高中数学人教A版 (2019)必修 第一册集合的基本运算习题

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第二部分：知 识 点 精 准 记 忆
知识点1：并集
一般地，由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合称为集合与集合的并集，记作 （读作：并）.记作：.
并集的性质：,,,,.
高频性质：若.
图形语言
对并集概念的理解
(1)仍是一个集合,由所有属于集合或属于集合的元素组成.
(2)并集符号语言中的“或”与生活中的“或”字含义有所不同.生活中的“或”是只取其一,并不兼存;而并集中的“或”连接的并列成分之间不一定是互斥的,“或”包括下列三种情况:①,且;②,且;③,且.可用下图所示形象地表示.
知识点2：交集
一般地，由既属于集合又属于集合的所有元素组成的集合即由集合和集合的相同元素组成的集合，称为集合与集合的交集，记作（读作：交）.记作：.
交集的性质：,,,,.
高频性质：若.
图形语言
对交集概念的理解
(1)仍是一个集合,由所有属于集合且属于集合的元素组成.
(2)对于“”,包含以下两层意思:①中的任一元素都是与的公共元素;②与的公共元素都属于,这就是文字定义中“所有”二字的含义,如,,则,而不是或或.
(3)并不是任意两个集合总有公共元素,当集合与集合没有公共元素时,不能说集合与集合没有交集,而是.
(4)当时,和同时成立.
知识点3：全集与补集
全集：在研究某些集合的时候，它们往往是某个给定集合的子集，这个给定的集合叫做全集，常用表示，全集包含所有要研究的这些集合.
补集：设是全集，是的一个子集（即）,则由中所有不属于集合的元素组成的集合，叫做中子集的补集，记作 ，即.
补集的性质： , , .
知识点4：德摩根律
(1)
(2)
知识点5：容斥原理
一般地，对任意两个有限集,
进一步的：
第三部分：课 前 自 我 评 估 测 试
1．设全集，集合，，则如图所示的阴影部分表示的集合为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
，图中阴影部分表示的集合为．
故选：A．
2．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
由题意，
故选：C
3．集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
，所以
故选：B
4．已知集合，，，则实数________．
【答案】
由题意得或，解得，经检验，当时，
故答案为：
5．设集合，，则______．
【答案】
解方程组，得或.
故答案为：．
第四部分：典 型 例 题 剖 析
重点题型一：集合的并集与交集运算
典型例题
例题1．已知集合,，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
由题可知：
所以
故选：C
例题2．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
,
则,
故选：A
例题3．已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
解：因为集合，，
所以，
故选：D.
例题4．已知集合，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
故选：B.
同类题型演练
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
，故
故选：B
2．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
由题，，故
故选：D
3．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
则
故选：C
4．已知集合，，则中元素的个数是（ ）
A．2B．3
C．4D．5
【答案】C
对于集合，
，解得：
又，，
，共个元素，
故选：C.
重点题型二：已知集合的交集、并集求参数的值或取值范围
典型例题
例题1．已知集合，，若，则=（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
由题意知：2是的一个解，
所以，则，
故.
故选：B.
例题2．设集合，，则中元素的个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
由，，
故，元素个数为3.
故选：B
例题3．已知集合，，若，则（ ）
A．1B．2C．1或2D．0或1或2
【答案】C
解：，
因为，
所以a=1或2，
故选：C．
例题4．已知集合，．
(1)若，求；
(2)若，求的取值范围．
【答案】(1)或(2)
(1)解：由题意当时得，因为，所以或，所以或．
(2)解：因为，所以，
①当时，，解得，符合题意；．
②当时，，解得．
故的取值范围为
例题5．已知集合，．
(1)当时，求A的非空真子集的个数；
(2)若，求实数的取值范围．
【答案】(1)1262)
(1)因为，，所以，A中共有7个元素，则A的非空真子集的个数为；
(2)因为，所以，
因为，故，则，解得：，从而实数的取值范围为
同类题型演练
1．设集合，，则集合中元素的个数为( )
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
由解得，即，∴，
又由得，，
∴.
故选：B．
2.已知集合，，则中元素的个数是（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】A
,
所以.所以中元素的个数是.
故选：A.
3．已知集合，或．
(1)若，求a的取值范围；
(2)若，求a的取值范围．
【答案】(1)(2)或，
(1)解：∵或，且，
∴，解得，
∴a的取值范围为；
(2)解：∵或，且，
∴，
∴或，即或，
∴a的取值范围是或.
4．已知集合，．
(1)若，求；
(2)若，求实数m的取值范围．
【答案】(1)(2)
(1)时，故.
(2)因为，故，
若即时，，符合；
若，则，解得，
综上，.
重点题型三：集合的交集、并集性质的应用
典型例题
例题1．已知集合，集合.
(1)求；
(2)若集合，且，求实数的取值范围．
【答案】(1)(2)
(1)或，或，
所以；
(2)由得，所以，解得．
例题2．已知集合，.
(1)当时，求；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)(2)
(1)，则或 ，
当时，，
；
(2)若，则，
，
实数a的取值范围为，即 .
例题3．已知集合，.
(1)若，求；
(2)若，求的取值集合.
【答案】(1)(2)或.
(1)当时，.
因为，
所以.
(2)因为，所以.
当时，解得，，符合题意；
当，即时，，符合题意；
当，即时，，
则解得.
综上，a的取值集合是或.
同类题型演练
1．已知集合，集合
(1)若集合，求实数的值；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)或(2)
(1)
若集合，则且，
将代入方程可得，
解得：或；
当时，原方程可化为，解得：或，
此时，满足，
当时，原方程可化为，解得：或，
此时，满足，
所以或；
(2)若，则，所以或或或；
当时，方程无解，所以，
解得：，
若，则方程有两个相等的实根，
所以此时无解，
若，则方程有两个相等的实根，
所以此时无解，
若，则方程有两个不相等的实根，
所以此时无解，
综上所述：实数的取值范围为.
2．已知集合，．
(1)当时，求；
(2)若，求实数m的取值范围．
【答案】(1)或(2)或
(1)当时，，
，
或
(2)，
当时，；
当时，且，解得：，
综上所述：或
3．设集合，.
（1）当时，求中各元素之和；
（2）若，求实数的取值的集合.
【答案】（1）-2；（2）.
（1），
当时，，
方程有两个不相等的实数根，，所以，
因为-1和2不是方程的根，
所以中有四个元素，各元素之和为-2；
（2）因为，所以有以下四种可能的情形：
①，则方程无解，
所以，解得；
②，则方程有两个相等的实数根，
所以，方程组无解；
（法二：）
③，则方程有两个相等的实数根，
所以，方程组无解；
（法二：）
④，则方程有两个不相等的实数根，，
所以，解得，
综上所述实数的取值的集合为.
重点题型四：补集的基本运算
典型例题
例题1．已知全集，集合，则_________.
【答案】
由题意，集合，
根据集合的补集的概念及运算，可得.
故答案为：.
例题2．已知，，则图中阴影表示的集合是（ ）
A．B．或C．D．
【答案】D
由图可知，阴影表示的集合为集合A相对于全集U的补集，
即阴影表示的集合是，所以.
故选：D
同类题型演练
1．设全集，，（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
因为全集，，
所以.
故选：C
2．已知全集，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
解：因为，所以；
故选：B
3．已知集合，则（ ）
A．B．
C．或D．或
【答案】D
由不等式，解得，即，
根据补集的概念及运算，可得或.
故选：D.
4．已知，，则___________.
【答案】或；
解：因为，，
所以或；
故答案为：或；
重点题型五：交集、并集与补集的混合运算
典型例题
例题1．已知集合，，求，，，．
【答案】或；或；；或.
∵集合，，
∴，或；
，或；
或，；
或，或.
例题2．设为全集，，，且，求的取值范围．
【答案】.
因为，
所以或，
又，，
所以只需，
即实数的取值范围为.
例题3．已知集合.
(1)在①，②，③这三个条件中选择一个条件，求；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)答案见解析(2)
(1)解：若选择①:当时，，
因为，所以.
若选择②:当时，，
因为，所以.
若选择③:当时，，
因为，所以.
(2)解：因为，
所以.
因为，所以，
当时，；
当时，，
即；
综上，.
同类题型演练
1．已知集合，或.
(1)当时，求；
(2)若，求的取值范围.
【答案】(1)(2)
(1)由题意得，或，
，故.
(2)当时，，符合题意，
当时，由，得，
故a的取值范围为．
2．已知，
（1）若时，求；
（2）若，求实数m的取值范围．
【答案】（1）；（2）或．
（1）当时，，则
即．
（2）或，由，可分以下两种情况：
①当时，，解得：
②当时，利用数轴表示集合，如图
由图可知或，解得；
综上所述，实数m的取值范围是：或，
即或
3．已知集合，集合．现有三个条件：条件①；条件②；条件③．请从上述三个条件中任选一个，补充在下面横线上，并求解下列问题：
(1)若，求；
(2)若______，求m的取值范围．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个选择的解答计分．
【答案】(1)；(2)条件选择见解析，.
(1)解不等式得：，则有，
当时，，或，
所以.
(2)选条件①，，由（1）知，，而，
于是得，解得，
所以m的取值范围是.
选条件②，，由（1）知，，而，
于是得，解得，
所以m的取值范围是.
选条件③：，由（1）知，，而，
于是得，解得，
所以m的取值范围是.
重点题型六：补集性质的应用
典型例题
例题1．已知全集，，，则图中阴影部分表示的集合是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
全集,
又因为，所以,而
所以阴影部分表示的集合是即为，
故选：B.
例题2．设全集，集合，集合
(1)当时，求；
(2)若，求的取值范围.
【答案】(1)；(2).
(1)；当时，；
，，
.
(2)，，
当时，满足；此时，解得：；
当时，，解得：；
综上所述：的取值范围为.
例题3．设集合，，．
（1）若，求的取值范围；
（2）若，求的取值范围．
【答案】（1）或（2）
（1）或，即或
当，即时，，此时不成立，舍去
当，即时，方程的两根为，
若使得成立，则需或，
即或，解得.
则成立时，或
综上所述：或.
（2）即
由（1）可知或，则，
当，即时，成立
当，即时，，若使得成立，
则需满足，即，解得（舍去）
综上所述.
同类题型演练
1．已知全集，集合，则图中阴影部分表示的集合是（ ）
B．
C． D．
【答案】C
，，
由图知：阴影部分为，而，，
∴或，即或，
故选：C
2．设，集合．
(1)若，求；
(2)若，求a的取值范围．
【答案】(1)(2)
(1)当时，，
所以.
(2)集合，所以.
可化为.
因为，
所以且.
①若，则，显然，应舍去；
②若，则，显然，应舍去；
③若，则.
又，所以
因为，所以，解得：.
综上所述：a的取值范围是.
第五部分：新 定 义 问 题
1．有限集合S中元素的个数记作，设A，B都为有限集合，下列命题中是真命题的是（ ）
A．的充要条件是
B．的充要条件是
C．的充分不必要条件是
D．的充要条件是
【答案】A
对于A项，，则集合A与集合B没有公共元素，正确；
对于B项，，则集合A中的元素都是集合B中的元素，为的必要不充分条件，错误；
对于C项，为既不充分也不必要条件，错误；
对于D项，，则集合A中的元素与集合B中的元素完全相同，两个集合的元素个数相同，并不意味着它们的元素相同，错误．
故选：A．
2．（多选）在研究集合时，经常遇到有关集合中元素的个数问题.我们把含有限个元素的集合A叫做有限集，用表示有限集合A中元素的个数，已知有限集，设集合，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则可能是
B．若，则不可能是
C．若，则可能是
D．若，则不可能是
【答案】AC
解：由题意可知，若不出现重复元素，则当时， 若，则，，从而，故A正确；
若，则，，从而，故B错误；
若不出现重复元素，则当时，若，则，，从而，故C错误；
若，则，，从而，故D错误.
故选：AC.
3．（多选）中国古代重要的数学著作《孙子算经》下卷有题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二问：物几何?”现有如下表示：已知，，，若，则下列选项中符合题意的整数为（ ）
A．8B．128C．37D．23
【答案】BD
对于A，因，则，选项A错误；
对于B，，即；又，即；而，即，因此，，选项B正确；
对于C，因，则，选项C错误；
对于D，，即；又，即；而，即，因此，，选项D正确.
故选：BD
4．（多选）由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数史称戴德金分割，并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机所谓戴德金分割，是指将有理数集Q划分为两个非空的子集M与N，且满足，，M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称为戴德金分割试判断，对于任一戴德金分割，下列选项中，可能成立的是（ ）
A．M没有最大元素，N有一个最小元素
B．M没有最大元素，N也没有最小元素
C．M有一个最大元素，N有一个最小元素
D．M有一个最大元素，N没有最小元素
【答案】ABD
令，，显然集合M中没有最大元素，集合N中有一个最小元素，即选项A可能；
令，，显然集合M中没有最大元素，集合N中也没有最小元素，即选项B可能；
假设答案C可能，即集合M、N中存在两个相邻的有理数，显然这是不可能的；
令，，显然集合M中有一个最大元素，集合N中没有最小元素，即选项D可能.
故选：ABD．
5．定义两种新运算“⊕”与“⊗”，满足如下运算法则：对任意的a，，有，．设全集且，且、．
(1)求集合U和A；
(2)集合A、B是否能满足？若能，求出实数m的取值范围；若不能，请说明理由．
【答案】(1)答案见解析
(2)能；
(1)全集U中
，
当时，或，此时或；
当时，，此时，所以，
由A中，
当时，，此时，即；
(2)因为，当时，或，
当时，方程无实根，，解得；
时，方程有二等实根为，，此时m的值不存在；
综上知，实数m的取值范围是．
第六部分：高 考 （模 拟） 题 体 验
1．设集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
，
故选：D.
2．（2022·北京·高考真题）已知全集，集合，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
由补集定义可知：或，即，
故选：D．
3．若集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
，故，
故选：D
4．设全集，集合M满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
由题知,对比选项知，正确,错误
故选:
5．）设全集，集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
由题意，，所以,
所以.
故选：D.
6．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
，故，
故选：B.
1.3集合的基本运算（精练）
A夯实基础
一、单选题
1．已知集合，集合 ，则集合 （ ）
A．{0，2，3}B．{1，2，3}C．{2，4}D．{2，3}
【答案】D
对于不等式 ，其解集为 ，即 ，
根据交集的定义： ，
故选：D.
2．设集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
由题意，集合，，
根据集合并集的概念及运算，可得.
故选：A.
3．已知全集，集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
解：因为全集，集合，，
则，，故.
故选：B.
4．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
解：因为，所以，解得，所以，又，所以，
故选：D.
5．如图，已知全集和集合，，则图中阴影部分表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
根据图中阴影部分的元素属于集合，且属于集合，但不属于集合
对于选项，表达的是属于集合或集合，且不属于集合，故错误；
对于选项，符合阴影部分表达的含义；
对于选项，表达的是集合、、的交集，故错误；
对于选项，属于集合，但是不属于集合，故错误.
故选：
6．设集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
由，解得，所以，
由，解得，所以，
所以.
故选：D.
7．已知集合，，若，则实数a满足（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
因为，所以，当时，，即，满足题意；
当时，若，则或4，当时，，满足题意；当时，，满足题意；
若，则-2,2是方程的两根，显然，故不合题意，
综上：实数a满足.
故选：D
8．已知集合，，若，且中恰好有两个整数解，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
，
由题设有，故，
其中为方程的两个根，所以，故，
而有两个整数解，且，故进一步有，
所以，故，
故选：C
二、多选题
9．对于集合A，B，定义，．设，，则中可能含有下列元素（ ）．
A．5B．6C．7D．8
【答案】CD
解：因为，，所以，
∴．
故选：CD
10．某校举办运动会，高一的两个班共有120名同学，已知参加跑步､拔河､篮球比赛的人数分别为58，38，52，同时参加跑步和拔河比赛的人数为18，同时参加拔河和篮球比赛的人数为16，同时参加跑步､拔河､篮球三项比赛的人数为12，三项比赛都不参加的人数为20，则（ ）
A．同时参加跑步和篮球比赛的人数为24
B．只参加跑步比赛的人数为26
C．只参加拔河比赛的人数为16
D．只参加篮球比赛的人数为22
【答案】BCD
设同时参加跑步和篮球比赛的人数为，由Venn图可得，，得，则只参加跑步比赛的人数为，只参加拔河比赛的人数为，只参加篮球比赛的人数为.
故选：BCD．
三、填空题
11．设非空数集同时满足条件：①中不含元素；②若，则，则下列结论不正确的个数是__________个.
（1）集合中至多有2个元素；
（2）集合中至少有4个元素；
（3）集合中有且仅有4个元素；
（4）集合中至多有4个元素.
【答案】3
因为若，则，所以，，
则；
当时，4个元素中，任意两个元素都不相等，
所以集合M中至少有4个元素．
故可判断出（1）错误，（2）正确，（3）错误，（4）错误，
故答案为：3.
12．已知、，若不等式的解集为，不等式的解集为，则______．
【答案】或
由题意可知，关于的方程的两根分别为、，所以，解得，
不等式即为，即，解得，则，
因为，则或，因此，或.
故答案为：或.
四、解答题
13．设全集，集合，，．
(1)求；
(2)若，求实数的取值范围．
【答案】(1)(2)
(1)或，故．
(2)，因为，故．
14．已知全集，集合，.
(1)当时，求A∩B与A∪B；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)，；(2)．
(1)当时，，而，
所以，．
(2)因为，而，所以，
当即时，，显然符合；
当时，，要，所以或，解得：．
综上，实数的取值范围为．
15．已知集合，.
(1)当时，求集合；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)(2)
(1)由题意得，集合，
当时，，
所以或，所以.
(2)由，可得，
①当时，可得，解得：；
②当时，则满足，解得：，
综上所述：实数的取值范围是.
B能力提升
1．设全集U，有以下四个关系式：
甲：A∩B＝A；乙：A∪B＝B；丙：；丁：．
如果有且只有一个不成立，则该式是（ ）
A．甲B．乙
C．丙D．丁
【答案】C
由题意，甲：A∩B＝A
乙：A∪B＝B
丙：
丁：
由于甲、乙、丁是等价的，故如果有且只有一个不成立，则该式是丙
故选：C
2．全集U=R，，，则下图中阴影部分表示的集合是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
解：由题得，
图中阴影部分表示的集合为.
故选：A
3．（多选）已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
解：因为，，
所以，A正确；
，B错误；
因为，，所以，C错误；
所以，D正确.
故选：AD.
4．（多选）已知全集，集合，，则使成立的实数的取值范围可以是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
当时，，即，此时，符合题意，
当时，，即，
由可得或，
因为，所以或，可得或，
因为，所以，
所以实数的取值范围为或，
所以选项ABC正确，选项D不正确；
故选：ABC.
5．已知全集，集合，集合.
(1)若，求和；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)，(2)
(1)解：由已知，
所以
当时，，
所以，
(2)若，则
当时，，适合题意
故，从而
∵（当且仅当时取等号）
∴，∴
由得，解之得且
综上所述，的取值范围为
6．设全集为，，．
(1)若，求，；
(2)请在①，②，③三个条件中，任选其中一个作为条件，并求在该条件下实数的取值范围．（若多个选择，只对第一个选择给分．）
【答案】(1)；；(2)答案见解析
(1)当时，，而，
所以，；
(2)若选①，因为，．当时，
1.当时，，即，此时满足；
2.当时，满足，即需满足或
解得或
综上所述：实数的取值范围为.
若选②，因为，．当时，
1. 当时，，即，此时满足；
2. 当时，满足，即需满足，解得，
综上所述，实数的取值范围为；
若选③，因为，．当时，
需满足，解得.
综上所述：实数的取值范围为.
7．学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，同时参加由径和球类比赛的有___________人?只参加游泳一项比赛的有___________人?
【答案】 3 9
解：如图所示：
设A={游泳}，B={田径}，C={球类}，
由题意得：，
，
所以，
则，
，
所以，
所以参加由径和球类比赛的有3人，只参加游泳一项比赛的有9人，
故答案为：3，9
8．设集合，，若，则___________；___________.
【答案】 1 1
由题意，集合
由于，即或
故，否则
故集合或
故
解得
故答案为：1，1
C综合素养
1．规定：在整数集中，被7除所得余数为k的所有整数组成一个“家族”，记为，即，，给出如下四个结论：①；②；③若整数a，b属于同一“家族”，则；④若，则整数a，b属于同一“家族”．其中，正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
对于①：因为，所以，故①正确；
对于②：因为，所以，故②错误；
对于③：若a与b属于同一“家族”，则，，（其中），故③正确；
对于④：若，设，，即，，不妨令，，，则，，，所以a与b属于同一“家族”，故④正确；即①③④为正确结论．
故选：C．
2．已知集合，集合A1，A2，A3满足：①每个集合都恰有5个元素；②．集合Ai中元素的最大值与最小值之和称为集合Ai的特征数，记为，则的最大值与最小值的和为（ ）
A．56B．72C．87D．96
【答案】D
由题意集合，
当时，取得最小值，；
当时，取得最大值，；的最大值与最小值的和为：.
故选：D.
3．对于集合A，定义了一种运算“”，使得集合A中的元素间满足条件：如果存在元素，使得对任意，都有，则称元素e是集合A对运算“”的单位元素.例如：，运算“”为普通乘法：存在，使得对任意都有，所以元素1是集合R对普通乘法的单位元素.下面给出三个集合及相应的运算“”：①，运算“”为普通减法；②，运算“”为普通加法；③（其中M是任意非空集合，运算“”为求两个集合的交集.（ ）
A．①②B．①③C．①②③D．②③
【答案】D
解：①若，运算“”为普通减法，而普通减法不满足交换律，故没有单位元素；
②，运算“”为普通加法，其单位元素为0；
③（其中是任意非空集合），运算“”为求两个集合的交集，
其单位元素为集合．
故选：D．
4．高二一班共有学生50人，每名学生要从物理、化学、生物、历史、地理、政治这六门课程中选择三门课程进行学习.已知选择物理、化学、生物的学生各有至少20人，这三门课程都不选的有10人，这三门课程都选的有10人，在这三门课程中选择任意两门课程的都至少有13人，物理、化学只选一科的学生都至少6人，那么选择物理和化学这两门课程的学生人数至多（ ）
A．16B．17C．18D．19
【答案】C
把学生50人看出一个集合，选择物理科的人数组成为集合，
选择化学科的人数组成集合，选择生物颗的人数组成集合，
要使选择物理和化学这两门课程的学生人数最多，
除这三门课程都不选的有10人，这三门课程都选的有10人，
则其它个选择人数均为最少，即得到单选物理的最少6人，
单选化学的最少6人，单选化学、生物的最少3人，
单选物理、生物的最少3人，单选生物的最少4人，
以上人数最少42人，可作出如下图所示的韦恩图，
所以单选物理、化学的人数至多8人，
所以至多选择选择物理和化学这两门课程的学生人数至多人.
故选：C.
5．我们将称为集合的“长度”．若集合，，且，都是集合的子集，则集合的“长度”的最小值为______．
【答案】2021
由题意得，的“长度”为2022，的“长度”为2023，
要使的“长度”最小，则，分别在的两端．
当，时，得，，
则，此时集合的“长度”为；
当，时，，，
则，此时集合的“长度”为．
故的“长度”的最小值为2021．
故答案为：
6．在整数集Z中，被整数t除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，如，则有下列结论：①；
②；
③整数、满足且的充要条件是；
④．
则其中正确的为___________.
【答案】①④##④①
解：对于①，若，则，，
若，则，故，
若，则，故，
是的子集，
若，则或，
若，则，若，则，
，故是的子集，
，故①正确；
对于②，，而且，，故②错误；
对于③，，，而，，
整数、满足且不是的必要条件，故③错误；
对于④，若，则，
，且，，1故④正确．
故答案为：①④