人教A版 (2019)必修 第一册充分条件与必要条件综合训练题

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第二部分：知 识 点 精 准 记 忆
知识点1：充分条件与必要条件
一般地,“若,则”为真命题,就说是的充分条件,是的必要条件.记作：
在逻辑推理中“”的几种说法
(1)“如果,那么”为真命题.
(2)是的充分条件.
(3)是的必要条件.
(4)的必要条件是.
(5)的充分条件是.
这五种说法表示的逻辑关系是一样的,说法不同而已.
知识点2：充分条件、必要条件与充要条件的概念
（1）若，则是的充分条件，是的必要条件；
（2）若且，则是的充分不必要条件；
（3）若且，则是的必要不充分条件；
（4） 若，则是的充要条件；
（5）若且，则是的既不充分也不必要条件.
知识点3：从集合的角度理解充分与必要条件
若以集合的形式出现，以集合的形式出现，即：，：，则
（1）若，则是的充分条件；
（2）若，则是的必要条件；
（3）若，则是的充分不必要条件；
（4）若，则是的必要不充分条件；
（5）若，则是的充要条件；
（6）若且，则是的既不充分也不必要条件.
知识点4：充分性必要性高考高频考点结构
（1）是的充分不必要条件且（注意标志性词：“是”，此时与正常顺序）
（2）的充分不必要条件是且（注意标志性词：“的”，此时与倒装顺序）
第三部分：课 前 自 我 评 估 测 试
1．判断正误．
（1）“两角不相等”是“两角不是对顶角”的必要条件．( )
（2）若p是q的充分条件，则p是唯一的．( )
（3）若q不是p的必要条件，则“”成立．( )
（4）“”是“”的充分条件．( )
【答案】 × × √ ×
（1）“两角不相等”推出“两角不是对顶角”，反之不能推出，
所以“两角不相等”是“两角不是对顶角”的充分条件，故错误；
（2）p是q的充分条件，p不是唯一的；比如p: ,q: .
若 p: 也行，故不是唯一的，故错误；
（3）根据必要条件的概念可知正确；
（4）“”是“”的必要条件，故错误.
2．设p：一元二次方程有实数根，，则p是q的___________条件．
【答案】充要
由题可知：一元二次方程有实数根，则
若，则一元二次方程有实数根
所以p是q的充要条件
故答案为：充要
3．设集合，那么“”是“”的___________条件．（填“充分”“必要”）
【答案】必要
由题可知：，所以“”是“”的必要条件
故答案为：必要
4．若集合，则“”是“”的___________条件．（填“充分”“必要”）
【答案】充分
若，所以
所以“”可以推出“”，反之不行
故“”是“”的充分条件
故答案为：充分
5．“或”的一个必要条件是( )
A． B．
C．或 D．或
【答案】C
依据题意，只需要“或”的所有元素都在所求的范围里即可.
所以A、B、D错，C对
故选：C
第四部分：典 型 例 题 剖 析
重点题型一：充分条件、必要条件的判断
典型例题
例题1．已知：，：，则是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】
q：x2＋x－2＞0x＜－2或x＞1，令，或，
因为是的真子集，故p是q的充分不必要条件，
故选：A．
例题2．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
由题意知，
，解得或，
又或，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
例题3．“”是“或”的______条件（填“充分”“必要”或“充要”）．
【答案】充要
解：“”即：“或”.
所以“”是“或”的充要条件.
故答案为：充要
例题4．“、为正实数”是“”的__________.（充分而不必要条件，必要而不充分条件，充分必要条件，既不充分也不必要条件）
【答案】既不充分也不必要条件
若、为正实数，不妨取，则，即“、为正实数”“”；
若，不妨取，，则满足，但、不全为正数，
即“、为正实数”“”.
因此，“、为正实数”是“”的既不充分也不必要条件.
故答案为：既不充分也不必要条件.
同类题型演练
1．已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件
【答案】A
对于不等式，可解得或.
所以可以推出，而不可以推出.
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
2．设，则“”是“”成立的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
，解得：，
，解得：，
因为，而，
所以“”是“”成立的必要不充分条件.
故选：B
3．“”可作为下列结论______的充要条件．
①；②；③或；④或．
【答案】③
由“”可推得或，反之也成立．
所以“”是③的充要条件．
故答案为：③
重点题型二：充分条件与必要条件的应用
典型例题
例题1．已知，，若是成立的充分不必要条件，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
解不等式可得，
因为是成立的充分不必要条件，则不等式在上恒成立，
所以，，解得，
当时，二次不等式为，解得，合乎题意.
故.
故选：B.
例题2．已知，若是的必要而不充分条件，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
，对应的集合为，
由是的必要而不充分条件，得，而，
设不等式的解集为，则，
，即，的取值范围是.
故选：C.
例题3．已知命题，命题.若是的充要条件，则的值是________.
【答案】
解不等式，即，解得，
由于是的充要条件，则不等式的解集为，
是关于的方程的一根，则，解得.
故答案为：.
同类题型演练
1．已知：，：，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
解：由得，解得，所以：；
由得，解得，所以：，
又因为是的充分不必要条件，所以，则实数的取值范围是，
故选：B.
2．已知，p：，q：，若p是q成立的充分不必要条件，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
由p：，设
设满足q：的集合为
由p是q成立的充分不必要条件,则集合是集合的真子集
所以，解得
当时，，此时不满足条件
所以
故选：B
3．已知：，：，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
∵且或，，又是的必要不充分条件，∴，∴，
故选：D.
4．已知命题，且是的必要不充分条件，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
解：命题，即: ，
是的必要不充分条件，
，
，解得．实数的取值范围为．
故选：．
5．已知,其中.若q是p的必要不充分条件，则实数m的取值范围____.
【答案】
p：，
所以不等式的解集为，
q：，其中，
解得，不等式的解集为.
由q是p的必要不充分条件，
则且，
所以，
则且等号不同时成立，解得.
故答案为：.
6．设：实数满足，：实数满足.当时，若是的必要条件，则实数的取值范围是___________.
【答案】
由得，
解得，，
即，
因为，由得，
即，
若是的必要条件，则，
所以，
所以，即.
故答案为：.
重点题型三：充分条件与必要条件（“是”，“的”）结构对比
角度1：“是”标志词
典型例题
例题1．设集合，集合，那么“”是“”的（ ）
A．充分条件 B．必要条件
C．既是充分条件也是必要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】D
∵集合，集合，
∴由“”推不出“”，反之由“”推不出“”，
故“”是“”的既不充分又不必要条件.
故选：D.
例题2．已知，，若是的必要条件，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C． D．
【答案】B
因为P是Q的必要条件，
∴，又，，
∴，解得.
故选：B.
例题3．设：；：．若是的充分条件，则实数的取值范围为______．
【答案】
令所对集合为：，所对集合为：，
因是的充分条件，则必有，
于是得，解得，
所以实数m的取值范围为.
故答案为：
同类题型演练
1．若a，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】D
若，当时，，当时，；
又当时，两边除以b，得，当且时，两边除以b，得.
故“”是“”的既不充分也不必要条件.
故选：D
2．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要的条件
【答案】A
，则，其中，但，
故是的充分不必要条件.
故选：A
3．已知集合，或，若“”是“”的必要条件，则实数a的取值范围是___________．
【答案】或
∵“”是”的必要条件，∴，
当时，，则；
当时，根据题意作出如图所示的数轴，

由图可知或，解得或，
综上可得，实数a的取值范围为或．
6．已知条件，，p是q的充分条件，则实数k的取值范围是_______．
【答案】
记，，
因为p是q的充分条件，所以.
当时，，即，符合题意；
当时，，由可得，所以，即.
综上所述，实数的k的取值范围是．
故答案为：．
7．若“”是“”的充要条件，则实数m的取值是_________．
【答案】0
，
则{x|}＝{x|}，
即.
故答案为：0.
角度2：“的”标志词
典型例题
例题1．已知p：，那么的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
对于A，，且，即是p的不充分不必要条件，A不是；
对于B，，且，即是p的不充分不必要条件，B不是；
对于C，，即是p的一个充分不必要条件，C是；
对于D，，即是p的必要不充分条件，D不是.
故选：C
例题2．写出的一个必要不充分条件_____
【答案】（答案不唯一）
，
，所以满足题意
故答案为：
例题3．若不等式的一个充分条件为，则实数的取值范围是___________.
【答案】
由不等式，
当时，不等式的解集为空集，显然不成立；
当时，不等式，可得，
要使得不等式的一个充分条件为，则满足，
所以，即
∴实数a的取值范围是.
故答案为：.
同类题型演练
1．使“0＜x＜4”成立的一个必要不充分条件是（ ）
A．B．或
C．D．
【答案】A
设p: 0＜x＜4，所求的命题为q，则原表述可以改写为q是p的必要不充分条件，即q推不出p，但p⇒q.，显然由: 0＜x＜4，能推出x＞0，推不出x＜0或x＞4、0＜x＜3、
x＜0，
故选：A
2．“”成立的一个必要不充分条件的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
因为，所以A为“”成立的充要条件；B为“”成立的充分不必要条件；C为“”成立的既不充分也不必要条件；D为“”成立的必要不充分条件．
故选：D
3．“，”的一个必要条件为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
对于A，因，，则，即是“，”的必要条件，A正确；
对于B，当，时，不可能成立，B不正确；
对于C，当，时，不一定成立，如满足条件，而，C不正确；
对于D，当，时，必有成立，即不能推出，D不正确.
故选：A
4．写出的一个必要不充分条件_____．
【答案】（答案不唯一）
⫋，所以“”是不等式“”成立的一个必要不充分条件.故答案为：.
5．写出一个使不等式成立的充分不必要条件为_______________________.
【答案】或，答案不唯一
不等式的解集为，
所以使不等式成立的充分不必要条件只要是的真子集即可，所以（或）等等，答案不唯一.
故答案为：或，答案不唯一
第五部分：新 文 化 题
1．王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其《从军行》传诵至今"青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还"，由此推断，最后一句“不返家乡"是“不破楼兰"的（ ）
A．必要条件B．充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要
【答案】A
由题意知，“不破楼兰”则可推得“不返家乡”，即必要条件成立，
反之“不返家乡”不一定是“不破楼兰”，即充分条件不成立，
故“不返家乡"是“不破楼兰"的必要不充分条件.
故选：A.
2．《墨经》上说：“小故，有之不必然，无之必不然体也，若有端.大故，有之必然，若见之成见也.”则“有之必然”表述的数学关系一定是（ ）
A．充分条件B．必要条件
C．既不充分也不必要条件D．不能确定
【答案】A
由“小故，有之不必然，无之必不然体也，若有端.大故，有之必然，若见之成见也”
知“大故”必然有其原因，有其原因必然会发生，
所以“有之必然”所表述的数学关系一定是充分条件.
故选：A.
3．唐代诗人杜牧的七绝唐诗中的两句诗为“今来海上升高望，不到蓬莱不成仙．”其中后一句“成仙”是“到蓬莱”的
A．充分非必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件
【答案】A
不到蓬莱不成仙，成仙到蓬莱，“成仙”是到“到蓬莱”的充分条件，但“到蓬莱”是否“成仙”不确定，因此“成仙”是“到蓬莱”的充分非必要条件．
故选A
4．毛泽东同志在《清平乐●六盘山》中的两句诗为“不到长城非好汉，屈指行程二万”，假设诗句的前一句为真命题，则“到长城”是“好汉”的__________条件（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”）
【答案】必要不充分
“好汉”“到长城”， “到长城”“好汉”，
所以“到长城”是“好汉”的必要不充分条件.
故答案为：必要不充分
第六部分：高 考 （模 拟） 题 体 验
1．设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
时，，故充分性成立，
，解得：或，故必要性不成立，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
2．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】D
因为，或，
所以是的既不充分也不必要的条件．
故选：D．
3．已知，则“”是“”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
解不等式,可得或
则由充分必要条件的判定可知“”是“”的充分不必要条件
故选:A
4．设，则“”是“”的
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
化简不等式，可知 推不出；
由能推出，
故“”是“”的必要不充分条件，
故选B．
5．已知，且“”是“”的充分不必要条件，则a的取值范围是___________.
【答案】
等价于或，
而且“”是“”的充分不必要条件，则．
故答案为：．
6．若“”是“”的必要不充分条件，则a的值可以是___________．（写出满足条件a的一个值即可）
【答案】(答案不唯一，满足即可)
因为“”是“”的必要不充分条件，
所以.
故答案为：(答案不唯一，满足即可).
1.4充分条件与必要条件（精练）
A夯实基础 B能力提升 C综合素养
A夯实基础
一、单选题
1．荀子曰：“故不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”这句来自先秦时期的名言阐述了做事情不一点一点积累，就永远无法达成目标的哲理．由此可得，“积跬步”是“至千里”的（ ）
A．充分条件B．必要条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
根据“做事情不一点一点积累，就永远无法达成目标”，即要达成目标必须一点一点积累，
所以 “积跬步”是“至千里”的必要条件.
故选：B
2．已知命题p：，命题q：或，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
因为，
所以p是q的充分不必要条件.
故选：A
3．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
解：由“”不能推出“ “，但是由“ “能推出“”，
故“”是“”的必要不充分条件．
故选：．
4．使成立的一个充分条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
根据充分条件的定义，由可以得出，B正确；
若，取，无法得到，A错误；
C显然错误；
若，取，无法得到，D错误.
故选：B.
5．若“”是“”的充分不必要条件，则实数m的值为（ ）
A．1B．C．或1D．或
【答案】B
把代入，得：，解得：或.
当时，可化为：，解得：，此时“”是“”的充要条件，应舍去；
当时，可化为：，解得：或，此时“”是“”的充分不必要条件.
故.
故选：B
6．若关于x的不等式成立的充分条件是，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
成立的充分条件是，则，
，所以.
故选：D
7．已知：关于的方程的解集至多有个子集；
：，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．或
【答案】A
因为是的必要不充分条件，所以是的充分不必要条件，
对于，依题意，知，
所以，
设，，
由题意知，所以，解得，经检验满足题意
故选：A.
8．下列选项中，是“是集合的真子集”成立的必要不充分条件的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
若“是集合的真子集”
所以，
所以方程有实数解，
当时，由可得，符合题意，
当时，由可得，
所以且，
综上所述：的充要条件为；
即“是集合的真子集”成立充要条件为；
所选集合是的必要不充分条件，则应是所选集合的真子集，
由选项判断A，B，C都不正确，选项D正确；
故选：D.
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．“”是“”的必要不充分条件
B．“且”是“”的充分不必要条件
C．当时，“”是“方程有解”的充要条件
D．若P是q的充分不必要条件，则q是p的必要不充分条件
【答案】ABD
对A，由得到x=0或x=2.所以由可以得到，反之，若x=0，满足成立，但显然得不到.所以A正确；
对B，由且显然可以得到，但若，满足，但不满足且.所以B正确；
对C，时，方程有解.所以由得不到方程有解，反之方程有解，也无法得到.所以C错误.
对D，若p是q的充分不必要条件，则q是p的必要不充分条件.所以D正确.
故选：ABD.
10．若“”是“”的必要不充分条件，则实数的值可以是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】AB
由解得：.
因为“”是“”的必要不充分条件，
所以只需，
对照四个选项，a可以取1，2.
故选：AB
三、填空题
11．已知集合，，若成立的一个充分条件是，则实数m的取值范围是________．
【答案】
因为成立的一个充分条件是，所以，
所以，解得.
故答案为：
12．关于的不等式的解集为的充要条件是________．
【答案】
由题意知恒成立．
因为，所以 .
故答案为：.
四、解答题
13．已知集合或，集合
(1)若，且，求实数的取值范围．
(2)已知集合，若是的必要不充分条件，判断实数是否存在，若存在求的范围
【答案】(1)；(2)存在，.
(1)由题设，又，
当时，，可得.
当时，，可得.
综上，a的范围.
(2)由题意，而，
所以，结合（1）有(等号不同时成立)，可得.
故存在实数且.
14．已知命题P：方程没有实数根．
(1)若P是真命题，求实数t的取值集合A；
(2)集合，若是的必要条件，求a的取值范围．
【答案】(1)(2)
(1)若P是真命题，则，解得，则．
(2)因为是的必要条件，所以，
当时，由，得，此时，符合题意；
当时，则有，解之得，
综上所述，a的取值范围为．
B能力提升
1．若不等式成立的充分条件为，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
解：不等式成立的充分条件是，
设不等式的解集为A，则，
当时，，不满足要求；
当时，，
若，则，解得.
故选：A.
2．若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
解不等式可得.
因为“”是“”的充分不必要条件，则，
由题意可得，解得.
因此，实数的取值范围是.
故选：A.
3．已知，那么命题p的一个必要条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
，运用集合的知识易知，
A中是p的充要条件；
B中是p的必要条件；
C中是p的充分条件；
D中是p的既不充分也不必要条件.
故选：B.
4．已知“”是“”的充分不必要条件，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
因为，所以或，
所以解集为，
又因为“”是“”的充分不必要条件，
所以是的真子集，所以，
故选：C.
5．已知，，若p是q的必要不充分条件，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
由，得，所以，
由，得，所以，
若p是q的必要不充分条件，所以是的真子集，
所以，解得.
故选：B
6．已知， ，若成立的一个必要不充分条件是，则实数m的取值范围是_______________.
【答案】
因为成立的一个必要不充分条件是，所以推不出，且可推出，故集合B是集合A的真子集.
当时即，集合A的真子集，符合题意；
当时即，要使集合B是集合A的真子集，则需，即，故；
综上，实数m的取值范围是.
故答案为：.
7．已知，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是________.
【答案】
由，解得.
所以.
由于是的必要不充分条件，所以，
解得.
所以的取值范围是.
故答案为：
C综合素养
1．在整数集Z中，被4除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为，即，，1，2，3．给出如下四个结论：①；②；③；④“整数a，b属于同一‘类’”的充要条件是“”其中正确的结论有（ ）
A．①②B．③④C．②③D．②③④
【答案】D
因为，故，故①错误；
而，故，故②正确；
由“类”的定义可得，
任意，设除以4的余数为，则，
故，所以，
故，故③正确
若整数a，b属于同一“类”，设此类为，
则，故即，
若，故为的倍数，故a，b除以4 的余数相同，
故a，b属于同一“类”，
故整数a，b属于同一“类”的充要条件为，故④正确；
故选:
2．如果对于任意实数，表示不小于的最小整数. 例如 ，，.那么“”是“”的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分也非必要条件
【答案】A
由题意，若,则满足，而；反之，若，则必须同在两个相邻整数之间，则必有.因此“”是“” 充分非必要条件
故选：A
3．方程至少有一个负实根的充要条件是（ ）
A．B．C．D．或
【答案】C
当时，方程为有一个负实根，反之，时，则，于是得；
当时，，
若，则，方程有两个不等实根，，即与一正一负，
反之，方程有一正一负的两根时，则这两根之积小于0，，于是得，
若，由，即知，方程有两个实根，必有，此时与都是负数，
反之，方程两根都为负，则，解得，于是得，
综上，当时，方程至少有一个负实根，反之，方程至少有一个负实根，必有.
所以方程至少有一个负实根的充要条件是.
故选：C