必修 第一册弧度制同步达标检测题

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第二部分：知 识 点 精 准 记 忆
知识点一：任意角
1、角的概念
角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形
2、角的分类
①正角:按逆时针方向旋转所形成的角.
②负角:按顺时针方向旋转所形成的角.
③零角:如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角.
3、角的运算
设，是任意两个角，为角的相反角．
(1)：把角的终边旋转角.（时,旋转量为,按逆时针方向旋转;时,旋转量为,按顺时针方向旋转）
(2)：
知识点二：象限角
1、定义：在直角坐标系中,使角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合.那么,角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限角.
如果角的终边在坐标轴上,那么就认为这个角不属于任何一个象限.
2、象限角的常用表示：
知识点三：轴线角
1、定义：轴线角是指以原点为顶点，轴非负半轴为始边，终边落在坐标轴上的角.
2、轴线角的表示：
知识点四：终边相同的角的集合
所有与角终边相同的角为
知识点五：角度制与弧度制的概念
1、弧度制
长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1，或1弧度，或1(单位可以省略不写).
2、角度与弧度的换算
弧度与角度互换公式：
，
3、常用的角度与弧度对应表
知识点六：扇形中的弧长公式和面积公式
弧长公式：(是圆心角的弧度数)，
扇形面积公式：.
第三部分：课 前 自 我 评 估 测 试
1．如图所示的时钟显示的时刻为：，此时时针与分针的夹角为则（ ）
A．B．C．D．
2．若角，则角是（ ）
A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角
3．已知，则角的终边落在的阴影部分是（ ）
A．B．
C．D．
4．的角化为角度制的结果为_______．
5．求与角终边相同的最小正角和最大负角，并指出角是第几象限角.
第四部分：典 型 例 题 剖 析
重点题型一：任意角的概念
典型例题
例题1．下列说法正确的是（ ）
A．终边相同的角相等B．相等的角终边相同
C．小于的角是锐角D．第一象限的角是正角
例题2．（多选）下列说法正确的是（ ）
A．如果是第一象限的角，则是第四象限的角.
B．如果，是第一象限的角，且，则.
C．若角为锐角，则角为钝角.
D．若角，则角为第二象限角.
同类题型演练
1．将时钟拨快10分钟，则分针转过的弧度是（ ）
A．B．C．D．
2．亲爱的考生，我们数学考试完整的时间是2小时，则从考试开始到结束，钟表的分针转过的弧度数为___________.
重点题型二：坐标系中角的概念及其表示
角度1：终边相同的角
典型例题
例题1．与终边相同的角是（ ）
A．B．C．D．
例题2．将化成的形式是（ ）
A．B．C．D．
例题3．已知角的集合为，回答下列问题：
(1)集合中有几类终边不相同的角？
(2)集合中大于－360°且小于的角是哪几个？
(3)求集合中的第二象限角．
同类题型演练
1．在0°到范围内，与终边相同的角为（ ）
A．B．
C．D．
2．与终边相同的最小正角是____.
3．将化为的形式是________.
角度2：终边在某条直线上的角的集合
典型例题
例题1．终边落在直线上的角的集合为
A．B．
C．D．
例题2．用弧度制写出终边落在直线上的角是__．
同类题型演练
1．终边与直线重合的角可表示为（ ）
A．B．
C．D．
2．若，则的终边在（ ）
A．第一、三象限B．第一、二象限
C．第二、四象限D．第三、四象限
3．终边在第一、第三象限平分线上的角的集合可表示为____________.
角度3：区域角
典型例题
例题1．集合中角所表示的范围(阴影部分)是( )
A．B．C．D．
例题2．用弧度制表示终边落在如图所示阴影部分内（含边界）的角的集合是__________．
例题3．如图，用弧度表示顶点在原点，始边重合于轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界).
（1）；（2）
例题4．如图，写出终边落在阴影部分的角的集合.
(1)(2)
同类题型演练
1．如图，用弧度制表示终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合：______.
2．已知角α的终边在如图阴影表示的范围内(不包含边界)，那么角α的集合是________．
3．如图，分别写出适合下列条件的角的集合．
（1）终边落在射线上；
（2）终边落在直线上；
（3）终边落在阴影区域内（含边界）．
4．写出终边在图中阴影区域(包括边界)内的角的集合.
重点题型三：确定及的终边所在的象限
典型例题
例题1．已知是锐角，那么是（ ）．
A．第一象限角B．第二象限角
C．小于180°的正角D．第一或第二象限角
例题2．若为第一象限角，则是（ ）
A．第一象限角B．第二象限角C．第一或第二象限角D．第一或第三象限角
例题3．（多选）已知角是第一象限角，则角可能在以下哪个象限（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
同类题型演练
1．若是钝角，则是（ ）
A．第一象限角B．第二象限角
C．第三象限角D．第四象限角
2．已知是第二象限的角，那么是（ ）
A．第一象限角B．第二象限角
C．第一或第二象限角D．第一或第三象限角
3．当是第二象限角时，试讨论是哪个象限的角．
4．当是锐角时，试判断是哪个象限的角．
重点题型四：弧度制的概念
典型例题
例题1．若，则角的终边在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
例题2．如图所示的复古时钟显示的时刻为，将时针与分针视为两条线段，则该时刻的时针与分针所夹的钝角为（ ）
A．B．C．D．
例题3．（多选）已知扇形的周长是12，面积是8，则扇形的圆心角的弧度数可能是（ ）
A．1B．4C．2D．3
同类题型演练
1．一场考试需要2小时，在这场考试中钟表的时针转过的弧度数为（ ）
A．B．C．D．
2．时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度为( )
A．B．
C．D．
3．高考数学考试时间是2小时，那么在这场考试中钟表的时针转过的弧度数为___________.
重点题型五：角度与弧度的互化
典型例题
例题1．下列结论错误的是（ ）
A．－150°化成弧度是B．化成度是－600°
C．化成弧度是D．化成度是15°
例题2．300°化为弧度制是（ ）．
A．B．C．D．
例题3．将75°角化为弧度制为______弧度．
同类题型演练
1．下列角中与终边相同的角是（ ）
A．B．C．D．
2．（多选）下列说法正确的是（ ）
A．化成弧度是
B．化成角度是
C．若角，则角为第二象限角
D．若一扇形的圆心角为，半径为，则扇形面积为
3．若两个角的差为1弧度，和为1°，则这两个角的弧度数分别为______．
重点题型六：用弧度表示角或范围
典型例题
例题1．若角的终边与函数的图象相交，则角的集合为（ ）
A．B．
C．D．
例题2．用弧度制表示顶点在原点，始边重合于轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(包括边界，如图所示).
同类题型演练
1．用弧度制表示终边落在如图所示阴影部分内的角的集合是_________．
2．分别用角度和弧度写出第一、二、三、四象限角的集合.
重点题型七：弧长公式与扇形面积公式的应用
典型例题
例题1．若扇形的周长为，面积为，则其圆心角的弧度数是（ ）
A．1或4B．1或2C．2或4D．1或5
例题2．半径为2cm，中心角为的扇形的弧长为______cm．
例题3．如图，扇环ABCD中，弧，弧，，则扇环的面积__________．
例题4．圆心角为，弧长为，扇形的面积为__．
例题5．某地政府部门欲做一个“践行核心价值观”的宣传牌，该宣传牌形状是如图所示的扇形环面(由扇形挖去扇形后构成的)．已知米，米，线段、线段与弧、弧的长度之和为米，圆心角为弧度．
(1)求关于的函数解析式；
(2)记该宣传牌的面积为，试问取何值时，的值最大?并求出最大值．
同类题型演练
1．角的度量除了有角度制和弧度制之外，在军事上角的度量还有密位制（Densepsitinsystem），密位制的单位是密位.1密位等于圆周角的，即密位.在密位制中，采用四个数字来记一个角的密位数，且在百位数字与十位数字之间画一条短线，例如密位写成，密位写成，设圆的半径为，那么密位的圆心角所对的弧长为（ ）
A．B．C．D．
2．已知一个扇形的弧所对的圆心角为40°，半径，则该扇形的弧长为______cm．
3．东方设计中的“白银比例”是，它的重要程度不亚于西方文化中的“黄金比例”，传达出一种独特的东方审美观．折扇的纸面可看作是从一个大扇形纸面中剪掉一个小扇形纸面后剩下的图形（如图）．设制作折扇时剪下的小扇形纸面面积为，折扇纸面面积为，当时，扇面看上去较为美观，那么剪下的小扇形半径与原大扇形半径之比的平方为________．
4．已知一扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为l.
(1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长l；
(2)已知扇形的周长为10 cm，面积是4 cm2，求扇形的圆心角；
(3)若扇形周长为20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？
5．已知一扇形的圆心角为，所在圆的半径为.
（1）若，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；
（2）若扇形的周长是一定值，当为多少弧度时，该扇形有最大面积?
第五部分：高 考 （模 拟） 题 体 验
1．半径为的圆的边沿有一点，半径为的圆的边沿有一点，、两点重合后，小圆沿着大圆的边沿滚动，、两点再次重合小圆滚动的圈数为（ ）
A．B．C．D．
2．已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
3．密位制是度量角的一种方法，把一周角等分为6000份，每一份叫做1密位的角．在角的密位制中，单位可省去不写，采用四个数码表示角的大小，在百位数与十位数之间画一条短线，如7密位写成“0－07”，478密位写成“4－78”．如果一个半径为4的扇形，其圆心角用密位制表示为12－50，则该扇形的面积为（ ）
A．B．C．D．
4．为解决皮尺长度不够的问题，实验小组利用自行车来测量A，B两点之间的直线距离.如下图，先将自行车前轮置于点A，前轮上与点A接触的地方标记为点C，然后推着自行车沿AB直线前进（车身始终保持与地面垂直），直到前轮与点B接触.经观测，在前进过程中，前轮上的标记点C与地面接触了10次，当前轮与点B接触时，标记点C在前轮的左上方（以下图为观察视角），且到地面的垂直高度为0.45m.已知前轮的半径为0.3m，则A，B两点之间的距离约为（ ）（参考数值：）
A．20.10mB．19.94mC．19.63mD．19.47m
5.1任意角和弧度制（精练）
A夯实基础
一、单选题
1．若，，则角与角的终边一定（ ）
A．重合B．关于原点对称
C．关于x轴对称D．关于y轴对称
2．的角化为弧度制的结果为（ ）
A．B．C．D．
3．一个扇形的半径为3，圆心角为，且周长为8，则（ ）
A．B．C．D．
4．2022年北京冬奥会开幕式倒计时环节把二十四节气与古诗词、古谚语融为一体，巧妙地呼应了今年是第二十四届冬奥会，更是把中国传统文化和现代美学完美地结合起来，彰显了中华五千年的文化自信．地球绕太阳的轨道称为黄道，而二十四节气正是按照太阳在黄道上的位置来划分的．当太阳垂直照射赤道时定为“黄经零度”，即春分点．从这里出发，每前进15度就为一个节气，从春分往下依次顺延，清明、谷雨、立夏等等．待运行一周后就又回到春分点，此为一回归年，共360度，因此分为24个节气，则今年高考前一天芒种为黄经（ ）
A．60度B．75度C．270度D．285度
5．玉雕在我国历史悠久，拥有深厚的文化底蕴，数千年来始终以其独特的内涵与魅力深深吸引着世人．某扇形玉雕壁面尺寸（单位：cm）如图所示，则该玉雕壁画的扇面面积约为（ ）
A．B．C．D．
6．中国扇文化有着深厚的文化底蕴，小小的折扇传承千年的制扇工艺与书画艺术，折扇可以看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设折扇的面积为，圆面中剩余部分的面积为，当时，折扇的圆心角的弧度数为（ ）
A．B．C．D．
7．若角α是第二象限角，则是( )
A．第一象限角B．第二象限角
C．第一或第三象限角D．第二或第四象限角
8．已知扇形面积为，当扇形的周长取得最小值时，扇形的圆心角为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．下列转化结果正确的是（ ）
A．60°化成弧度是B．－π化成度是－660°
C．－150°化成弧度是－πD．化成度是15°
10．若是第二象限角，则（ ）
A．是第一象限角B．是第一或第三象限角
C．是第二象限角D．是第三或第四象限角或轴负半轴上
三、填空题
11．与终边相同的角可以为___________.（填写一个符合题意的角即可）
12．如图所示，终边落在阴影部分的角的取值集合为____________.
四、解答题
13．已知.
(1)写出与角终边相同的角的集合；
(2)写出在内与角终边相同的角.
14．已知弧长为60cm的扇形面积是，求：
(1)扇形的半径；
(2)扇形圆心角的弧度数．
B能力提升
15．已知相互啮合的两个齿轮，大轮有48齿，小轮有20齿.
（1）当大轮转动一周时，求小轮转动的角度；
（2）如果大轮的转速为（转/分），小轮的半径为，那么小轮周上一点每1s转过的弧长是多少？
16．已知一扇形的中心角是，所在圆的半径是R.
（1）若，，求扇形的弧长l及面积S；
（2）若扇形的周长是一定值C（），当为多少弧度时，该扇形有最大面积？并求最大面积；
（3）若扇形的面积是一定值S（），当为多少弧度时，该扇形有最小周长？并求最小周长.
C综合素养
17．某公司拟设计一个扇环形状的花坛（如图所示）,该扇环是由以点为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点,的两条线段围成．设圆弧和圆弧所在圆的半径分别为米,圆心角为θ（弧度）．
(1)若,,求花坛的面积；
(2)设计时需要考虑花坛边缘（实线部分）的装饰问题,已知直线部分的装饰费用为60元/米,弧线部分的装饰费用为90元/米,预算费用总计1200元,问线段AD的长度为多少时,花坛的面积最大？
第一象限角
第二象限角
第三象限角
或
第四象限角
或
①
终边落在轴非负半轴
②
终边落在轴非负半轴
③
终边落在轴非正半轴
或
④
终边落在轴非正半轴
或
⑤
终边落在轴
⑥
终边落在轴
或
⑦
终边落在坐标轴
角度制
弧制度