初中数学人教版（2024）七年级上册（2024）有理数的乘方第1课时教案

这是一份初中数学人教版（2024）七年级上册（2024）有理数的乘方第1课时教案，共8页。教案主要包含了内容和内容解析，目标和目标解析，教学问题诊断分析，教学过程设计，教学反思等内容，欢迎下载使用。
1.内容
本节课是2024年新人教版七年级上册数学第二章《有理数的运算》中的2.3.1乘方（第1课时 有理数乘方的意义及运算）. 具体包含以下内容：1.有理数乘方的意义、幂、底数、指数的概念；2.有理数乘方的符号法则；3.有理数乘方的运算.
2.内容解析
从与先前知识的联系来看，有理数乘方是在学生学习了有理数的乘法运算之后进行的，它是有理数乘法的特殊形式，即多个相同有理数相乘的简便表示方法，是对有理数乘法运算的拓展和深化.小学阶段学生接触的正数的平方与立方，为本节课学习有理数乘方奠定了一定的认知基础，本节课在此基础上把乘方的底数扩展到有理数范畴.​
从与后续知识的关联来讲，有理数乘方是学习有理数混合运算的重要基础，在混合运算中，乘方运算有着特定的优先级；同时，它也是学习科学记数法的关键，科学记数法正是利用乘方来表示较大或较小的数；此外，乘方还是后续学习开方、指数函数等知识的前提，在整个初中乃至高中数学知识体系中，起到了承上启下的重要作用.​
教材借计算正方形面积、正方体体积等实际问题，依托求几个相同乘数的乘法运算，融入相同乘数为负数的情形，阐释有理数乘方的意义，凸显从具体到抽象、特殊到一般的思想.随之给出乘方的写法、读法，以及底数、指数、幂的概念.随后依据有理数乘法法则，探讨乘方运算的符号法则与性质.最后呈现利用计算器进行乘方运算的示例.
基于以上分析，确定本节课的教学重点为：理解有理数的乘方的意义、幂、底数、指数的概念；掌握有理数乘方的符号规律，能够正确进行有理数的乘方运算.
二、目标和目标解析
1.目标
（1）理解有理数乘方的意义，知道幂、底数、指数的概念.
（2）掌握有理数乘方的符号法则，能够正确进行有理数的乘方运算.
2.目标解析
对于目标（1），通过观察多个相同有理数相乘的实例，结合具体情境分析乘方与乘法的联系，学生能准确阐述有理数乘方的意义，会识别一个乘方表达式中的幂、底数和指数，并能清晰说明它们各自的含义.
对于目标（2），通过对不同底数（正数、负数、0）和不同指数的乘方运算进行探究与归纳，学生能熟练掌握有理数乘方的符号法则，会依据法则先确定乘方运算的符号，再计算其绝对值，从而正确完成有理数的乘方运算.​
三、教学问题诊断分析
1.理解有理数乘方意义的障碍：学生此前接触的乘方多为正数，对负数参与乘方的认知存在空白.负数本身的符号属性易使学生混淆 “多个相同负数相乘” 与 “正数乘方后取相反数”，难以将负数乘方与乘法运算的本质关联起来，导致对乘方表示 “相同因数相乘” 这一核心意义的理解停留在表面.​
2.掌握符号法则及区分两种情况的障碍：学生对括号的作用认识不足，容易忽视括号对底数范围的限定.在面对底数带负号且加括号与负号在乘方外的表达式时，难以从运算顺序和运算对象的角度进行区分，常因对符号归属的判断错误而混淆两者的运算结果.​
3.乘方运算中符号与绝对值处理的障碍：学生在运算时容易受思维惯性影响，要么先急于计算绝对值而忽略符号的确定，要么因对符号法则掌握不熟练，无法根据指数的奇偶性快速判断负数乘方的符号，导致在确定符号环节出现偏差，进而影响整个运算结果的准确性.​
基于以上分析，确定本节课的教学难点为：熟练掌握有理数乘方的符号法则，能清晰区分底数带负号且加括号与负号在乘方外这两种情况的运算结果差异.
四、教学过程设计
（一）新知引入
【观看视频】手工拉面是我国的传统面食，制作时，拉面师傅将一团和好的面揉成1根长条后，手握两端用力拉长，然后将长条对折，再拉长，再对折，一次对折称“一扣”，如此反复操作，连续拉扣六七次后便成了许多细细的面条．假如一共拉扣了十次，你能算出共有多少根面条吗？
【分析】
第1次拉扣成 2 根面条，
第2次拉扣成 2×2 根面条，
第3次拉扣成 2×2×2 根面条，
……
第10次拉扣成 2×2×2×2×2×2×2×2×2×2 根面条.
【思考】拉面10次时，写成 10 个 2 相乘有点繁琐，有没有更简便的表示方法呢？
在数学和实际问题中，经常会遇到像这种特殊形式的乘法运算，其中的各个乘数都相同. 下面我们就来学习这种乘法运算.
【设计意图】以学生熟悉的手工拉面为情境，通过视频和具体问题，将抽象的数学知识与生活实际相联系，既能降低学习门槛、激发学生的探究欲望，又能通过分析拉扣次数与面条根数的关系，直观呈现 “多个相同数相乘” 的运算形式，为后续理解乘方的意义奠定基础，体现乘方源于现实需求；同时，针对 “10 个 2 相乘表示繁琐” 的问题，引发学生对简便表示方法的思考，从而顺理成章地引入乘方概念，让学生感受到学习乘方的必要性.
（二）新知探究
【探究】计算下列图形中正方形的面积和正方体的体积.
面积：2×2 =4(cm2) 体积：2×2×2 =8(cm3)
2×2，2×2×2 都是相同乘数的乘法，为了简便，我们将它们分别记作 22，23.
22 读作“2 的平方”（或“2 的 2 次方”），23 读作“2 的立方”（或“2 的 3 次方”）
类似地，
【思考】如果是几个相同的负整数或负分数相乘呢？
(－2)×(－2)×(－2)×(－2) ，记作：(－2)4，读作：－2的四次方
(－25)×(－25)×(－25)×(－25)×(－25)，记作：(－25)5，读作：(－25)的五次方
【思考】①(－2)4能不写括号吗？ (－2)4与－24相等吗？
②(－25)5能不写括号吗？(－25)5与－255相等吗？
答：①(－2)4= (－2)×(－2)×(－2)×(－2) = 16，表示－2的4次方，
－24 = －(2×2×2×2) = －16，表示 24 的相反数，
所以(－2)4 不等于－24 .
②(－25)5 = (－25)×(－25)×(－25)×(－25)×(－25)= －323125，表示 －25 的5次方，
－255 = －2×2×2×2×25 = －325 ，表示 255 的相反数，
所以(－25)5 不等于－255 .
【归纳】一般地，n个相同的因数a相乘，a×a×⋯×an个，记作an，读作a的n次方.
求n个相同因数的积的运算叫作乘方，乘方的结果叫幂.
读法：an 看作一种运算，读作“a 的 n 次方”；an 看作乘方的结果，也可读作“a 的 n 次幂”.
例如，在94中，底数是9，指数是4，94读作“9的4次方”，或“9的4次幂”．
【思考】5的底数是多少？指数是多少？
5 就是 51. 指数 1 通常省略不写.
【小结】一个数可以看作这个数本身的_____1次方.
【小试牛刀】填空：
(1)83中底数是__8___，指数是__3__.
(2)12中底数是___12__，指数是__1__ .
(3)(－5)4中底数是__-5___，指数是___4__.
(4)－0.54 中底数是__0.5___，指数是___4__.
【设计意图】从正方形面积和正方体体积的计算入手，自然引出相同乘数乘法的简便记法，让学生初步感知乘方的形式；通过拓展到负整数、负分数的相同因数相乘，引导学生思考其简便记法及括号的作用，借助对比有无括号的差异，帮助学生明确底数的范围及符号对结果的影响；进而归纳出乘方的定义、各部分名称及读法，结合 “小试牛刀” 的练习，强化学生对底数、指数概念的理解，逐步突破符号与括号相关的难点，使学生在探究过程中主动构建乘方的知识体系.​
（三）典型例题
例1 （1）把乘法形式写成幂的形式：
①(－1.1)×(－1.1)×(－1.1)×(－1.1)×(－1.1)×(－1.1)=_____(－1.1)6____.
②－8×8×8×8×8 =_____−85____.
（2）把幂的形式写成乘法形式：
①( 23 )4 =_____23×23×23×23___
② 243 = _____2×2×2×23_____
【小结】当底数是负数或分数时，需要加括号.
【针对练习】1. (－5)6表示( B )
A. 5个6相乘 B．6个－5相乘
C. 5个－6相乘 D．6个5相乘
2. 对于(－3)3和－33，下列说法正确的是( D )
A.底数相同，指数相同，运算结果相同
B.底数不同，指数不同，运算结果不同
C.底数相同，指数不同，运算结果不同
D.底数不同，指数相同，运算结果相同
例2 计算：(1) (－4)3； (2) (－2)4； (3) (−23)3 .
解：(1) (－4)3 =(－4)×(－4)×(－4)=－64；
(2) (－2)4 =(－2)×(－2)×(－2)×(－2)=16；
(3) (−23)3=(−23)×(−23)×(−23)=−827.
【探究】请再举一些计算乘方的例子，结合例2，你发现负数的幂的正负与指数有什么关系？
【归纳】有理数乘方的符号法则：
1. 负数的奇次幂是___负数___，负数的偶次幂是___正数___ ；
2. 正数的任何次幂都是___正数___ ；
3. 0的任何正整数次幂都是___0___.
注意：－1的偶次幂等于___1___；－1的奇次幂等于___－1___；1的任何次幂等于___1___.
【针对练习】1.你能迅速判断下列各幂的正负吗？
287 110 (－8)9 (－11)8 (－1)101 (－13)77
正 正 负 正 负 负
2.计算：
（1）(－1) 10 =____1____ （2）(－1)7 =____-1____
（3）83 =____512____ （4）(－5)3 =____-125____
（5）0.13 =____0.001____ （6）(－12)4 =____116____
（7）(－10)4 =____10000____ （8）(－10)5 =_____-100000_____
【小结】进行乘方运算时，可以根据乘方的概念，先转化为n个相同因数的积的运算，再按乘法运算进行计算；运算时先确定幂的符号，再计算幂的绝对值．
例3 用计算器计算 (－8)5 和 (－3)6 .
【针对练习】用计算器计算：
(－11)6=____1771561____
（2）167=____268435456____
（3）8.43=____592.704____
(－5.6)3=____－175.616____
【设计意图】例1通过乘法形式与乘方形式互化及练习，巩固乘方意义并强调括号必要性；例2结合计算引导归纳符号法则，强化运算能力；例3引入计算器拓展运算范围.整体由概念到实践再到工具运用，逐步提升学生对乘方知识的掌握与应用，突破难点.
（四）当堂巩固
1．下列运算结果正确的是( C )
A．(－2)2＝－4 B．－42＝16
C．(－3)3＝－27 D．52＝10
2．若一个算式中，－4是底数，3是指数，则这个算式是( D )
A．－34 B．(－3)4 C．－43 D．(－4)3
3．下列四个数：(－1)2025，|－5|，－(－6)，－72.其中正数的个数为( C )
A．4 B．3 C．2 D．1
4．下列各组数中，运算结果相等的是( A )
A．(－7)3与－73 B．23与32 C．－22与(－2)2 D．324与(34)2
5．《庄子》中记载：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”这句话的意思：是一尺长的木棍，每天截取它的一半，永远也截不完．若按此方式截一根长为1的木棍，第4天截取后剩余木棍的长度是____116____．
6．计算：
(1)(－3)4； (2)(－0.6)3；(3)－(－45)3
解：(1)原式＝(－3)×(－3)×(－3)×(－3)＝81.
(2)原式＝(－0.6)×(－0.6)×(－0.6)＝－0.216.
(3)原式＝－(－45)×(－45)×(－45)＝64125.
【设计意图】通过不同类型的题目，全面考查学生对乘方意义、符号法则、运算及实际应用的掌握情况.选择题聚焦概念辨析和结果判断，填空题结合传统文化考查乘方的实际应用，计算题则强化运算步骤和符号处理，帮助学生及时巩固课堂所学，检验学习效果，发现问题并加以弥补，夯实对有理数乘方知识的理解与运用.
（五）课堂总结
本节课你有哪些收获？还有没解决的问题吗？
【设计意图】培养学生概括的能力.使知识形成体系，并渗透数学思想方法.
五、教学反思