高中数学人教A版 (2019)必修 第一册2.1 等式性质与不等式性质第2课时学案及答案

2.1 等式性质与不等式性质

第2课时　等式性质与不等式性质

【学习目标】

【自主学习】

一．等式的基本性质

性质1　如果a＝b，那么b＝a；

性质2　如果a＝b，b＝c，那么a＝c；

性质3　如果a＝b，那么a±c＝b±c；

性质4　如果a＝b，那么ac＝bc；

性质5　如果a＝b，c≠0，那么＝.

二．不等式的性质

思考1：若a>b，c>d，那么a＋c>b＋d成立吗？a－c>b－d呢？

思考2：若a>b，c>d，那么ac>bd成立吗？

【小试牛刀】

思辨解析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)a＝b是＝成立的充要条件．(　　)

(2) a>b ⇒ ac2>bc2．(　　)

(3)若a＋c>b＋d，则a>b，c>d.(　　)

(4)同向不等式相加与相乘的条件是一致的．(　　)

(5)设a，b∈R，且a>b，则a3>b3.(   )

【经典例题】

题型一  利用不等式的性质证明简单的不等式

点拨：利用不等式的性质证明不等式注意事项
(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式.解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用.
(2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则.

例1 若a>b>0，c<0，求证：。

【跟踪训练】1 已知a>b，e>f，c>0，求证：f－ac<e－bc.

题型二  利用不等式的性质求取值范围

点拨：利用不等式的性质求取值范围的策略
1.建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围.
2.同向(异向)不等式的两边可以相加(相减)，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围.
注意：求解这种不等式问题要特别注意不能简单地分别求出单个变量的范围，再去求其他不等式的范围.
例2 已知1<a<4,2<b<8.试求2a＋3b与a－b的取值范围．

【跟踪训练】2 已知1≤a＋b≤5，－1≤a－b≤3，求3a－2b的范围．

【当堂达标】

1. (多选)若       ，则下面 四个不等式成立的有（   ）
A.|a|>|b|     B.a<b           C.a＋b<ab    D.a3>b3

2.已知a>b，c>d，且c，d不为0，那么下列不等式一定成立的是(　　)

A．ad>bc B．ac>bd

C．a＋c>b＋d D．a－c>b－d

3.若8<x<10，2<y<4，则的取值范围为________.

4.下列命题中，真命题是________(填序号).

①若a>b>0，则<；②若a>b，则c－2a<c－2b；③若a<0，b>0，则<；④若a>b，则2a>2b.

5.已知1<a<6，3<b<4，求a－b，的取值范围.

6.若bc－ad≥0，bd>0，求证：≤.

【课堂小结】

1.知识点：
(1)等式的性质.
(2)不等式的性质及其应用.
2.方法归纳：作商比较法、乘方比较法.
3.常见误区：注意不等式性质的单向性或双向性，即每条性质是否具有可逆性.

【参考答案】

【自主学习】

<    >    ac>bc   ac>bc   a＋c>b＋d  a＋c>b＋d   >

思考1： a＋c>b＋d成立，a－c>b－d不一定成立，但a－d>b－c成立.

思考2：不一定，但当a>b>0，c>d>0时，一定成立.

【小试牛刀】

 (1)×　(2)×　(3)×　(4)×  (5)√

【经典例题】

例1

【跟踪训练】1 证明　因为a>b，c>0，所以ac>bc，即－ac<－bc.

又e>f，即f<e，所以f－ac<e－bc.

例2 解　∵1<a<4,2<b<8，∴2<2a<8,6<3b<24

∴8<2a＋3b<32.

∵2<b<8，∴－8<－b<－2.

又∵1<a<4，

∴1＋(－8)<a＋(－b)<4＋(－2)，

即－7<a－b<2.

故8<2a＋3b<32，－7<a－b<2.

【跟踪训练】2设x＝a＋b，y＝a－b，则a＝，b＝，

∵1≤x≤5，－1≤y≤3，∴3a－2b＝x＋y.

又≤x≤，－≤y≤，

∴－2≤x＋y≤10.即－2≤3a－2b≤10.

【当堂达标】

1.AB 解析：由<<0可得b<a<0，从而|a|<|b|，A，B均不正确；

a＋b<0，ab>0，则a＋b<ab成立，C正确；a3>b3，D正确.

2. C解析：由a>b，c>d得a＋c>b＋d，故选C.

3. 2<<5 解析：∵2<y<4，∴<<.   又∵8<x<10，∴2<<5.

4.①②④ 解析：①∵a>b>0∴0<<<；②∵a>b∴－2a<－2b∴c－2a<c－2b；对③取a＝－2，b＝1，则<不成立.④正确.

5.解　∵3<b<4，∴－4<－b<－3.

∴1－4<a－b<6－3，即－3<a－b<3.

又<<，∴<<，

即<<2.

6.证明　∵bc－ad≥0，∴bc≥ad，

∴bc＋bd≥ad＋bd，

即b(c＋d)≥d(a＋b).

又bd>0，两边同除以bd得，≤.