（人教A版）必修一数学高一上册第四章 指数函数与对数函数 章末题型总结+单元检测（2份，原卷版+解析版）

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第四章 指数函数与对数函数 章末总结（精讲）第一部分：本章知识框架第二部分：典 型 例 题 剖 析重点题型一：有关指数、对数的运算典型例题例题1．化简求值：(1);(2)【答案】(1) (2)1(1)原式= = ==.(2)原式=.例题2．（1）求值：；（2）已知，求值：.【答案】（1）81；（2）6.（1）原式；（2）由，而，则，故.题型归类练1．计算：(1)(2).【答案】(1)；(2).(1)解：.(2)解： .2．化简求值：(1)；(2)．【答案】(1)3(2)0(1)解：；(2)解：.重点题型二：数的大小比较问题典型例题例题1．已知，则的大小关系为（   ）A． B． C． D．【答案】C由于，故，故选：C例题2．已知，，，则实数的大小关系为（     ）A． B． C． D．【答案】C，，则，所以；，，所以，则.所以故选：C.例题3．若，，，则下列结论正确的是（  ）A． B． C． D．【答案】A解：因为，所以，故选：A.题型归类练1．设，，，则（       ）A． B．C． D．【答案】D因为在上为增函数，且，所以，因为，所以，即，令（），得，所以在上递增，所以，所以，令，则，即，即，所以，故选：D2．已知，则（       ）A． B．C． D．【答案】A由题意可得：，故，故选：A3．已知，则（       ）A． B． C． D．【答案】D函数在上单调递增，，则，函数在R上单调递减，，，而，所以.故选：D重点题型三：定义域问题典型例题例题1．函数的定义域为________.【答案】由题意，要使函数有意义，则满足，解得，即函数的定义域为.故答案为：.例题2．已知函数，则函数的定义域是（    ）A． B． C． D．【答案】B要使有意义，则即，解得，所以函数的定义域为.要使有意义，则，解得且，所以函数的定义域为.故选：B.题型归类练1．求函数的定义域．【答案】且解：由得且，∴函数的定义域为且.2．求下列函数的定义域：(1)； (2)；(3)； (4)．【答案】(1)(2)(3)(4)(1)要使函数有意义，需满足，解得故函数定义域为(2)要使函数有意义，需满足，即，解得故函数定义域为(3)要使函数有意义，需满足，即 故函数定义域为(4)要使函数有意义，需满足，即，解得故函数定义域为重点题型四：值域问题典型例题例题1．设不等式对于任意的恒成立，则实数的取值范围是_______．【答案】解：由，得，即，   ，，则，，则，即．故答案为：例题2．已知是定义在上的奇函数，当时，，函数如果对于任意的，总存在，使得，则实数的取值范围是__________．【答案】若对于，，使得，则等价为 是定义在上的奇函数，，当时，，则当时，，，，，则满足，解得.故答案为：例题3．已知函数为偶函数，如有．(1)求k的值；(2)对任意，存在使得成立，求实数a的取值范围．【答案】(1)(2)(1)因为函数为偶函数，所以，，即k的值为1.(2)由（1）知，，因为对任意，存在使得成立，所以，设，，，，所以根据对勾函数的性质可得在上单调递增，即，所以在上有解，即在上有解．即，设，因为，所以值域为，所以，即．例题4．求解下列问题：(1)设函数，且，求的解析式及定义域．(2)已知函数，若函数（且的图象所过定点的纵坐标为．①求函数的定义域；②求函数的值域．【答案】(1)，定义域为(2)①；②(1)依题意函数，且，，，，此时，所以，定义域为.(2)①过定点，则，所以，，即的定义域为.②，由于，所以，，所以的值域为.题型归类练1．求下列函数的值域:(1)；(2).【答案】(1)；(2).(1)设，所以，又在上是增函数，所以，即，所以函数的值域为.(2)因为，所以能取到所有正实数. 对于，在时值域为，所以函数的值域为.2．设定义在上的奇函数（且，）(1)已知，函数，，求的值域；求实数的取值范围．【答案】(1)(1)解：∵是定义域为上的奇函数，故，得，此时，，，即是上的奇函数．又，即，解得或（舍去），∴，令，易知在上为增函数，∴，∴，当时，有最大值；当时，有最小值-2，故的值域是．3．已知函数，．(1)当，且时，求函数的值域；(2)若函数在的最小值为，求实数的值；【答案】(1)(2)(1)当时，；令，则当时，，在上单调递减，在上单调递增，，，的值域为.(2)令，则当时，，，对称轴为；当，即时，在上单调递增，，解得：（舍）；当，即时，在上单调递减，在上单调递增，，解得：（舍）或；当，即时，在上单调递减，，解得：（舍）；综上所述：.4．已知函数的定义域是，设(1)求的解析式及定义域；(2)若，求函数的最大值和最小值．【答案】(1)g（x）=22x-2x+2，定义域为[0，1](2)最大值为-3，最小值为-4(1)解：因为函数，所以f（2x）=22x,f（x+2）=2x+2，所以g（x）=f（2x）-f（x+2）=22x-2x+2，∵f（x）=2x的定义域是[0，3]，∴，解得0≤x≤1，∴g（x）的定义域为[0，1]．(2)由（1）得g（x）=22x-2x+2，设2x=t，则t∈[1，2]，∴g（t）=t2-4t=，∴g（t）在[1，2]上单调递减，∴g（t）max=g（1）=-3，g（t）min=g（2）=-4．∴函数g（x）的最大值为-3，最小值为-4．5．已知函数.(1)若求的定义域；(2)若的定义域为，求实数的取值范围；(3)若的值域为，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)(3)(1)若，则，所以，解得因此定义域为；(2)若的定义域为，则对恒成立.① 当，即，若，符合题意；若，，不符题意.②当时，由题意得，解得. 综上所述，；(3)若的值域为, 则对能取到全部正实数，① 当，即，若，不符合题意；若，，符合题意.②当时，由题意得，解之得.综上所述，.6．已知幂函数是奇函数，且f(x)在（0，+∞）为严格增函数(1)求m的值，并确定f(x)的解析式；(2)求，的最值【答案】(1)，(2)，(1)因为幂函数 ，在（0，+∞）为严格增函数所以，即，解得，又，所以或，当时，，满足，因此是奇函数；当时， ，显然是偶函数；所以，；(2)因为，所以，令，因为，所以，所以，所以在上单调递减，在上单调递增，因此；又当时，；当时，，因此重点题型五：指数（型）函数的图象与性质典型例题例题1．函数的图象可能是（    ）A． B．C． D．【答案】C当时，，函数单调递增，且图象向下平移个单位，故AB错误； 当时，，函数单调递减，且图象向下平移个单位，故C 正确D错误；故选：C例题2．幂函数在上单调递增，则的图象过定点（   ）A． B． C． D．【答案】D解：因为幂函数在上单调递增，所以，解得，所以，故令得，所以所以的图象过定点故选：D例题3．若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（   ）A．（0，1） B． C． D．【答案】D由题意，函数在上单调递减，需满足 ，解得 ，故选：D例题4．（1）已知函数．①求函数的定义域、值域；②确定函数的单调区间．（2）画出函数的图象，并依据图象指出它的相关性质．【答案】（1）①定义为，值域为；②在上是减函数，在上是增函数；（2）答案见解析.（1）①设，由及的定义域都是，故函数的定义为．∵，∴，又，故原函数值域为．②函数在上增函数，即对任意且，有，而，即，所以原函数在上是减函数，同理：原函数在上是增函数.（2），图象和性质如下，①对称性：对称轴为；②单调性：在上单调递减，在上单调递增；③定义域为R，值域：.例题5．已知函数（为常数）是定义在上的奇函数.(1)求函数的解析式；(2)判断函数的单调性，并用定义证明；(3)若函数满足，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)在上单调递减，证明见解析(3)(1)解：因为是定义在上的奇函数，所以，即，即，所以，即；解得，所以(2)解：函数是上的减函数证明：在上任取,，设，因为，所以，则，所以即所以在上单调递减(3)解：因为是定义在上的奇函数，所以可化为又在上单调递减，所以解得题型归类练1．在同一坐标系中，函数与函数的图象可能为（     ）A． B．C． D．【答案】B解：函数的是指数函数，且，排除选项C，如果，二次函数的开口方向向上，二次函数的图象经过原点，并且有另一个零点：，所以B正确；对称轴在x轴左侧，C不正确；如果，二次函数有一个零点，所以D不正确．故选：B．2．已知表示a，b中的最小值，则函数的大致图象是（       ）A． B．C． D．【答案】C由题意，结合指数函数的图像可知，选项C的图像正确故选：C3．已知函数，若函数在上是严格减函数，则实数a的取值范围是（       ）A． B．C． D．【答案】D因函数在R上是严格减函数，则函数在上单调递减，并且有，于是得，解得：，所以实数a的取值范围是.故选：D4．函数（，且）的图象恒过定点，在幂函数的图象上，则=_______；【答案】27解：因为函数（，且）的图象恒过定点，所以由指数型函数性质得，因为在幂函数的图象上所以，解得，所以，.故答案为：5．若函数与（且）的图象经过同一个定点，则的值是________.【答案】25函数图象过定点，函数图象过定点，依题意，，解得，则所以的值是25.故答案为：256．已知函数在区间上是严格增函数，则实数的取值范围为______.【答案】解：令，因为函数在区间上是严格增函数，又在R上单调递增，所以在区间上是增函数， 因为的单调增区间为，所以，所以．故答案为：.7．冬季来临，为了预防流行性感冒，某工厂对厂区进行药物喷洒消毒，厂区空气中每立方米的药物含量y(单位:克)随时间x(单位:小时)的变化情况如图所示，在药物的喷洒过程中，y与x成幂函数关系;药物喷洒完毕后，y与x的函数关系为y=(0c B．b>a>c C．c>a>b D．c>b>a【答案】D∵0