人教A版 (2019)必修 第一册1.2 集合间的基本关系精品学案及答案

集合间的基本关系

【学习目标】

了解子集、真子集、空集的概念，掌握用Venn图表示集合的方法，通过子集理解两集合相等的意义。

1．一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作(或)，读作“A含于B”(或“B包含A”)。

2．如果集合A是集合B的子集()，且集合B是集合A的子集()，此时，集合A与集合B中的元素是一样的，因此集合A与集合B相等，记作．

3．如果集合，但存在元素，且，我们称集合A是集合B的真子集，记作 (或)。

4．不含任何元素的集合叫做空集，记作。

5．空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

【学习过程】

写出给定集合的子集

【例1】（1）写出集合的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集；

（2）填写下表，并回答问题。

由此猜想：含n个元素的集合的所有子集的个数是多少？真子集的个数及非空真子集的个数呢？

解　（1）不含任何元素的集合：；

含有一个元素的集合：{0}，{1}，{2}；

含有两个元素的集合：{0，1}，{0，2}，{1，2}；

含有三个元素的集合：{0，1，2}。

故集合{0，1，2}的所有子集为，{0}，{1}，{2}，{0，1}，{0，2}，{1，2}，{0，1，2}。

其中除去集合{0，1，2}，剩下的都是{0，1，2}的真子集。

（2）

这样，含n个元素的集合{a1，a2，…，an}的所有子集的个数是2n，真子集的个数是2n－1，非空真子集的个数是2n－2

规律方法　（1）分类讨论是写出所有子集的有效方法，一般按集合中元素个数的多少来划分，遵循由少到多的原则，做到不重不漏。

（2）集合A中有n个元素，则集合A有个子集，有个真子集，个非空子集，个非空真子集。

变式迁移1 已知集合满足，写出集合。

解　由已知条件知所求为：{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}。

集合基本关系的应用

【例2】（1）已知集合，，且．求实数的取值范围；（2）本例（1）中，若将“”改为“”，其他条件不变，则实数的取值范围是什么？

解　（1）∵，

①当时，，解得．

②当时，有，

解得，

综上得．

（2）显然，又，∴，

如图所示，

∴，解得。

规律方法　（1）分析集合关系时，首先要分析、简化每个集合。

（2）此类问题通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误，一般含“=”用实心点表示，不含“=”用空心点表示。

（3）此类问题还应注意“空集”这一“陷阱”，尤其是集合中含有字母参数时，初学者会想当然认为非空集合而丢解，因此分类讨论思想是必须的。

变式迁移2 已知，，若，求实数所构成的集合。

解　由得或．

∴

由知或或

若，则；

若，则；

若，则。

∴。

集合相等关系的应用

【例3】已知集合，且，求x，y的值。

解　方法一　∵，

∴集合A与集合B中的元素相同，

∴或，

解得x，y的值为或或

验证得，当，时，

A={2，0，0}这与集合元素的互异性相矛盾，舍去。

∴x，y的取值为或

规律方法　集合相等则元素相同，但要注意集合中元素的互异性，防止错解。

变式迁移3 含有三个实数的集合可表示为，也可表示为，求a，b．

解　由集合相等得：，易知，

∴，即，∴且，∴．

综上所述：，.

【课堂小结】

1．元素、集合间的关系用符号“∈”或“”表示，集合、集合间的关系用“⊆”、“=”等表示。

2．在特定的情况下集合也可以作为元素，如集合，则此时，而不能是．

3．解集合关系的问题时还需注意以下几个方面：

（1）判断两个集合间的关系：①先用列举法表示两个集合再判断；②分类讨论。

（2）解数集问题学会运用数轴表示集合。

（3）集合与集合间的关系可用Venn图直观表示。

【课时作业】

一、选择题

1．下列命题

①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；④若时，则。其中正确的个数是(　　)

A．0

B．1

C．2

D．3

答案　B

解析　仅④是正确的。

2．已知集合，，则能使成立的实数的取值范围是(　　)

A．

B．

C．

D．

答案　B

解析　∵，∴

∴．

3．设，，则A与B的关系是(　　)

A．

B．

C．

D．

答案　D

解析　∵B的子集为{1}，{2}，{1，2}，，

∴，

∴．

4．若集合，集合，则A与B的关系是(　　)

A．

B．AB

C．

D．

答案　A

5．在以下六个写法中：①；②；③；④；⑤；⑥，其中错误写法的个数是(　　)

A．3个

B．4个

C．5个

D．6个

答案　B

二、填空题

6．满足的集合A的个数是________。

答案　7

解析　本题即求集合的非空子集个数，共个。

7．设，若，则的值为________。

答案　或0

8．若，则的所有取值组成的集合为________________。

答案：

三、解答题

9．设集合，，且，求实数A、B的值。

解：∵且，∴．

若，则，这与元素互异性矛盾，∴．

若，则或(舍)。

∴，∴，即.

若，则，得，即 (舍去)。

故，即为所求。