高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册直线的交点坐标与距离公式巩固练习

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册直线的交点坐标与距离公式巩固练习，共6页。试卷主要包含了已知点P与直线l等内容，欢迎下载使用。
A.3x-2y-10=0B.3x-2y-23=0
C.2x+3y-4=0D.2x+3y-2=0
2.直线x-2y+1=0 关于直线x=1对称的直线方程是( )
A.x+2y-1=0B.2x+y-1=0
C.2x+y-3=0D.x+2y-3=0
3.已知一条光线从点(4,0)发出被直线x+y-10=0反射,若反射光线过点(0,1),则反射光线所在的直线方程为( )
A.x-2y+2=0B.3x-2y+2=0
C.2x-3y+3=0D.2x-y+1=0
4.(多选)已知光线自点(4,2)射入,经倾斜角为45°的直线l:y=kx+1反射后经过点(3,0),则反射光线经过的点为( )
A.14,98B.(9,-15)
C.(-3,15)D.(13,2)
5.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说:“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河”,诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题,即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发,先到河边饮马后再回到军营,怎样走才能使总路程最短?在平面直角坐标系中,设军营所在的位置为A(1,1),若将军从山脚下的点B(4,4)处出发,河岸线所在直线l的方程为x-y+1=0,则“将军饮马”的最短总路程是( )
A.36B.34
C.5D.25
6.(多选)已知点P(2,3)与直线l:x-y+2=0,下列说法正确的是( )
A.过点P且与直线l平行的直线方程为x-y+1=0
B.过点P且截距相等的直线与直线l一定垂直
C.点P关于直线l的对称点坐标为(1,4)
D.直线l关于点P对称的直线方程为x-y=0
7.不论实数a取何值时,直线(2a-1)x+(-a+3)y-5=0都过定点M,则直线2x-y+3=0关于点M的对称直线方程为( )
A.x-2y-6=0B.x-2y=0
C.2x-y-9=0D.2x-y-3=0
8.(多选)台球运动已有五六百年的历史,参与者用球杆在台上击球.如图,有一张长方形球台ABCD,
|AB|=3|AD|,现从角落A沿角α的方向把球打出去,球经2次碰撞球台内沿后进入角落C的球袋中,
若和光线一样,台球在球台上碰到障碍物后也遵从反射定律,则tan α的值可以为( )
A.19B.12
C.1D.32
9.(5分)将一张坐标纸折叠一次,使点(3,2)与点(1,4)重合,则折痕所在直线的一般式方程为 .
10.(5分)已知一条光线从点P(7,5)射入,经x轴反射后沿直线x-ay+3=0射出,则a= .
11.(5分)已知P为直线l:2x-y+3=0上一点,点P到A(1,0)和B(2,2)的距离之和最小时点P的坐标为 .
12.(10分)已知直线l:x+2y-1=0和点A(1,2).
(1)请写出过点A且与直线l平行的直线;(4分)
(2)求点A关于直线l的对称点的坐标.(6分)
10.(10分)一条光线从点P(6,4)射出,与x轴相交于点Q(2,0),经x轴反射后与y轴交于点H.
(1)求反射光线QH的方程;(6分)
(2)求△PQH的面积.(4分)
14.(15分)如图所示,m,n,l是三条公路,m与n是互相垂直的,它们在O点相交,l与m,n的交点分别是M,N且|OM|=4,|ON|=8,工厂A在公路n上,|OA|=2,工厂B到m,n的距离分别为2,4.货车P在公路l上.
(1)要把工厂A,B的物品装上货车P,问:P在什么位置时,搬运工走的路程最少?(8分)
(2)求P在什么位置时,B工厂搬运工与A工厂搬运工走的路程差距最多?(假设货物一次性搬运完)(7分)
课时检测(二十二)
1．选D 设对称的直线方程上的一点的坐标为(x，y)，则其关于点(－1,2)对称的点的坐标为(－2－x,4－y)，因为点(－2－x,4－y)在直线2x＋3y－6＝0上，所以2(－2－x)＋3(4－y)－6＝0即2x＋3y－2＝0.
2．选D 在直线x－2y＋1＝0上任取两点，不妨取点(1,1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))，这两点关于直线x＝1对称的点分别为 (1,1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(1,2)))，两对称点所在直线的方程为 y－1＝－eq \f(1,2)(x－1)，即 x＋2y－3＝0.
3．选A 设点(4,0)关于直线x＋y－10＝0的对称点为(a，b)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(a＋4,2)＋\f(b,2)－10＝0，,\f(b,a－4)＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝10，,b＝6，))因此反射光线所在直线过点(10,6)，方程为y＝eq \f(6－1,10－0)x＋1，即x－2y＋2＝0.故选A.
4．选BC 由题意知，k＝tan 45°＝1，设点(4,2)关于直线y＝x＋1的对称点为(m，n)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(n－2,m－4)＝－1，,\f(n＋2,2)＝\f(m＋4,2)＋1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝1，,n＝5，))所以反射光线所在的直线方程为y＝eq \f(0－5,3－1)(x－3)＝eq \f(－5,2)(x－3)，所以当x＝9时，y＝－15；当x＝－3时，y＝15，故选BC.
5.选D 如图，设B(4,4)关于直线x－y＋1＝0对称的点为C(a，b)，
则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(a＋4,2)－\f(b＋4,2)＋1＝0，,\f(b－4,a－4)＝－1，))
可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝3，,b＝5，))即C(3,5)，依题意可得“将军饮马”的最短总路程为|AC|＝eq \r((1－3)2＋(1－5)2)＝2eq \r(5).
6．选ACD 设所求直线方程为x－y＋n＝0，则2－3＋n＝0，解得n＝1，所以过点P且与直线l平行的直线方程为x－y＋1＝0，故A正确；若截距都为0，即过点P(2,3)且经过坐标原点的直线为y＝eq \f(3,2)x，此时直线的斜率k＝eq \f(3,2)，但是kl＝1，k·kl＝eq \f(3,2)≠－1，所以直线y＝eq \f(3,2)x与直线l不垂直，故B错误；设点P关于直线l的对称点坐标为(a，b)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(3－b,2－a)＝－1，,\f(2＋a,2)－\f(3＋b,2)＋2＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝4，))所以点P关于直线l的对称点坐标为(1,4)，故C正确；因为点(－2,0)，(0,2)在直线l上，点(－2，0)关于点P(2,3)对称的点为(6,6)，点(0,2)关于点P(2,3)对称的点为(4,4)，则过(6,6)和(4,4)的直线方程为y－4＝eq \f(6－4,6－4)(x－4)，即x－y＝0，所以直线l关于点P对称的直线方程为x－y＝0，故D正确．故选ACD.
7．选D 由(2a－1)x＋(－a＋3)y－5＝0可得a(2x－y)－x＋3y－5＝0，令eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－y＝0，,－x＋3y－5＝0，))解得x＝1，y＝2，所以M(1，2)．设直线2x－y＋3＝0关于点M的对称直线方程为2x－y＋b＝0，则M(1,2)到直线2x－y＋3＝0与2x－y＋b＝0的距离相等，所以eq \f(|2－2＋3|,\r(5))＝eq \f(|2－2＋b|,\r(5))，解得|b|＝3，即b＝3(舍去)或b＝－3.故直线2x－y＋3＝0关于点M的对称直线方程为2x－y－3＝0.
8.选AC 当是图1时，A关于DC 的对称点为E，C关于AB的对称点为F，
根据直线的对称性可得tan α＝eq \f(|EG|,|GF|)＝eq \f(3|AD|,3|AD|)＝1；当是图2时，A关于BC 的对称点为G，C关于AD的对称点为E，根据直线的对称性可得tan α＝eq \f(|EF|,|FG|)＝eq \f(|AD|,9|AD|)＝eq \f(1,9).故选AC.
9．解析：∵点(3,2)与点(1,4)连线斜率k＝eq \f(2－4,3－1)＝－1，∴折痕所在直线斜率k′＝1.又点(3,2)与点(1,4)的中点为(2,3)，∴折痕所在直线方程为y－3＝x－2，即x－y＋1＝0.
答案：x－y＋1＝0
10．解析：点P(7,5)关于x轴对称的点为P′(7，－5)，由题意可知，反射光线经过点P′(7，－5)，将点P′(7，－5)的坐标代入方程x－ay＋3＝0，解得a＝－2.
答案：－2
11．解析：易知点A，B在直线的同侧，设点A(1，0)关于l的对称点为A′(x0，y0)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2·\f(1＋x0,2)－\f(y0,2)＋3＝0，,\f(y0－0,x0－1)·2＝－1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0＝－3，,y0＝2，))即A′(－3,2)．由题意知，点P为直线A′B与l的交点，直线A′B的方程为y＝2，故点P的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，2)).
答案：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，2))
12．解：(1)设过点A且与直线l平行的直线为x＋2y＋C＝0(C≠－1)，将A(1,2)代入，可得C＝－5，所以直线方程为x＋2y－5＝0.
(2)设点A关于直线l的对称点为A′(m，n)，由题意可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(n－2,m－1)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝－1，,\f(m＋1,2)＋2×\f(n＋2,2)－1＝0，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝－\f(3,5)，,n＝－\f(6,5)，))所以点A′的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)，－\f(6,5))).
13．解：(1)如图所示，作点P(6，4)关于x轴的对称点的坐标P′(6，－4)，
则反射光线所在的直线过点P′和Q，所以kP′Q＝eq \f(－4－0,6－2)＝－1，
所以直线P′Q的直线方程为y＝－(x－2)．
所以反射光线QH的直线方程为y＝－x＋2，其中x∈(－∞，2]．
(2)由(1)知H(0,2)，kPQ·kQH＝－1，所以PQ⊥QH，所以|QH|＝eq \r((2－0)2＋(0－2)2)＝2eq \r(2)，|PQ|＝eq \r((6－2)2＋(4－0)2)＝4eq \r(2)，
所以S△PQH＝eq \f(1,2)×|QH||PQ|＝eq \f(1,2)×2eq \r(2)×4eq \r(2)＝8.
14．解：(1)以m，n所在直线分别为y，x轴建立平面直角坐标系如图所示，
则有A(2，0)，B(－2，－4)，M(0，4)，N(－8,0)，
故公路l所在的直线方程为x－2y＋8＝0，
求P在什么位置时，搬运工走的路程最少，即求|PA|＋|PB|的值最小时P的位置．
设点A关于直线l的对称点为A′(m，n),
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(n－0,m－2)＝－2，,\f(m＋2,2)－2×\f(n＋0,2)＋8＝0，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝－2，,n＝8，))∴A′(－2,8)．
又P为直线l上的一点，则|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|≥|A′B|，当且仅当B，P，A′三点共线时等号成立，此时|PA|＋|PB|取得最小值|A′B|，点P就是直线A′B与直线l的交点．
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－2y＋8＝0，,x＝－2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－2，,y＝3，))∴P(－2,3)．
(2)求P在什么位置时，B工厂搬运工与A工厂搬运工走的路程差距最多，等价于求点P的位置，使||PB|－|PA||的值最大，A，B两点在直线l的同侧，P是直线l上的点，则||PB|－|PA||≤|AB|，当且仅当A，B，P三点共线时等号成立，此时||PB|－|PA||取得最大值|AB|，点P即直线l与直线AB的交点．又∵A(2,0)，B(－2，－4)，∴直线AB的方程为y＝x－2，联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－2y＋8＝0，,y＝x－2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝12，,y＝10，))∴P(12,10)．