高中数学人教A版 (2019)必修 第一册1.2 集合间的基本关系导学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册1.2 集合间的基本关系导学案，文件包含12《集合间的基本关系》导学案教师版docx、12《集合间的基本关系》导学案学生版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共7页， 欢迎下载使用。

一．学习目标
理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集（重点）
在具体情境中,了解空集的含义（难点）
能使用Venn图表达集合的基本关系,体会图形对理解抽象概念的作用
二．自主预习（基础部分和要点部分：预习内容和预习题）
学生阅读课本，预习集合间的基本关系
三．课堂导学
在北京举行的第二十四届冬季奥林匹克运动会上,各国参赛运动员组成集合A,中国参赛运动员组成集合B.
问题： (1)集合B中的元素与集合A中的元素的关系是怎样的?
(2)集合B与集合A又存在着什么关系?
知识点一 子集
1.Venn图
用平面上 封闭曲线 的内部代表集合,这种图称为Venn图.
2.子集
3.集合相等
一般地,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素,那么集合A与集合B相等,记作 A＝B .
也就是说,若A⊆B,且B⊆A,则 A＝B .
知识点二 真子集
知识点三 空集
⌀,{0},0三者有什么关系?
提示:⌀是不含任何元素的集合,{0}是含有一个元素0的集合,0∈{0},0∉⌀,⌀⫋{0}.
1.已知集合M＝{x｜x2-1＝0},N＝{-1,0,1},则M与N的关系是( )
A.M⫋N B.M＜N C.N＜M D.M⫌N
解析:A 由题意,M＝{1,-1},N＝{-1,0,1},故集合M⫋N.
2.下列四个集合中,是空集的为( )
A.{0} B.{x｜x＞8,且x＜5} C.{x∈N｜x2-1＝0} D.{x｜x＞4}
解析:B 满足x＞8且x＜5的实数不存在,故{x｜x＞8,且x＜5}＝⌀.
3.若A＝{1,a,0},B＝{-1,b,1},且A＝B,则a＝ ,b＝ .
解析:由两个集合相等的定义知a＝-1,b＝0. 答案:-1 0
四．典例分析、举一反三
题型一 集合间关系的判断
【例1】 判断下列集合的关系:
(1)A＝{1,2,3},B＝{x｜(x-1)(x-2)(x-3)＝0};
(2)A＝{x｜-1＜x＜4},B＝{x｜x-5＜0};
(3)A＝{x｜x是文学作品},B＝{x｜x是散文},C＝{x｜x是叙事散文}.
解 (1)B＝{x｜(x-1)(x-2)(x-3)＝0}＝{1,2,3}＝A.
(2)集合B＝{x｜x＜5},用数轴表示集合A,B如图所示,由图可知A⫋B.
(3)画出Venn图,可知C⫋B⫋A.
练1-1. 判断下列两个集合之间的关系:
(1)A＝{1,2,4},B＝{x｜x是8的约数}; (2)A＝{x｜0＜x＜2},B＝{x｜-1＜x≤3};
(3)A＝{x｜x＝2k＋1,k∈Z},B＝{x｜x＝2k-1,k∈Z}.
解:(1)∵A＝{1,2,4},B＝{1,2,4,8},如图,
∴A⫋B.
(2)∵A＝{x｜0＜x＜2},B＝{x｜-1＜x≤3},
用数轴表示如下:
∴A⫋B.
(3)法一:任取x0∈A,则x0＝2k0＋1,k0∈Z.
又∵x0＝2(k0＋1)-1,k0∈Z,∴k0＋1∈Z,∴x0∈B,则A⊆B.同理可得,B⊆A.由A⊆B,B⊆A,得A＝B.
法二:集合A＝{…,-5,-3,-1,1,3,5,7,…},集合B＝{…,-7,-5,-3,-1,1,3,5,…},根据规律可知集合A与B所含元素相同,∴A＝B.
题型二 子集、真子集个数问题
【例2】已知集合M＝{0,1},N＝{-1,0,1}.
(1)写出集合M的子集、真子集;
(2)求集合N的子集数、真子集数和非空真子集数.
解 (1)M的子集为⌀,{0},{1},{0,1};其中真子集为⌀,{0},{1}.
(2)N的子集为⌀,{-1},{0},{1},{-1,0},{-1,1},{0,1},{-1,0,1}.
所以N的子集数为8,真子集数为7,非空真子集数为6.
练2-1. 写出满足{3,4}⫋P⊆{0,1,2,3,4}的所有集合P.
解:由题意知,集合P中一定含有元素3,4,并且是至少含有三个元素的集合,因此所有满足题意的集合P有{0,3,4},{1,3,4},{2,3,4},{0,1,3,4},{0,2,3,4},{1,2,3,4},{0,1,2,3,4}.
题型三 由集合间的关系求参数(范围)
【例3】已知集合A＝{x｜-3≤x≤4},B＝{x｜1＜x＜m,m＞1},且B⊆A,则实数m的取值范围是 .
解析 由于B⊆A,结合数轴分析可知,m≤4, 又m＞1,所以1＜m≤4.
答案 1＜m≤4
(变条件)本例若将“B＝{x｜1＜x＜m,m＞1}”改为“B＝{x｜1＜x＜m}”,其他条件不变,则实数m的取值范围又是什么?
解:若m≤1,则B＝⌀,满足B⊆A.若m＞1,则由例题解析可知1＜m≤4.综上可知m≤4.
练3-1. 已知A＝{x｜x＜3},B＝{x｜x＜a}.
(1)若B⊆A,求a的取值范围; (2)若A⊆B,求a的取值范围.
解:(1)因为B⊆A,B是A的子集,由图①得a≤3.
(2)因为A⊆B,A是B的子集,由图②得a≥3.
五、课堂小结
（1）两个集合间的基本关系只有“包含”与“相等”两种，可类比两个实数间的大小关系，特别要注意区别“属于”与“包含”两种关系及其表示方法.
（2）了解子集与真子集的区别于联系，注意空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
（3）涉及时，不要忘记讨论 为空集的情况。
（4）类比方法，分类讨论与数形结合思想。
六、当堂检测
1.下列结论中,正确的个数为( )
①{1}∈{0,1,2}; ②{1,-3}＝{-3,1}; ③{0,1,2}⊆{1,0,2}; ④⌀∈{0,1,2}.
A.0 B.2 C.3 D.4
解析:B ①应是{1}⊆{0,1,2};对于②,集合中的元素有无序性,故②正确;③任何集合都是本身的子集,故{0,1,2}⊆{1,0,2},正确;④应是⌀⊆{0,1,2};故正确的有②③.
2.已知集合A＝{x｜-1＜x＜6},B＝{x｜2＜x＜3},则( )
A.A∈B B.A⫋B C.A＝B D.B⫋A
解析:D 集合A＝{x｜-1＜x＜6},B＝{x｜2＜x＜3},A,B两个数集之间应是包含关系不是属于关系,故选项A不正确.由条件可得B⊆A,且A≠B,所以选项B、C错误,选项D正确.故选D.
3.已知集合A＝{0,1},则集合A的真子集有( )
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
解析:A 根据有n个元素的集合的真子集有(2n-1)个,集合A中有2个元素,得其真子集个数为22-1＝3
4.已知集合A＝{x｜x＞4},非空集合B＝{x｜2a≤x≤a＋3},若B⊆A,求实数a的取值范围.
解:因为B≠⌀,根据题意作出如图所示的数轴,
则a+3≥2a,2a>4,解得2＜a≤3.
所以实数a的取值范围为{a｜2＜a≤3}.
七．课后作业
八、问题日清（学生填写，老师辅导解答）
1.
2.
学生签字 老师签字定义
一般地,对于两个集合A,B,如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素,就称集合A为集合B的 子集
记法与
读法
记作 A⊆B (或B⊇A),读作“ A包含于B ”(或“B包含A”)
图示
结论
(1)任何一个集合是它本身的子集,即 A⊆A ;
(2)对于集合A,B,C,如果A⊆B,且B⊆C,那么 A⊆C
定义
如果集合A⊆B,但存在元素x∈B,且x∉A,就称集合A是集合B的真子集
记法与读法
记作A⫋B(或B⫌A),读作“A真包含于B”(或“B真包含A”)
图示
结论
(1)若A⫋B且B⫋C,则A⫋C;
(2)若A⊆B且A≠B,则A⫋B
定义
我们把 不含任何元素 的集合叫做空集
记法
⌀
规定
空集是任何集合的 子集 ,即⌀⊆A
特性
空集只有一个子集,即它的本身,⌀⊆⌀;若A≠⌀,则⌀ ⫋ A