高中数学人教A版 (2019)必修 第一册集合间的基本关系课时训练

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第二部分：知 识 点 精 准 记 忆
知识点1：图（韦恩图）
在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图形称为图。
图和数轴一样，都是用来解决集合问题的直观的工具。利用图，可以使问题简单明了地得到解决。
对图的理解
(1)表示集合的图的边界是封闭曲线,它可以是圆、椭圆、矩形,也可以是其他封闭曲线.
(2)用图表示集合的优点是能够呈现清晰的视觉形象,即能够直观地表示集合之间的关系,缺点是集合元素的公共特征不明显.
知识点2：子集
2.1子集：
一般地，对于两个集合，，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集
（1）记法与读法：记作(或)，读作“含于”(或“包含”)
（2）性质：
①任何一个集合是它本身的子集，即.
②对于集合，，，若，且，则
（3）图表示：
2.2集合与集合的关系与元素与集合关系的区别
符号“”表示集合与集合之间的包含关系,而符号“”表示元素与集合之间的从属关系.
知识点3：集合相等
一般地,如果集合的任何一个元素都是集合的元素,同时集合的任何一个元素都是集合的元素,那么集合与集合相等,记作.也就是说,若,且,则.
（1）的图表示
（2）若两集合相等，则两集合所含元素完全相同，与元素排列顺序无关
知识点4：真子集的含义
如果集合，但存在元素，且，我们称集合是集合的真子集;
（1）记法与读法：记作，读作“真包含于”(或“真包含”)
（2）性质：
①任何一个集合都不是是它本身的真子集.
②对于集合，，，若，且，则
（3）图表示：
知识点5：空集的含义
我们把不含任何元素的集合，叫做空集，记作：
规定：空集是任何集合的子集，即;
性质：①空集只有一个子集，即它的本身，
(2)，则
第三部分：课 前 自 我 评 估 测 试
1．设集合{是正四棱柱}，{是长方体}，{是正方体}，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
当正四棱柱的高与底面边长相等时，该正四棱柱为正方体；
当长方体底面为正方形时，该长方体为正四棱柱；.
故选：B.
2．下列集合中表示同一集合的是（ ）．
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】B
选项A，集合，为点集，而点与点为不同的点，故A错；选项C，集合为点集，集合为数集，故C错；选项D，集合为数集，集合为点集，故D错；选项B，集合，表示的都是“大于的实数”，为同一个集合．
故选：B
3．下列四个选项中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
解：对于A：，故A错误；
对于B：，故B错误；
对于C：，故C错误；
对于D：，故D正确；
故选：D
4．已知集合，且，则可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
因为，又，所以任取，则，
所以可能为，A对，
又 ，，
∴ 不可能为，，，B，C，D错，
故选：A.
5．已知集合，集合．若，则实数m的取值集合为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
由于，所以，
所以实数m的取值集合为.
故选：C
第四部分：典 型 例 题 剖 析
重点题型一：集合的子集、真子集问题
典型例题
例题1．设集合，则集合的真子集个数为（ ）
A．16B．15C．8D．7
【答案】D
由题意，
因此其真子集个数为．
故选：D．
例题2．已知集合，则的非空子集的个数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
，
即集合含有个元素，则的非空子集有（个）.
故选：B.
例题3．已知集合，，则满足条件的集合的个数为_________个
【答案】7
因为，
,
因为，所以1，2都是集合C的元素，
集合C中的元素还可以有3，4，5，且至少有一个，
所以集合C为：，，，，，， ，共7个.
故答案为：7
同类题型演练
1．集合的非空真子集的个数为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】B
由题意可知，集合A的非空真子集为，共6个.
故选：B.
2．已知集合，则A的子集共有（ ）
A．3个B．4个C．8个D．16个
【答案】C
由，得集合
所以集合A的子集有个，
故选： C
3．设集合，且，则满足条件的集合的个数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
因为，由题意可知，集合为的子集，
则满足条件的集合的个数为.
故选：B.
4．满足{1，2，3}的所有集合A是___________．
【答案】{1}或{1，2}或{1，3}
因为{1，2，3}，
所以集合A中至少有一个元素1，且为集合{1，2，3}的真子集，
所以集合A是{1}或{1，2}或{1，3}，
故答案为：{1}或{1，2}或{1，3}
5．满足条件：的集合M的个数为______.
【答案】7
由可知，
M中的元素个数多于中的元素个数，不多于中的元素个数
因此M中的元素来自于b,c,d中，
即在b,c,d中取1元素时，M有3个；取2个元素时，有3个；取3个元素时，有1个，
故足条件：的集合M的个数有7个，
故答案为：7.
6．若集合有且仅有两个不同的子集，则实数=_______；
【答案】或.
因为集合仅有两个不同子集，所以集合中仅有个元素，
当时，，所以，满足要求；
当时，，所以，此时方程解为，即，满足要求，
所以或，
故答案为：或.
重点题型二：集合之间关系的判断
典型例题
例题1．设集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
由且，即，而，
所以为的子集，则.
故选：A
例题2．已知集合，则下列关系正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
解：因为集合，
所以根据子集的定义可知，
故选：C.
例题3．设集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
由，解得，即，即，
又由，即，
所以.
故选：D.
同类题型演练
1．已知集合，或，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
因为或，则，，，
故选：A.
2．集合，，则M、P之间的关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
解：因为，
，
所以，
故选：C
3．下面五个式子中：①；②；③{a }{a，b}；④；⑤a {b，c，a}；正确的有（ ）
A．②④⑤B．②③④⑤C．②④D．①⑤
【答案】A
中，是集合{a}中的一个元素，，所以错误；
空集是任一集合的子集，所以正确；
是的子集，所以错误；
任何集合是其本身的子集，所以正确；
a是的元素，所以正确.
故选：A.
4．设集合，.
(1)若，试判断集合与的关系；
【答案】(1)
当时，，
因为，
所以.
5．判断下列两个集合之间的关系：（1），；
（2），；
（3）是4与10的公倍数}，.
【答案】（1）；（2）；（3）.
(1)根据数轴可知, 表示左边的数的集合, 表示左边的数的集合,故.
(2) 表示3的整数倍 ,
表示6的整数倍.故.
(3) 是4与10的公倍数}即 20的正整数倍, 也表示20的正整数倍.故
重点题型三：求子集、真子集
典型例题
例题1．集合的一个真子集可以为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
解：由，即，解得，
所以，所以的一个真子集可以为．
故选：C
例题2．已知集合，且．
(1)求实数的值；
(2)写出集合的所有子集．
【答案】(1)1
(2)，，，，，，，
(1)∵，
当时，，此时，由于集合中的元素不能重复，故舍去
当时，或，当时，符合要求；当时，，此时集合A中有两个0，故舍去，综上：
(2)由（1）知，，故A的所有子集为：，，，，，，，
同类题型演练
1．集合的非空子集是________________．
【答案】
集合的所有非空子集是.
故答案为：.
2．已知集合，，．
（1）写出集合的所有子集；
【答案】（1），，，，；（2）．
（1），，
集合的所有子集有：，，，，．
重点题型四：集合相等关系的应用
典型例题
例题1．（2022·浙江·慈溪市三山高级中学高二学业考试）已知集合， 若， 则 （ ）
A．3B．4C．D．
【答案】D
解：因为且，
所以，且，
又，
所以和为方程的两个实数根，
所以；
故选：D
例题2．已知集合，.若，求实数的值；
【答案】(1)
由已知得
，
解得；
同类题型演练
1．已知集合，，若A=B，则a+2b=（ ）
A．-2B．2C．-1D．1
【答案】D
由于，
所以
（1），结合集合元素的互异性可知此方程组无解.
（2）解得.
故选：D
2．已知集合A＝{2，－1}，集合B＝{m2－m，－1}，且A＝B，则实数m等于___________．
【答案】2或－1##－1或2
，且，
，
解得，或
故答案为：－1或2
3．已知，.若，则______.
【答案】
因为
所以解之得：
故答案为：
4．已知集合，，若，则___________.
【答案】0
由题意可知，∴，
又
∴，∴.
故答案为：.
5．设，若集合，则___________．
【答案】
由，所以
故答案为：
重点题型五：由集合间的关系求参数的范围
典型例题
例题1．已知集合或，，若，则实数的取值范围_________．
【答案】或
用数轴表示两集合的位置关系，如上图所示，
或
要使，只需或，解得或．
所以实数的取值范围或.
故答案为：或
例题2．设，若，则的取值范围是_____．
【答案】
根据题意作图：
由图可知，，则只要即可，即的取值范围是．
故答案为：.
同类题型演练
1．已知集合，，则下列命题中不正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则或D．若时，则或
【答案】D
，若，则，且，故A正确，
时，，故D不正确，
若，则且，解得，故B正确，
当时，，解得或，故C正确，
故选：D．
2．设集合，集合，若，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
由可得.
故选：D.
3．已知，，若，则的值为( )
A．1或－1B．0或1或－1C．D．
【答案】A
，，
若，则＝1或－1，故a＝1或－1．
故选：A．
4．设集合，，若，则实数a的取值范围是（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】D
或.
因为集合，，所以.
故选：D
5．设，，若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
由题：，，则.
故选：B
6．已知集合，，若，则m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
因为，所以，解得.
故选：A.
7．已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
当时，即当时，，合乎题意；
当时，即当时，由可得，解得，此时.
综上所述，.
故选：A.
8．已知集合, ,若，则实数a的取值范围为______．
【答案】
依题意，，当，即时，，
当，即时，，当，即时，，
又，，于是得，解得，或，解得，
而，则，综上得：，
所以实数a的取值范围为．
故答案为：
9．设不等式的解集为A，若，则a的取值范围为________.
【答案】
因不等式的解集为A，且，
则当时，，解得：，此时满足，即，
当时，不妨令()，则一元二次方程在上有两个根，
于是有，解得或，解得：，
则有，综合得：，
所以a的取值范围为.
故答案为：
10．已知集合，集合，若，则实数a的取值范围是______.
【答案】或
由题可得，集合，当时，，满足；
当时，，若，则，且，即
综上可得，实数a的取值范围是
故答案为：或
高频易错点：忽视空集
典型例题
例题1．已知集合，，若，则实数 =（ ）
A．B．1C．0或D．0或1
【答案】C
解：当时，，满足；
当时，，所以，解得，
综上实数的所有可能取值的集合为．
故选：C．
例题2．设集合，若，则由实数组成的集合为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
解析：由题意，当时，的值为；
当时，的值为；
当时，的值为，
故选：D
同类题型演练
1．已知集合，，且，则实数a的值为___________.
【答案】或或0
解：已知集合，，
当，满足；
当时，，
因为，故得到或，解得或；
故答案为：或或0
2．已知集合，，且，则实数的取值集合为___________.
【答案】
当时，，满足；
当时，，因为，所以或，解得或
即实数的取值集合为.
故答案为：
第五部分：新 定 义 问 题
1．若，则，就称是伙伴集合．其中的所有非空子集中具有伙伴关系的集合个数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
若，则，就称是伙伴集合，
，
的所有非空子集中具有伙伴关系的集合有，，．
的所有非空子集中具有伙伴关系的集合个数是3．
故选:B
2．若一个集合是另一个集合的子集，则称两个集合构成“鲸吞”；若两个集合有公共元素且互不为对方的子集，则称两个集合构成“蚕食”，对于集合，，若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”，则a的取值集合为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
解：集合，，
，，
若，则，
即有；
若，可得，，
不满足；
若，两个集合有公共元素，但互不为对方子集，
可得或，解得或．
综上可得，或或2.
故选：A.
3．设集合，，，，其中，下列说法正确的是（ ）
A．对任意，是的子集，对任意的，不是的子集
B．对任意，是的子集，存在，使得是的子集
C．存在，使得不是的子集，对任意的，不是的子集
D．存在，使得不是的子集，存在，使得是的子集
【答案】B
解：对于集合，，
可得当，即，可得，
即有，可得对任意，是的子集；故C、D错误
当时，，，
可得是的子集；
当时，，且，
可得不是的子集，故A错误．
综上可得，对任意，是的子集，存在，使得是的子集．
故选：B.
4．设集合，且都是集合的子集，如果把叫作集合的“长度”，那么集合的“长度”的最小值是___________.
【答案】
由题可知，的长度为 ，的长度为， 都是集合的子集，
当的长度的最小值时，与应分别在区间的左右两端，
即，则，
故此时的长度的最小值是：.
故答案为：
第六部分：高 考 （模 拟） 题 体 验
1．若集合，则对于集合的关系，则下列关系中一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
由于，同理知，故，
故选：A
2．若集合，，则能使成立的所有a组成的集合为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
当时，即，时成立；
当时，满足，解得；
综上所述：.
故选：C.
3．已知集合，若，则实数的值为__________.
【答案】0
解：因为，所以（舍去）或，
所以.故答案为：0
1.2集合间的基本关系（精练）
A夯实基础
一、单选题
1．①，②，③，④，其中正确的个数为( )
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
正确；
正确；
不正确，左边是数集，右边是点集；
不正确，左边是点集，右边是点集，但点不相同.
故正确的有①②，共2个.
故选：B.
2．已知集合，则集合A的子集个数为（ ）
A．8B．16C．32D．64
【答案】B
∵，∴，解得，∵，∴，则集合的子集个数为.
故选：B.
3．已知集合A满足，这样的集合A有（ ）个
A．5B．6C．7D．8
【答案】C
解：由题得集合.
故选：C
4．已知集合，．若，则a的值可以是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
∵，，∴当时，a＞2.
故选：D.
5．集合至多有1个真子集，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．或
【答案】D
当时，，满足题意，
当时，由题意得，得，
综上，的取值范围是或
故选：D
6．若不等式的解集是的子集，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
由题意，原不等式，
当时，不等式的解集为，
要使得不等式的解集是的子集，则满足，即；
当时，不等式的解集为，此时满足不等式的解集是的子集；
当时，不等式的解集为，
要使得不等式的解集是的子集，则满足，即，
综上可得，实数的取值范围是.
故选：B.
7．已知集合，，则、的关系是（ ）
A．；B．；
C．；D．
【答案】D
，
，
所以，
故选：D.
8．已知使不等式成立的任意一个x，都满足不等式，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
不等式的解为，
原不等式化为，
时，不等式的解为，满足题意，
时，不等式的解为，则，，即，
综上，．
故选：B．
二、多选题
9．设集合，集合，若 ，则 可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
当时，，符合；
当时，，不符合；
当时，，符合；
当时，，符合．
故选：ACD．
10．已知集合，，若，则实数等于（ ）
A．3B．2C．1D．0
【答案】ABD
当时，可得集合，此时满足；
当时，可得集合，
因为，可得或，解得或，
综上可得，实数等于.
故选：ABD.
三、填空题
11．已知集合有两个子集，则m的值是__________．
【答案】0或4
当时，，满足题意
当时，由题意得，
综上，或
故答案为：0或4
12．当两个集合中有一个集合为另一集合的子集时称这两个集合之间构成“全食”，当两个集合有公共元素，但互不为对方子集时称两集合之间构成“偏食”.对于集合，，若与构成“全食”，或构成“偏食”，则的取值集合为___________.
【答案】
当与构成“全食”即时，
当时，；
当时，，
又，
；
当与构成构成“偏食”时，且，
．
故的取值为：0，，，
故答案为：
四、解答题
13．已知
(1)若求实数a的取值范围
(2)若，求实数的取值范围
【答案】(1)；(2).
(1)∵，
∴，即，
∴实数a的取值范围为；
(2)∵，，
∴，解得，
故实数的取值范围为.
14．已知集合．
(1)若是的子集，且至少含有元素，写出满足条件的所有集合；
(2)若，且，求实数的取值集合．
【答案】(1)，，，；(2).
(1)，，可能的集合为：，，，；
(2)当时，，满足；
当时，；若，则或或，
解得：或或；
综上所述：实数的取值集合为.
B能力提升
1．已知集合，,若，则实数的取值范围为（ ）
A．或B．或C．或D．或
【答案】B
因为,故，
显然，则或,
解得或，
故实数a的取值范围为或
故选：B
2．已知集合，若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
由题意，集合，即
（1）若，则，此时，成立；
故
（2）若，则，此时两个集合不可能相等，不成立；
（3）若，即或
当时，，此时两个集合不可能相等，不成立；
当时，，集合A中有两个相同的元素，不成立
综上：，，
故选：A
3．（1）已知集合，，且，则实数a的值为______．
（2）若不等式对一切实数x都成立，则k的取值范围为______．
【答案】 或或0
已知集合，
当，满足；
当时，，
因为，故得到或
解得或；
不等式对一切实数x都成立，
当时，满足题意；
当时，只需要满足
解得
综上结果为：.
故答案为：或或0；
4．已知集合，集合，若，则实数a的取值范围是______.
【答案】或
由题可得，集合，当时，，满足；
当时，，若，则，且，即
综上可得，实数a的取值范围是或
故答案为：或
5．已知集合，集合．
(1)当时，求；
(2)若，求实数的取值范围；
【答案】(1)(2)
(1)：当时，，
∴；
(2)解：因为，
所以，当时， ，解得，满足；
当时，若满足，则，该不等式无解；
综上，若，实数的取值范围是
6．已知命题“，使等式成立”是真命题．
(1)求实数的取值集合；
(2)设关于的不等式的解集为，若，求实数的取值范围．
【答案】(1)(2)
(1)解：由可得，
当时，则，所以，，故.
(2)解：．
当，即时，，
因为，则，此时不存在；
当，即时，，满足题设条件；
当，即时，，
因为，则，解得.
综上可得，实数的取值范围为．
7．已知.
(1)若是的子集，求实数的值；
(2)若是的子集，求实数的取值范围.
【答案】(1)；(2)或.
(1)解：由题得.
若是的子集，则，
所以.
(2)解：若是的子集，则.
①若为空集，则，解得；
②若为单元素集合，则，解得.
将代入方程，
得，即，符合要求；
③若为双元素集合，，则.
综上所述，或.
C综合素养
1．(多选）已知集合，集合，若，则实数的取值可以是（ ）
A．0B．2C．D．1
【答案】ACD
解：由题知，
因为，所以时，满足条件，此时；
当，即时，，所以或，解得或.
综上，实数 的取值可以是或或
故选：ACD
2．(多选）集合，，之间的关系表述正确的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
表示被整除余的数的集合；
表示被整除余的数的集合；
，表示被整除余的集合；
故，，.
故选：ABC
3．已知集合，，集合中所有元素的乘积称为集合的“累积值”，且规定：当集合只有一个元素时，其累积值即为该元素的数值，空集的累积值为.设集合的累积值为.
（1）若，则这样的集合共有___________个；
（2）若为偶数，则这样的集合共有___________个.
【答案】
（1）若，据“累积值”的定义得或，这样的集合共有个；
（2）因为集合的子集共有个，
其中“累积值”为奇数的子集为、、，共个，
所以“累积值”为偶数的集合共有个.
故答案为：（1）；（2）.
4．设集合，，当时，集合的非空真子集的个数为___________；当时，实数的取值范围是___________.
【答案】 或
易得.
若，则，即A中含有个元素，
的非空真子集的个数为;
①当，即时，，；
②当时，，
因此，要使，则需，解得.
综上所述，的取值范围是或.
故答案为：；或.
5．已知集合，.
(1)求集合；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)(2)
(1)由，解得，故.
(2)（2）若，则，即.
若，则，且，解得，∴，
综上所述.
6．设非空集合，集合B是关于x的不等式的解集.
（1）若，且，求实数m的取值范围；
（2）若，求关于x的不等式的解集B.
【答案】（1）； （2）答案见解析.
（1）当时，不等式为，解得或，
即或，
因为且，
，要使得，则满足或，解得，
综上可得，实数的取值范围是.
（2）由关于x的不等式，
①若时，不等式为，解得，即不等式的解集为；
②若时，不等式可化为，
（i）当时不等式等价于
当时，可得，解得或，即不等式的解集为或；
当时，不等式可化为，解得，即不等式的解集为；
当时，可得，解得或，即不等式的解集为或.
（ii）当时，不等式等价于，解得，
即不等式的解集为，
综上可得，当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为或；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为或.和
和
和
相同点
都表示无
都是集合
都是集合
不同点
表示集合；
是实数
不含任何元素
含有一个元素
不含任何元素
含有一个元素，该元素为：
关系
或者