初中数学人教版（2024）七年级上册（2024）2.2 有理数的乘法与除法第1课时教案

这是一份初中数学人教版（2024）七年级上册（2024）2.2 有理数的乘法与除法第1课时教案，共5页。教案主要包含了利用有理数乘法法则进行计算，求有理数的倒数等内容，欢迎下载使用。

第1课时 有理数的乘法
解题大招一 利用有理数乘法法则进行计算
例1 计算：

（1）（－8）×（－0.75）； （2） eq \f(3,5) ×（－1 eq \f(1,3) ）；（3）（－0.9）×|－ eq \f(10,3) |；
（4）（－5.6）×（－1.25）.
解：（1）原式＝8×0.75＝8× eq \f(3,4) ＝6； （2）原式＝ eq \f(3,5) ×（－ eq \f(4,3) ）＝－ eq \f(4,5) ；
原式＝（－ eq \f(9,10) ）× eq \f(10,3) ＝－3；
（4）原式＝（－5 eq \f(3,5) ）×（－1 eq \f(1,4) ）＝（－ eq \f(28,5) ）×（－ eq \f(5,4) ）＝7.
解题大招二 求有理数的倒数
例2 写出下列各数的倒数：
－4，－ eq \f(2,3) ，0.39，－3 eq \f(1,2) ，－1.4.
解：它们的倒数分别为－ eq \f(1,4) ，－ eq \f(3,2) ， eq \f(100,39) ，－ eq \f(2,7) ，－ eq \f(5,7) .
培优点 与有理数乘法有关的新定义问题
例 已知a，b是有理数，定义一种新运算“”，满足ab＝（a＋1）×（b－1）.
（1）求（－2）3的值；（2）求2［2（－3）］的值.
分析：根据新定义列式计算即可.
解：（1）（－2）3＝（－2＋1）×（3－1）＝（－1）×2＝－2.
（2）2［2（－3）］＝2［（2＋1）×（－3－1）］＝2（－12）＝（2＋1）×（－12－1）＝－39.
教学目标
课题
2.2.1 第1课时 有理数的乘法
授课人
素养目标
1.用类比、归纳的方式总结出有理数乘法法则，提高推理能力.2.能利用有理数乘法法则进行有理数的乘法运算，提高运算能力.3.理解倒数的意义，会求一个有理数的倒数.4.能运用有理数的乘法解决简单实际问题，增强应用意识.
教学重点
1.能利用有理数乘法法则进行有理数的乘法运算.2.理解倒数的意义，会求一个有理数的倒数.
教学难点
用类比、归纳的方式总结出有理数乘法法则.
教学活动
教学步骤
师生活动
活动一：创设情境，导入新课
【情境导入】
如图，有甲、乙两座水库，甲水库的水位每天升高3 cm，乙水库的水位每天下降3 cm.如果用“＋”号表示水位的上升，用“－”号表示水位的下降，请用算式表示，4天后甲、乙水库水位的总变化量分别是多少？你能找到更简洁的表示方法吗？
甲水库水位的总变化量：3＋3＋3＋3或3×4；
乙水库水位的总变化量：（－3）＋（－3）＋（－3）＋（－3）或（－3）×4.
我们发现（－3）×4这个乘法算式中出现了负数，这节课我们就来学习有理数的乘法.
【教学建议】
鼓励学生交流讨论，用多种方式表示水位的总变化量，引导学生类比小学学过的乘法表示出（－3）×4.
设计意图
从实际情境出发，提出疑问，激发学生的学习兴趣和求知欲，使学生快速地进入学习状态，同时又让学生体会到数学源于生活又应用于生活.
活动二：问题引入，合作探究
探究点 有理数乘法法则
我们已经熟悉正数及0的乘法运算.与加法类似，引入负数后，有理数的乘法运算有哪几种情况呢？
教师总结：
共三种类型，即：
（1）同号两个数相乘；
（2）异号两个数相乘；
（3）一个数与0相乘.
该怎样进行有理数的乘法运算呢？接下来我们先进行下面的探究.
问题1 观察下面的乘法算式.
3×3＝9；（1）四个算式有什么共同点？
3×2＝6；算式的左边都是3×□的形式.
3×1＝3；（2）其他两个数有什么变化规律？
3×0＝0. 随着后一乘数逐次递减1，积逐次递减3.
（3）要使这个规律在引入负数后仍然成立，那么应有：
3×3＝9；（1）四个算式有什么共同点？
2×3＝6；算式的左边都是□×3的形式.
1×3＝3；（2）其他两个数有什么变化规律？
0×3＝0. 随着前一乘数逐次递减1，积逐次递减3.
（3）要使这个规律在引入负数后仍然成立，那么应有：
（－1）×3＝ －3 ，（－2）×3＝ －6 ，（－3）×3＝ －9 .
思考：从符号和绝对值两个角度观察上述所有算式，你能发现什么规律？
正数乘正数，积为正数；正数乘负数，积为负数；负数乘正数，积也为负数.积的绝对值等于乘数的绝对值的积.
问题3 利用上面归纳的结论计算下面的算式.
思考：从中可以归纳出什么结论？
负数乘负数，积为正数，且积的绝对值等于乘数的绝对值的积.
问题4 总结上面所有的情况，按照活动二开头分的三种类型，你能试着自己总结出有理数乘法法则吗？
显然，两个有理数相乘，积是一个有理数.
例1 （教材P39例1） 计算：
（1）8×（－1）； （2）（－ eq \f(1,2) ）×（－2）；
（3）（－ eq \f(2,3) ）×（－ eq \f(5,7) ）.
分析提问：例如（1）8×（－1）， 异号两数相乘
8×（－1）＝－（ ）， 得负
8×1＝8， 把绝对值相乘
所以8×（－1）＝－8.
（2）（－ eq \f(1,2) ）×（－2） 同号两数相乘
（－ eq \f(1,2) ）×（－2）= +（ ） 得正
eq \f(1,2) ×2 = 1， 把绝对值相乘
所以（－ eq \f(1,2) ）×（－2）= 1
解：（1）8×（－1）＝－（8×1）＝－8；
（2）（－ eq \f(1,2) ）×（－2）＝+（ eq \f(1,2) ×2）=1；
（3）（－ eq \f(2,3) ）×（－ eq \f(5,7) ）＝+（ eq \f(2,3) × eq \f(5,7) ）＝ eq \f(10,21) .
归纳总结
同号两数相乘，可以先确定积的符号，再确定积的绝对值
补充说明：例1（2）中，（－ eq \f(1,2) ）×（－2）=1，我们说－ eq \f(1,2) 和互为倒数.一般地，在有理数中仍然有：乘积是1的两个数互为倒数.
【对应训练】
教材 P40 练习第 1.3 题
【教学建议】
教师引导学生类比有理数的加法，对乘法的各种情况进行分类，然后总结出三种类型，为后续归纳有理数乘法法则做铺垫.
【教学建议】
教师注意一定要引导学生解决好问题1，为后续的过程打下基础.要让学生知道“观察下面的乘法算式”的含义是：看算式两边，左边两个数相乘，有什么共同点和不同点；右边的积有什么变化规律.
【教学建议】
鼓励学生类比有理数的加法，从符号和绝对值两个角度观察算式，先看乘数与积的符号，再看积的绝对值和两个乘数绝对值之积的关系，然后总结出规律.
【教学建议】
指定学生代表上台解答，并说明计算中每一步的理由，其他学生在纸上作答，做完后引导学生总结出计算有理数乘法的一般步骤.
【教学建议】
提醒学生：如果把整数看成分母是1的分数，那么任何一个有理数（除0以外）的倒数，就是把分子和分母颠倒后所得的数.
提醒学生：从倒数的定义出发，因为没有一个数与0相乘等于1，所以0没有倒数.
设计意图
从小学学过的乘法运算出发，提出引入负数后的乘法问题，再通过大量算式类比、归纳，总结出有理数乘法法则，然后借助实例将倒数的概念扩充到有理数的范围.
活动三：知识延伸，巩固升华
例2 （教材P40 例2）用正负数表示气温的变化量，上升为正，下降为负.登山队攀登一座山峰，每登高1km气温的变化量为-6℃.登高3km后，气温有什么变化？
解：（－6）×3=－18.
答：登高3km后，气温下降18℃.
例2变式 在例2的条件下，若登山队已经到达山顶，现在要下山，当他们下山2km后，气温相对山顶的气温有什么变化？
解：（－6）×（－2）=12.
答：下山2km后，气温上升12℃.
【对应训练】
教材P40练习第2题.
【教学建议】
在例2变式中，可将下山 2 km 理解成登高-2 km，得（－6）×（－2），也可将“每登高 1km 气温的变化量为-6℃”理解成“每下山1km 气温的变化量为6℃”，得6×2，用两种方式让学生更深刻地理解有理数的乘法.
设计意图
将新知识应用到实际情境中，使学生更深刻地体会有理数乘法的意义，提高运算能力与应用意识.
活动四：随堂训练，课堂总结
【课堂总结】 师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：
1.有理数乘法法则是什么？
2.有理数的倒数是什么？
【知识结构】
【作业布置】
1.教材P47习题2.2第1,2,3,14题.
板书设计
2.2有理数的乘法与除法
2.2.1有理数的乘法
第1课时有理数的乘法
1.有理数乘法法则
2.有理数的倒数
3.有理数乘法的应用
教学反思
本节课先从实际情境出发，引出有理数乘法的学习，再类比有理数的加法，概括出有理数乘法的三种类型，然后类比、归纳各种类型有理数乘法的规律，最后总结出有理数乘法法则，增强推理能力.之后借助例题和练习，强化对有理数乘法法则的理解和掌握，提高运算能力.接着在实例中将倒数的含义扩充到了有理数范围内，并在实际问题中应用有理数乘法，增强应用意识.
有理数乘法的运算步骤
①确定积的符号；②确定积的绝对值
注意
①有理数的乘法运算中，带分数要先化为假分数，以便约分.
②分数与小数相乘时，先统一形式，再进行运算，一般统一化成分数