高中数学人教A版 (2019)必修 第一册2.1 等式性质与不等式性质优秀导学案及答案

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知识点一：不等式的概念
在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，我们用数学符号“”“”“”“”“”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系.含有这些不等号的式子，叫做不等式.
知识点二：实数大小的比较
1、如果是正数，那么；如果等于，那么；如果是负数，那么，反过来也对.
2、作差法比大小：①；②；③
3、不等式性质
性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变
性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变
性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变
知识点三：不等式的探究
一般地，，有，当且仅当时，等号成立.
知识点四：不等式的性质
题型01由已知条件判断所给不等式是否正确
【典例1】（2023春·北京·高二对外经济贸易大学附属中学（北京市第九十四中学）校考期中）若，，且，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【典例2】（多选）（2023春·山东临沂·高二校考阶段练习）设为正实数，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，，则
【典例3】（多选）（2023·全国·高一专题练习）已知实数，，满足，，那么下列选项中错误的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式1】（多选）（2023·全国·高三专题练习）若，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式2】（多选）（2023春·黑龙江大庆·高二大庆实验中学校考期中）下列结论正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，，则D．若，，则
题型02由不等式的性质比较数（式）大小
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）若，，则一定有（ ）
A．B．C．D．
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）设，比较与的大小
【变式1】（多选）（2023·全国·模拟预测）若，，则（ ）．
A．B．
C．D．
【变式2】（多选）（2023秋·福建三明·高一统考期末）已知，，则下列四个不等式中，一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
题型03作差法比大小
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知，，，，则与的大小关系为（ ）
B．C．D．，大小关系不确定
【典例2】（2023·全国·高一专题练习）“”是“”的（ ）
A．充分必要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
【变式1】（2023·全国·高一专题练习）已知，，设，则（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（2023·上海·高三统考学业考试）设，，则s与t的大小关系是________.
题型04利用不等式求值或取值范围
【典例1】（2023·江苏南通·模拟预测）已知，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【典例2】（多选）（2023秋·四川达州·高一校考阶段练习）已知，，下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式1】（2023·全国·高一专题练习）已知实数x，y满足，，则y的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【变式2】（2023·全国·高三专题练习）已知，，分别求，，，的取值范围．
题型05用不等式表示不等关系
【典例1】（2023秋·甘肃酒泉·高一统考期末）铁路总公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过130cm，且体积不超过，设携带品外部尺寸长、宽、高分别记为，，（单位：cm），这个规定用数学关系式可表示为（ ）
A．且B．且
C．且D．且
【典例2】（2023·高一课时练习）用锤子以均匀的力敲击铁钉钉入木板，随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉入木板的钉子长度后一次为前一次的，已知一个铁钉受击3次后全部进入木板，且第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的，请从这个实例中提炼出一个不等式组：______．
【变式1】（2023·高一课时练习）如图两种广告牌，其中图（1）是由两个等腰直角三角形构成的，图（2）是一个矩形，从图形上确定这两个广告牌面积的大小关系，并将这种关系用含字母的不等式表示出来（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（2022秋·黑龙江哈尔滨·高一哈九中校考阶段练习）某公司准备对一项目进行投资，提出两个投资方案：方案为一次性投资万；方案 为第一年投资万，以后每年投资万.下列不等式表示“经过年之后，方案的投入不大于方案的投入”的是（ ）
A．B．
C．D．
题型06易错题（利用不等式求值或取值范围）
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）设，，则的取值范围是_____，的取值范围是____.
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）若,,则的取值范围是________.
2.1等式性质与不等式性质
A夯实基础 B能力提升
A夯实基础
一、单选题
1．（2023·全国·高一专题练习）下列不等式正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，，则
D．若，，，且，则
2．（2023春·山东滨州·高二校考阶段练习）下列说法中正确的是（ ）
A．如果，则B．如果，则
C．如果，则D．如果，，则
3．（2022秋·安徽合肥·高一校考期末）下列命题为真命题的是（）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
4．（2023·全国·高三专题练习）已知p∈R，，，则M，N的大小关系为（ ）
A．MN
C．M≤ND．M≥N
5．（2021秋·高一单元测试）设， ，则有（ ）
A． B．
C．D．
6．（2023·全国·高三专题练习）已知,则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
7．（2023秋·山东威海·高一统考期末）已知，则下列选项中能使成立的是（ ）
A．B．C．D．
8．（2020·北京·高三校考强基计划）设a，b，c均为大于零的实数，若一元二次方程有实根，则（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
9．（2020秋·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨三中校考阶段练习）已知，，则的取值范围是______．
10．（2020·安徽宣城·高一泾县中学校考强基计划）若关于的不等式只有一个整数解2，则实数的取值范围为 ____________．
四、解答题
11．（2022·全国·高一专题练习）用比较法证明以下各题：
(1)已知，．求证：．
(2)已知，．求证：．
12．（2023·全国·高三专题练习）已知，，且满足，则的取值范围是？
B能力提升
1．（2023·全国·高三专题练习）刘老师沿着某公园的环形道（周长大于）按逆时针方向跑步，他从起点出发、并用软件记录了运动轨迹，他每跑，软件会在运动轨迹上标注出相应的里程数．已知刘老师共跑了，恰好回到起点，前的记录数据如图所示，则刘老师总共跑的圈数为（ ）
A．7B．8C．9D．10
2．（2022秋·辽宁沈阳·高一东北育才学校校考期末）若且.则成立的一个充分非必要条件是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2022秋·江苏盐城·高一统考期中）设，，，则P，Q，R的大小顺序是（ ）
A．B．
C．D．
4．（多选）（2022秋·江苏常州·高一校考阶段练习）生活经验告诉我们，a克糖水中有b克糖且，若再添加c克糖后，糖水会更甜，于是得出一个不等式：趣称之为“糖水不等式”．根据生活经验和不等式的性质判断下列命题一定正确的是（ ）
A．若，，则与的大小关系随m的变化而变化
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，则一定有
5．（2023·高一单元测试）（1）已知，比较与的大小．
（2）已知，比较与的大小．
课程标准
学习目标
①会用不等式表示不等关系；掌握等式性质和不等式性质。
②会利用不等式性质比较大小。
③会利用不等式的性质进行简易的求范围与证明。
1通过本节课的学习，能做到用不等式表示不等关系，能利用等式及不等式的相关性质进行大小的比较、不等关系的证明、求解相应代数式的取值范围.
自然语言
大于
小于
大于或等于
小于或等于
至多
至少
不少于
不多于
符号语言
性质
性质内容
特别提醒
对称性
（等价于）
传递性
（推出）
可加性
（等价于
可乘性
注意的符号（涉及分类讨论的思想）
同向可加性
同向同正可乘性
可乘方性
，同为正数
可开方性