
1.若x>0，y>0，且1x+4y=1，则x+y的最小值是( )
A.3B.6C.9D.12
答案 C
解析 x+y=(x+y)1x+4y=5+yx+4xy
≥5+2yx·4xy=9，
当且仅当yx=4xy，即x=3，y=6时取等号，
故x+y的最小值是9.
2.某工厂生产某种产品，第一年的产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x(a，b，x均大于零)，则( )
A.x=a+b2B.x≤a+b2
C.x>a+b2D.x≥a+b2
答案 B
解析 由题意得，A(1+a)(1+b)=A(1+x)2，
则(1+a)(1+b)=(1+x)2，
因为(1+a)(1+b)≤1+a+1+b22，
所以1+x≤2+a+b2=1+a+b2，
所以x≤a+b2，当且仅当a=b时取等号.
3.已知a>0，b>0，ab=1，且m=b+1a，n=a+1b，则m+n的最小值是( )
A.3B.4C.5D.6
答案 B
解析 ∵a>0，b>0，ab=1，
∴m+n=b+1a+a+1b=(a+b)+a+bab=2a+2b≥24ab=4，
当且仅当a=b=1时，等号成立.
即m+n的最小值为4.
4.已知x>0，y>0，xy=x+4y，则x+y+4x+1y的最小值为( )
A.10B.6C.4D.9
答案 A
解析 由xy=x+4y，得4x+1y=1，
所以x+y+4x+1y=(x+y)4x+1y+1=4+1+4yx+xy+1≥6+24yx·xy=6+4=10，
当且仅当x=6，y=3时，等号成立，
所以x+y+4x+1y的最小值为10.
5.如图所示，矩形ABCD的边AB靠在墙PQ上，另外三边是由篱笆围成的.若该矩形的面积为4，则围成矩形ABCD所需要篱笆的( )
A.最小长度为8
B.最小长度为42
C.最大长度为8
D.最大长度为42
答案 B
解析 设BC=a，CD=b，
因为矩形的面积为4，所以ab=4，
所以围成矩形ABCD所需要的篱笆长度为
2a+b=2a+4a≥22a·4a=42，
当且仅当2a=4a，即a=2时，等号成立，即所需要篱笆的最小长度为42.
6.已知正实数x，y满足1x+1y=1，则4xy-3x的最小值为( )
A.8B.9C.10D.11
答案 B
解析 由x>0，y>0，且1x+1y=1，
可得xy=x+y.
所以4xy-3x=4x+4y-3x=x+4y.
又因为x+4y=(x+4y)1x+1y
=5+4yx+xy≥9，
当且仅当4yx=xy，即x=3，y=32时取等号，
所以4xy-3x的最小值为9.
7.(多选)已知正数x，y满足x+y=2，则下列选项正确的是( )
A.1x+1y的最小值是2
B.xy的最大值是1
C.x2+y2的最小值是4
D.x(y+1)的最大值是2
答案 AB
解析 因为正数x，y满足x+y=2，
所以1x+1y=12(x+y)1x+1y
=12×2+yx+xy≥12×2+2yx·xy=2，
当且仅当yx=xy,x+y=2,即x=y=1时，等号成立，
所以1x+1y的最小值是2，故A正确；
因为正数x，y满足x+y=2，
所以xy≤x+y22=222=1，
当且仅当x=y=1时，等号成立，
所以xy的最大值是1，故B正确；
由x+y22≤x2+y22，得x2+y2≥2，
当且仅当x=y=1时，等号成立，
所以x2+y2的最小值是2，故C错误；
x(y+1)≤x+y+122=2+122=94，
当且仅当x=y+1,x+y=2,即x=32，y=12时，等号成立，
所以x(y+1)的最大值是94，故D错误.
8.(5分)若实数a，b满足a2+2ab=1，则a2+b2的最小值是 .
答案 5-12
解析 由a2+2ab=1可得b=1-a22a，
所以a2+b2=a2+1-a22a2=5a24+14a2-12
≥25a24·14a2-12=5-12，
当且仅当a2=55时，等号成立.
9.(5分)设00，b>0，
则a+b=1a+1b=a+bab，
由于a+b>0，则ab=1，即a+b≥2ab=2，
当且仅当a=b=1时，等号成立，
所以a+b≥2.
11.设三角形的三条边长分别为a，b，c，则三角形的面积S可由公式S=p(p-a)(p-b)(p-c)求得，其中p为三角形周长的一半.现有一个三角形的边长满足a=6，b+c=8，则此三角形面积的最大值为( )
A.37B.8C.47D.93
答案 A
解析 由题意p=7，则S=7(7-a)(7-b)(7-c)=7(7-b)(7-c)≤7·7-b+7-c2=37，
当且仅当7-b=7-c，即b=c=4时，等号成立，
所以此三角形面积的最大值为37.
12.(多选)若x>0，y>0，x+2y=1，则下列说法正确的是( )
A.xy的最大值是18
B.2x+1y的最小值是8
C.4x2+y2的最小值为12
D.(x+1)(2y+1)xy的最小值是4
答案 AB
解析 ∵x+2y=1≥22xy，
∴xy≤18，当且仅当x+2y=1,x=2y,
即x=12,y=14时等号成立，故A正确；
2x+1y=2x+1y(x+2y)=4+4yx+xy
≥4+24=8，
当且仅当4yx=xy,x+2y=1,即x=12,y=14时等号成立，故B正确；
4x2+y2=4(1-2y)2+y2=17y2-16y+4
=17y-8172+417≥417，
当且仅当y=817时等号成立，故C错误；
(x+1)(2y+1)xy=2xy+2xy=2xy+1xy≥4，
当且仅当xy=1时等号成立，而00，y>0)，
则矩形花园的面积为xy，根据题意作图，如图，因为花园是矩形，则△ADE与△ABC相似，所以AFAG=DEBC，又因为AG=BC=40，
所以AF=DE=x，FG=y，所以x+y=40，
由基本不等式x+y≥2xy，得xy≤400，
当且仅当x=y=20时，等号成立，矩形花园面积最大，最大值为400.
14.(11分)设a，b均为正数，且a+b=1.
(1)求a2+b2-4ab的最小值；(5分)
(2)证明：a+2b+b3+4aab-9≥0.(6分)
(1)解 ∵a，b均为正数，且a+b=1，
∴a2+b2-4ab=(a+b)2-6ab=1-6ab，
∵a+b=1≥2ab，∴0