2020-2021学年第一章 集合与常用逻辑用语1.2 集合间的基本关系学案

这是一份2020-2021学年第一章 集合与常用逻辑用语1.2 集合间的基本关系学案，共9页。学案主要包含了集合间关系的判断，确定集合的子集，由集合间的关系求参数等内容，欢迎下载使用。


知识点一 子集、真子集、集合相等
1．子集、真子集、集合相等的相关概念
2．Venn图
用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图．
3．子集的性质
(1)任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A.
(2)对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么A⊆C.
思考1 任何两个集合之间是否有包含关系？
答案 不一定．如集合A＝{0,1,2}，B＝{－1,0,1}，这两个集合就没有包含关系．
思考2 符号“∈”与“⊆”有何不同？
答案 符号“∈”表示元素与集合间的关系；而“⊆”表示集合与集合之间的关系．
知识点二 空集
1．定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.
2．规定：空集是任何集合的子集．
思考 {0}与∅相同吗？
答案 不同．{0}表示一个集合，且集合中有且仅有一个元素0；而∅表示空集，其不含有任何元素，故{0}≠∅.
1．已知集合M＝{x|x是菱形}，N＝{x|x是正方形}，则集合M与集合N的关系为________．
答案 NM
解析 因为正方形是菱形，所以NM.
2．用“⊆”或“∈”填空：{0,2}________{2,1,0},2________{2,1,0}．
答案 ⊆ ∈
3．设a∈R，若集合{2,9}＝{1－a,9}，则a＝________.
答案 －1
解析 1－a＝2，解得a＝－1.
4．集合{0,1}的子集有________个．
答案 4
解析 集合{0,1}的子集有∅，{0}，{1}，{0,1}，共4个．
一、集合间关系的判断
例1 指出下列各对集合之间的关系：
(1)A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}；
(2)A＝{x|－1(3)M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}．
解 (1)集合A的元素是数，集合B的元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系．
(2)集合B＝{x|x<5}，用数轴表示集合A，B，如图所示，由图可知AB.
(3)由列举法知M＝{1,3,5,7，…}，N＝{3,5,7,9，…}，故NM.
反思感悟 判断集合关系的方法
(1)观察法：一一列举观察．
(2)元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系．
(3)数形结合法：利用数轴或Venn图．
跟踪训练1 (1)已知集合M＝{x|x2－3x＋2＝0}，N＝{0,1,2}，则集合M与N的关系是( )
A．M＝N B．NM
C．MN D．N⊆M
答案 C
解析 解方程x2－3x＋2＝0得x＝2或x＝1，则M＝{1,2}，因为1∈M且1∈N,2∈M且2∈N，所以M⊆N.又因为0∈N但0∉M，所以MN.
(2)已知集合A＝{x|x＝3k，k∈Z}，B＝{x|x＝6k，k∈Z}，则A与B之间的关系是( )
A．A⊆B B．A＝B
C．AB D．BA
答案 D
解析 因为A中元素是3的整数倍，而B中的元素是3的偶数倍，所以集合B是集合A的真子集．
二、确定集合的子集、真子集
例2 设A＝{x|(x2－16)(x2＋5x＋4)＝0}，写出集合A的子集，并指出其中哪些是它的真子集．
解 由(x2－16)(x2＋5x＋4)＝0，得(x－4)(x＋1)(x＋4)2＝0，
解方程得x＝－4或x＝－1或x＝4.
故集合A＝{－4，－1,4}．
由0个元素构成的子集为∅；
由1个元素构成的子集为{－4}，{－1}，{4}；
由2个元素构成的子集为{－4，－1}，{－4,4}，{－1,4}；
由3个元素构成的子集为{－4，－1,4}．
因此集合A的子集为∅，{－4}，{－1}，{4}，{－4，－1}，{－4,4}，{－1,4}，{－4，－1,4}．
真子集为∅，{－4}，{－1}，{4}，{－4，－1}，{－4,4}，{－1,4}．
(学生)
反思感悟 求集合子集、真子集的3个步骤
跟踪训练2 满足{1,2}M⊆{1,2,3,4,5}的集合M有________个．
答案 7
解析 由题意可得{1,2}M⊆{1,2,3,4,5}，可以确定集合M必含有元素1,2，且含有元素3,4,5中的至少一个，因此依据集合M的元素个数分类如下：
含有三个元素：{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}；
含有四个元素：{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}；
含有五个元素：{1,2,3,4,5}．
故满足题意的集合M共有7个．
三、由集合间的关系求参数
例3 已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若BA，求实数m的取值范围.
解 (1)当B≠∅时，如图所示．
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＋1≥－2，,2m－1<5，,2m－1≥m＋1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＋1>－2，,2m－1≤5，,2m－1≥m＋1，))
解这两个不等式组，得2≤m≤3.
(2)当B＝∅时，
由m＋1>2m－1，得m<2.
综上可得，m的取值范围是{m|m≤3}．
(教师)
延伸探究
1．若本例条件“A＝{x|－2≤x≤5}”改为“A＝{x|－2解 (1)当B＝∅时，由m＋1>2m－1，得m<2.
(2)当B≠∅时，如图所示．
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＋1>－2，,2m－1<5，,m＋1≤2m－1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m>－3，,m<3，,m≥2，))
即2≤m<3，
综上可得，m的取值范围是{m|m<3}．
2．若本例条件“BA”改为“A⊆B”，其他条件不变，求m的取值范围．
解 当A⊆B时，如图所示，此时B≠∅.
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2m－1>m＋1，,m＋1≤－2，,2m－1≥5，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m>2，,m≤－3，,m≥3，))
∴m不存在．
即不存在实数m使A⊆B.
(学生)
反思感悟 利用集合关系求参数的关注点
(1)分析集合关系时，首先要分析、简化每个集合．
(2)此类问题通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误．一般含“＝”用实心点表示，不含“＝”用空心点表示．
(3)此类问题还要注意“空集”的情况，因为空集是任何集合的子集．
跟踪训练3 已知集合A＝{x|x<－1或x>4}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若B⊆A，求实数a的取值范围．
解 (1)当B＝∅时，2a>a＋3，即a>3.显然满足题意．
(2)当B≠∅时，根据题意作出如图所示的数轴，
可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋3≥2a，,a＋3<－1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋3≥2a，,2a>4，))解得a<－4或2综上可得，实数a的取值范围为{a|a<－4或a>2}．
1．下列六个关系式：①{a，b}＝{b，a}；②{a，b}⊆{b，a}；③∅＝{∅}；④{0}＝∅；⑤∅{0}；⑥0∈{0}．其中正确的个数是( )
A．1 B．3 C．4 D．6
答案 C
解析 ①正确，集合中元素具有无序性；②正确，任何集合是自身的子集；③错误，∅表示空集，而{∅}表示的是含∅这个元素的集合，是元素与集合的关系，应改为∅∈{∅}；④错误，∅表示空集，而{0}表示含有一个元素0的集合，并非空集，应改为∅{0}；⑤正确，空集是任何非空集合的真子集；⑥正确，是元素与集合的关系．
2．集合{1,2}的子集有( )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
答案 A
解析 集合{1,2}的子集有∅，{1}，{2}，{1,2}，共4个．
3．能正确表示集合M＝{x∈R|0≤x≤2}和集合N＝{x∈R|x2－x＝0}关系的Venn图是( )
答案 B
解析 x2－x＝0得x＝1或x＝0，故N＝{0,1}，
易得NM，其对应的Venn图如选项B所示．
4．已知集合A＝{－1,3，m}，B＝{3,4}，若B⊆A，则实数m＝________.
答案 4
解析 ∵B⊆A，B＝{3,4}，A＝{－1,3，m}，
∴4∈A，∴m＝4.
5．已知集合A＝{x|x≥1或x≤－2}，B＝{x|x≥a}，若BA，则实数a的取值范围是________．
答案 a≥1
解析 ∵BA，∴a≥1.
1．知识清单：
(1)子集、真子集、空集、集合相等的概念及集合间关系的判断．
(2)求子集、真子集的个数问题．
(3)由集合间的关系求参数的值或范围．
2．方法归纳：数形结合、分类讨论．
3．常见误区：忽略对集合是否为空集的讨论，忽视是否能够取到端点．
1．已知集合A＝{0,1}，则下列式子错误的是( )
A．0∈A B．{1}∈A
C．∅⊆A D．{0,1}⊆A
答案 B
解析 ∵{1}⊆A，∴B项错误，其余均正确．
2．已知集合M＝{x∈Z|－eq \r(5)A．P＝{－3,0,1}
B．Q＝{－1,0,1,2}
C．R＝{y∈Z|－πD．S＝{x∈N||x|≤eq \r(3)}
答案 D
解析 集合M＝{－2，－1,0,1}，集合R＝{－3，－2}，集合S＝{0,1}，不难发现集合P中的元素－3∉M，集合Q中的元素2∉M，集合R中的元素－3∉M，而集合S＝{0,1}中的任意一个元素都在集合M中，所以S⊆M.
3．(多选)已知集合A＝{2，－1}，集合B＝{m2－m，－1}，且A＝B，则实数m等于( )
A．2 B．－1
C．－2 D．4
答案 AB
解析 ∵A＝B，∴m2－m＝2，∴m＝2或m＝－1.
4．已知集合M＝{x|y2＝2x，y∈R}和集合P＝{(x，y)|y2＝2x，y∈R}，则两个集合间的关系是( )
A．M⊆P B．P⊆M
C．M＝P D．M，P互不包含
答案 D
解析 由于集合M为数集，集合P为点集，因此M与P互不包含．
5．已知集合A＝{x∈R|x2－3x＋2＝0}，B＝{x∈N|0A．1 B．2 C．3 D．4
答案 D
解析 由题意知：A＝{1,2}，B＝{1,2,3,4}．又A⊆C⊆B，则集合C可能为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}．
6．图中反映的是“文学作品”“散文”“小说”“叙事散文”这四个文学概念之间的关系，请作适当的选择填入下面的空格：
A为________；B为________；C为________；D为________．
答案 小说 文学作品 叙事散文 散文
解析 由Venn图可得AB，CDB，A与D之间无包含关系，A与C之间无包含关系．由“文学作品”“散文”“小说”“叙事散文”四个文学概念之间的关系，可得A为小说，B为文学作品，C为叙事散文，D为散文．
7．集合{(1,2)，(－3,4)}的所有非空真子集是________．
答案 {(1,2)}，{(－3,4)}
解析 {(1,2)，(－3,4)}的所有真子集有∅，{(1,2)}，{(－3,4)}，其非空真子集是{(1,2)}，{(
－3,4)}．
8．设a，b∈R，集合A＝{1，a}，B＝{x|x(x－a)(x－b)＝0}，若A＝B，则a＝________，b＝________.
答案 0 1
解析 A＝{1，a}，解方程x(x－a)(x－b)＝0，
得x＝0或a或b，若A＝B，
则a＝0，b＝1.
9．写出集合{a，b，c}的所有子集，并指出其中的真子集的个数．
解 集合{a，b，c}的子集有∅，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}，其中除{a，b，c}外，都是{a，b，c}的真子集，共7个．
10．设A＝{x|x2－8x＋15＝0}，B＝{x|ax－1＝0}．
(1)若a＝eq \f(1,5)，试判定集合A与B的关系；
(2)若B⊆A，求实数a组成的集合C.
解 (1)A＝{x|x2－8x＋15＝0}＝{5,3}，
当a＝eq \f(1,5)时，B＝{5}，元素5是集合A＝{5,3}中的元素，
集合A＝{5,3}中除元素5外，还有元素3,3不在集合B中，所以BA.
(2)当a＝0时，由题意得B＝∅，又A＝{3,5}，故B⊆A；
当a≠0时，B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)))，又A＝{3,5}，B⊆A，此时eq \f(1,a)＝3或5，则有a＝eq \f(1,3)或a＝eq \f(1,5).
所以C＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,3)，\f(1,5))).
11．设集合M＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(k,2)＋\f(1,4)，k∈Z))))，N＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(k,4)＋\f(1,2)，k∈Z))))，
则正确的是( )
A．M＝N B．MN
C．NM D．M与N的关系不确定
答案 B
解析 集合M中的元素x＝eq \f(k,2)＋eq \f(1,4)＝eq \f(2k＋1,4)(k∈Z)，集合N中的元素x＝eq \f(k,4)＋eq \f(1,2)＝eq \f(k＋2,4)(k∈Z)，而2k＋1为奇数，k＋2为整数，因此MN.
12．已知集合A＝{x∈R|x2＋x＝0}，则集合A＝________.若集合B满足{0}B⊆A，则集合B＝________.
答案 {－1,0} {－1,0}
解析 ∵解方程x2＋x＝0，得x＝－1或x＝0，∴集合A＝{x∈R|x2＋x＝0}＝{－1,0}，
∵集合B满足{0}B⊆A，∴集合B＝{－1,0}．
13．已知非空集合P满足：(1)P⊆{1,2,3,4,5}；(2)若a∈P，则6－a∈P.符合上述条件的集合P的个数为________．
答案 7
解析 由a∈P,6－a∈P，且P⊆{1,2,3,4,5}可知，P中元素在取值方面应满足的条件是1,5同时选，2,4同时选，3可单独选，可一一列出满足条件的全部集合P为{3}，{1,5}，{2,4}，{1,3,5}，{2,3,4}，{1,5,2,4}，{1,2,3,4,5}，共7个．
14．集合A＝{x|(a－1)x2＋3x－2＝0}有且仅有两个子集，则a的取值为________．
答案 1或－eq \f(1,8)
解析 由集合有两个子集可知，该集合是单元素集，当a＝1时，满足题意．当a≠1时，由Δ＝9＋8(a－1)＝0可得a＝－eq \f(1,8).
15．设集合A＝{－1,1}，集合B＝{x|x2－2ax＋1＝0}，若B≠∅，B⊆A，则a等于( )
A．－1 B．0 C．1 D．±1
答案 D
解析 当B＝{－1}时，x2－2ax＋1＝0有两相等的实根－1，即a＝－1；
当B＝{1}时，x2－2ax＋1＝0有两相等的实根1，即a＝1；
当B＝{－1,1}时，不成立．
故a＝±1.
16．已知三个集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－ax＋a－1＝0}，C＝{x|x2－bx＋2＝0}，同时满足BA，C⊆A的实数a，b是否存在？若存在，求出a，b的所有值；若不存在，请说明理由．
解 A＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1,2}．
∵B＝{x|x2－ax＋a－1＝0}＝{x|(x－1)[x－(a－1)]＝0}，∴1∈B.
又BA，∴a－1＝1，即a＝2.
∵C＝{x|x2－bx＋2＝0}，且C⊆A，
∴C＝∅或{1}或{2}或{1,2}．
当C＝{1,2}时，b＝3；
当C＝{1}或{2}时，Δ＝b2－8＝0，即b＝±2eq \r(2)，此时x＝±eq \r(2)，与C＝{1}或{2}矛盾，故舍去；
当C＝∅时，Δ＝b2－8<0，即－2eq \r(2)综上可知，存在a＝2，b＝3或－2eq \r(2)符号表示
图形表示
子集
如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A是集合B的子集
A⊆B
(或B⊇A)
真子集
如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集
AB
(或BA)
集合相等
如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等
A＝B