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- 2.2.2 有理数的除法 第1课时 有理数的除法（教学设计） --2024--2025学年人教版（2024）七年级数学上册 教案 3 次下载
- 2.2.2 有理数的除法 第2课时 有理数的加减乘除混合运算（教学设计） --2024--2025学年人教版（2024）七年级数学上册 教案 1 次下载
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人教版（2024）七年级上册（2024）2.3 有理数的乘方第1课时教案
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这是一份人教版（2024）七年级上册（2024）2.3 有理数的乘方第1课时教案，共6页。教案主要包含了利用偶次幂的非负性解决问题等内容，欢迎下载使用。
第1课时 有理数的乘方
解题大招一 利用偶次幂的非负性解决问题
（1）一个数的偶次幂和绝对值都是非负数.
（2）若几个非负数的和为0，则每个非负数都是0.
（3）若一个数的正整数次幂为0，则这个数为0.
例1 （1）若（x－4）2＋|y＋1|＝0，则x的值为4，y的值为－1.
（2）如果（a＋3）2＋|b－2|＝0，那么（a＋b）2 025＝－1.
解析：（1）因为（x－4）2＋|y＋1|＝0，（x－4）2是非负数，|y＋1|是非负数，所以（x－4）2＝|y＋1|＝0，所以x＝4，y＝－1.
（2）因为（a＋3）2＋|b－2|＝0，（a＋3）2是非负数，|b－2|是非负数，所以（a＋3）2＝|b－2|＝0，所以a＝－3，b＝2.所以（a＋b）2 025＝［（－3）＋2］2 025＝（－1）2 025＝－1.
解题大招二 互为相反数的两个数的幂与几个特殊值的幂
例2 （1）下列各组数中，互为相反数的有（ B ）
①（－3）3和33；②（－1）4和－14；③23和32；④（－2）3和－23.
A.④ B.①② C.①②③ D.①②④
（2）计算：（－1）2n＋（－1）2n＋1＝ 0 （n为正整数）.
培优点 有理数乘方的应用
例 一根1 m长的铜丝，第一次剪去铜丝的 eq \f(1,4) ，第二次剪去剩下铜丝的 eq \f(1,4) ，如此剪下去，第2 025次剪完后剩下铜丝的长度是（ C
A.（ eq \f(1,4) ）2 025m B.（ eq \f(1,4) ）2 024m C.（ eq \f(3,4) ）2 025m D.（ eq \f(3,4) ）2 024m
解析：第一次剪去铜丝的 eq \f(1,4) ，剩下铜丝的长度是1×（1－ eq \f(1,4) ）＝ eq \f(3,4) m，第二次剪去剩下铜丝的 eq \f(1,4) ，剩下铜丝的长度是 eq \f(3,4) ×（1－ eq \f(1,4) ）＝（ eq \f(3,4) ）2，……，依次类推，第2 025次剪完后剩下铜丝的长度是（ eq \f(3,4) ）2 025m.故答案为C.
教学目标
课题
2.3.1 第1课时 有理数的乘方
授课人
素养目标
1.理解有理数乘方的意义，知道幂、底数、指数的概念.
2.已知一个数，会求它的乘方，提高运算能力.
3.知道有理数乘方的符号规律.
4.会利用计算器进行乘方运算，进一步提高运用计算工具的能力.
教学重点
幂、底数、指数的概念及其表示，理解有理数乘法运算与乘方间的联系，处理好负数的乘方运算.
教学难点
准确理解底数、指数和幂三个概念，并能求负数的正整数次幂.
教学活动
教学步骤
师生活动
活动一：创设情境，导入新课
【情境导入】
某种细胞每30 min便由一个分裂成两个，经过3`h这种细胞由1个能分裂成多少个？
分裂方式如下所示.
以后会遇到很多类似的问题，这涉及数学中的乘方运算，今天我们就来学习这方面的内容.
【教学建议】
鼓励学生交流讨论，列式计算，引出本节课要学习的内容.
设计意图
巧妙地借助科学情境，引发学生的好奇心和求知欲，调动学生的学习积极性，让学生知道数学无处不在，激发学生解决问题的强烈欲望.
活动二：问题引入，合作探究
探究点 乘方的意义及算法
问题1 （1）完成下列填空，并说一说这两个式子有什么相同点？
（2）这两个过程有什么简单的写法吗？（类比单位的写法）
【教学建议】
让学生观察算式特点，使学生明确乘方是乘法的特殊情况.
设计意图
以问题串的形式，采用从具体到抽象的方法，引导学生理解有理数乘方的意义，并通过例题和练习使学生熟练乘方运算，提高运算能力.
教学步骤
师生活动
问题2 类比以上研究，填写下面的表格：
（－2）×（－2）×（－2）×（－2）
（－2）4
－2的4次方
（－ eq \f(2,5) ）×（－ eq \f(2,5) ）×（－ eq \f(2,5) ）×（－ eq \f(2,5) ）×（－ eq \f(2,5) ）
（－ eq \f(2,5) ）5
－ eq \f(2,5) 的5次方
【教学建议】
教师酌情解释中“…”再加上“n个”的标示，整体表示“n个a相乘”.
【教学建议】
提醒学生：乘方是一种运算，幂是乘方的结果.
【教学建议】
对于一个数的情况，可给学生提供一种角度：指数就是指相同乘数的个数，指数是1，就是指只有一个乘数.这种规定可为以后整式次数的讲解做铺垫.
【教学建议】
引导学生用多个有理数相乘的符号法则来发现负数的幂的符号规律，用有理数的乘法法则得出正数和0的幂的符号规律，最后总结出有理数乘方的符号规律.
问题3 （－2）4与－24一样吗？为什么？
不一样，（－2）4表示－2的4次方，－（2×2×2×2）记作－24，－24表示2的4次方的相反数.
一般地，n个相同的乘数a相乘，即，记作an，读作“a的n次方”.
概念引入：
求n个相同乘数的积的运算，叫作乘方，乘方的结果叫作幂.在an中，a叫作底数，n叫作指数.当an看作a的n次方的结果时，也可读作“a的n次幂”.
试一试：填一填下面图示中的空.
注意：一个数可以看作这个数本身的1次方.例如，5就是51.指数1通常省略不写.
例1 （教材P51例1） 计算：
（1）（－4）3； （2）（－2）4； （3）（－ eq \f(2,3) ）3.
解：（1）（－4）3＝（－4）×（－4）×（－4）＝－64；
（2）（－2）4＝（－2）×（－2）×（－2）×（－2）＝16；
（3）（－ eq \f(2,3) ）3＝（－ eq \f(2,3) ）×（－ eq \f(2,3) ）×（－ eq \f(2,3) ）＝－ eq \f(8,27) .
例1变式 计算：
（1）（－1）5； （2）（－0.5）2； （3）（－ eq \f(1,3) ）4.
解：（1）（－1）5＝（－1）×（－1）×（－1）×（－1）×（－1）＝－1；
（2）（－0.5）2＝（－0.5）×（－0.5）＝0.25；
（3）（－ eq \f(1,3) ）4＝（－ eq \f(1,3) ）×（－ eq \f(1,3) ）×（－ eq \f(1,3) ）×（－ eq \f(1,3) ）＝ eq \f(1,81) .
思考：（1）结合例1和例1变式，你发现负数的幂的正负与指数有什么关系？
当指数是奇数时，负数的幂是负数；
当指数是偶数时，负数的幂是正数.
教学步骤
师生活动
设计意图
（2）如果幂的底数是正数，那么这个幂有可能是负数吗？
不可能，正数的任何次幂都是正数.
归纳总结：
根据有理数的乘法法则可以得出：
负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；
正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0.
例2 （教材P52例2） 用计算器计算（－8）5和（－3）6.
解：用带符号键的计算器，有
显示结果为－32768；
显示结果为729.
因此，（－8）5＝－32`768，（－3）6＝729.
【对应训练】
教材P52练习.,
让学生了解如何用计算器进行乘方运算，进一步培养学生使用计算工具的意识与能力.
活动三：知识延伸，巩固升华
例3 计算：
（1）－（－ eq \f(3,2) ）2； （2）－（－3）3；
（3）－（－1Ａ eq \f(1,4) ）3； （4）（－4）2×（－2）3.
解：（1）－（－ eq \f(3,2) ）2＝－［（－ eq \f(3,2) ）×（－ eq \f(3,2) ）］＝－ eq \f(9,4) ；
（2）－（－3）3＝－［（－3）×（－3）×（－3）］＝－（－27）＝27；
（3）－（－1 eq \f(1,4) ）3＝－［（－ eq \f(5,4) ）×（－ eq \f(5,4) ）×（－ eq \f(5,4) ）］＝－（－ eq \f(125,64) ）＝ eq \f(125,64) ；
（4）（－4）2×（－2）3＝16×（－8）＝－128.
【对应训练】
计算：（1）－（－ eq \f(2,7) ）2；（2）－（－6）3；
（3）－（－1 eq \f(1,3) ）4；（4）（－22）×（－3）3.
解：（1）－（－ eq \f(2,7) ）2＝－［（－ eq \f(2,7) ）×（－ eq \f(2,7) ）］＝－ eq \f(4,49) ；
（2）－（－6）3＝－［（－6）×（－6）×（－6）］＝－（－216）＝216；
（3）－（－1Ａ eq \f(1,3) ）4＝－［（－ eq \f(4,3) ）×（－ eq \f(4,3) ）×（－ eq \f(4,3) ）×（－ eq \f(4,3) ）］＝－ eq \f(256,81) ；
（4）（－22）×（－3）3＝（－4）×（－27）＝108.
【教学建议】
选取学生代表上台板演，其他学生在纸上作答，提醒学生：（1）底数是带分数时可先将带分数化成假分数再计算；（2）对于例3（4）和对应训练的第（4）问，可将幂看作单独的一个数，先算出幂后再来计算乘法.
设计意图
通过例题和练习帮助学生进一步掌握乘方运算，熟悉负数的幂的符号规律，并为后续的混合运算做铺垫.
活动四：【随堂训练】，【课堂总结】
【课堂总结】 师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：
1.什么是乘方？在乘方中，幂、底数、指数分别指的是什么？
2.怎样计算一个有理数的乘方？
3.有理数的乘方的符号规律是怎样的？
【知识结构】
【作业布置】
1.教材P56习题2.3第1，2，7，11，12题.
教学步骤
师生活动
板书设计
2.3 有理数的乘方
2.3.1 乘方
第1课时 有理数的乘方
1.乘方的意义及相关概念 2.有理数乘方的计算
3.有理数乘方的符号规律
教学反思
本节课从一个科学情境出发，激发学生学习兴趣，通过具体的例子，逐步引入乘方的概念，使学生体会到乘方与乘法的关系，进而理解乘方运算，同时体会幂、底数、指数之间的关系.接着通过例题和练习进一步理解乘方的意义，并归纳总结有理数乘方的符号规律，掌握乘方运算，提高推理能力和运算能力.同时学习用计算器计算乘方的操作，进一步培养学生利用计算工具的意识和能力.然后巩固加强学生对于负数的幂的符号规律的理解，并为后续的混合运算做一点铺垫，整体效果较好.
互为相反数的两个数的幂
①互为相反数的两个数的奇次幂仍互为相反数，即－am＝（－a）m（m为奇数）；
②互为相反数的两个数的偶次幂相等，即an＝（－a）n（n为偶数）
几个特殊值的幂
①0的任何正整数次幂都是0；②1的任何正整数次幂都是1；③－1的奇次幂都是－1，－1的偶次幂都是1
注意
如果一个数的偶次幂是正数，那么这个幂的底数有两个，且互为相反数
第1课时 有理数的乘方
解题大招一 利用偶次幂的非负性解决问题
（1）一个数的偶次幂和绝对值都是非负数.
（2）若几个非负数的和为0，则每个非负数都是0.
（3）若一个数的正整数次幂为0，则这个数为0.
例1 （1）若（x－4）2＋|y＋1|＝0，则x的值为4，y的值为－1.
（2）如果（a＋3）2＋|b－2|＝0，那么（a＋b）2 025＝－1.
解析：（1）因为（x－4）2＋|y＋1|＝0，（x－4）2是非负数，|y＋1|是非负数，所以（x－4）2＝|y＋1|＝0，所以x＝4，y＝－1.
（2）因为（a＋3）2＋|b－2|＝0，（a＋3）2是非负数，|b－2|是非负数，所以（a＋3）2＝|b－2|＝0，所以a＝－3，b＝2.所以（a＋b）2 025＝［（－3）＋2］2 025＝（－1）2 025＝－1.
解题大招二 互为相反数的两个数的幂与几个特殊值的幂
例2 （1）下列各组数中，互为相反数的有（ B ）
①（－3）3和33；②（－1）4和－14；③23和32；④（－2）3和－23.
A.④ B.①② C.①②③ D.①②④
（2）计算：（－1）2n＋（－1）2n＋1＝ 0 （n为正整数）.
培优点 有理数乘方的应用
例 一根1 m长的铜丝，第一次剪去铜丝的 eq \f(1,4) ，第二次剪去剩下铜丝的 eq \f(1,4) ，如此剪下去，第2 025次剪完后剩下铜丝的长度是（ C
A.（ eq \f(1,4) ）2 025m B.（ eq \f(1,4) ）2 024m C.（ eq \f(3,4) ）2 025m D.（ eq \f(3,4) ）2 024m
解析：第一次剪去铜丝的 eq \f(1,4) ，剩下铜丝的长度是1×（1－ eq \f(1,4) ）＝ eq \f(3,4) m，第二次剪去剩下铜丝的 eq \f(1,4) ，剩下铜丝的长度是 eq \f(3,4) ×（1－ eq \f(1,4) ）＝（ eq \f(3,4) ）2，……，依次类推，第2 025次剪完后剩下铜丝的长度是（ eq \f(3,4) ）2 025m.故答案为C.
教学目标
课题
2.3.1 第1课时 有理数的乘方
授课人
素养目标
1.理解有理数乘方的意义，知道幂、底数、指数的概念.
2.已知一个数，会求它的乘方，提高运算能力.
3.知道有理数乘方的符号规律.
4.会利用计算器进行乘方运算，进一步提高运用计算工具的能力.
教学重点
幂、底数、指数的概念及其表示，理解有理数乘法运算与乘方间的联系，处理好负数的乘方运算.
教学难点
准确理解底数、指数和幂三个概念，并能求负数的正整数次幂.
教学活动
教学步骤
师生活动
活动一：创设情境，导入新课
【情境导入】
某种细胞每30 min便由一个分裂成两个，经过3`h这种细胞由1个能分裂成多少个？
分裂方式如下所示.
以后会遇到很多类似的问题，这涉及数学中的乘方运算，今天我们就来学习这方面的内容.
【教学建议】
鼓励学生交流讨论，列式计算，引出本节课要学习的内容.
设计意图
巧妙地借助科学情境，引发学生的好奇心和求知欲，调动学生的学习积极性，让学生知道数学无处不在，激发学生解决问题的强烈欲望.
活动二：问题引入，合作探究
探究点 乘方的意义及算法
问题1 （1）完成下列填空，并说一说这两个式子有什么相同点？
（2）这两个过程有什么简单的写法吗？（类比单位的写法）
【教学建议】
让学生观察算式特点，使学生明确乘方是乘法的特殊情况.
设计意图
以问题串的形式，采用从具体到抽象的方法，引导学生理解有理数乘方的意义，并通过例题和练习使学生熟练乘方运算，提高运算能力.
教学步骤
师生活动
问题2 类比以上研究，填写下面的表格：
（－2）×（－2）×（－2）×（－2）
（－2）4
－2的4次方
（－ eq \f(2,5) ）×（－ eq \f(2,5) ）×（－ eq \f(2,5) ）×（－ eq \f(2,5) ）×（－ eq \f(2,5) ）
（－ eq \f(2,5) ）5
－ eq \f(2,5) 的5次方
【教学建议】
教师酌情解释中“…”再加上“n个”的标示，整体表示“n个a相乘”.
【教学建议】
提醒学生：乘方是一种运算，幂是乘方的结果.
【教学建议】
对于一个数的情况，可给学生提供一种角度：指数就是指相同乘数的个数，指数是1，就是指只有一个乘数.这种规定可为以后整式次数的讲解做铺垫.
【教学建议】
引导学生用多个有理数相乘的符号法则来发现负数的幂的符号规律，用有理数的乘法法则得出正数和0的幂的符号规律，最后总结出有理数乘方的符号规律.
问题3 （－2）4与－24一样吗？为什么？
不一样，（－2）4表示－2的4次方，－（2×2×2×2）记作－24，－24表示2的4次方的相反数.
一般地，n个相同的乘数a相乘，即，记作an，读作“a的n次方”.
概念引入：
求n个相同乘数的积的运算，叫作乘方，乘方的结果叫作幂.在an中，a叫作底数，n叫作指数.当an看作a的n次方的结果时，也可读作“a的n次幂”.
试一试：填一填下面图示中的空.
注意：一个数可以看作这个数本身的1次方.例如，5就是51.指数1通常省略不写.
例1 （教材P51例1） 计算：
（1）（－4）3； （2）（－2）4； （3）（－ eq \f(2,3) ）3.
解：（1）（－4）3＝（－4）×（－4）×（－4）＝－64；
（2）（－2）4＝（－2）×（－2）×（－2）×（－2）＝16；
（3）（－ eq \f(2,3) ）3＝（－ eq \f(2,3) ）×（－ eq \f(2,3) ）×（－ eq \f(2,3) ）＝－ eq \f(8,27) .
例1变式 计算：
（1）（－1）5； （2）（－0.5）2； （3）（－ eq \f(1,3) ）4.
解：（1）（－1）5＝（－1）×（－1）×（－1）×（－1）×（－1）＝－1；
（2）（－0.5）2＝（－0.5）×（－0.5）＝0.25；
（3）（－ eq \f(1,3) ）4＝（－ eq \f(1,3) ）×（－ eq \f(1,3) ）×（－ eq \f(1,3) ）×（－ eq \f(1,3) ）＝ eq \f(1,81) .
思考：（1）结合例1和例1变式，你发现负数的幂的正负与指数有什么关系？
当指数是奇数时，负数的幂是负数；
当指数是偶数时，负数的幂是正数.
教学步骤
师生活动
设计意图
（2）如果幂的底数是正数，那么这个幂有可能是负数吗？
不可能，正数的任何次幂都是正数.
归纳总结：
根据有理数的乘法法则可以得出：
负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；
正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0.
例2 （教材P52例2） 用计算器计算（－8）5和（－3）6.
解：用带符号键的计算器，有
显示结果为－32768；
显示结果为729.
因此，（－8）5＝－32`768，（－3）6＝729.
【对应训练】
教材P52练习.,
让学生了解如何用计算器进行乘方运算，进一步培养学生使用计算工具的意识与能力.
活动三：知识延伸，巩固升华
例3 计算：
（1）－（－ eq \f(3,2) ）2； （2）－（－3）3；
（3）－（－1Ａ eq \f(1,4) ）3； （4）（－4）2×（－2）3.
解：（1）－（－ eq \f(3,2) ）2＝－［（－ eq \f(3,2) ）×（－ eq \f(3,2) ）］＝－ eq \f(9,4) ；
（2）－（－3）3＝－［（－3）×（－3）×（－3）］＝－（－27）＝27；
（3）－（－1 eq \f(1,4) ）3＝－［（－ eq \f(5,4) ）×（－ eq \f(5,4) ）×（－ eq \f(5,4) ）］＝－（－ eq \f(125,64) ）＝ eq \f(125,64) ；
（4）（－4）2×（－2）3＝16×（－8）＝－128.
【对应训练】
计算：（1）－（－ eq \f(2,7) ）2；（2）－（－6）3；
（3）－（－1 eq \f(1,3) ）4；（4）（－22）×（－3）3.
解：（1）－（－ eq \f(2,7) ）2＝－［（－ eq \f(2,7) ）×（－ eq \f(2,7) ）］＝－ eq \f(4,49) ；
（2）－（－6）3＝－［（－6）×（－6）×（－6）］＝－（－216）＝216；
（3）－（－1Ａ eq \f(1,3) ）4＝－［（－ eq \f(4,3) ）×（－ eq \f(4,3) ）×（－ eq \f(4,3) ）×（－ eq \f(4,3) ）］＝－ eq \f(256,81) ；
（4）（－22）×（－3）3＝（－4）×（－27）＝108.
【教学建议】
选取学生代表上台板演，其他学生在纸上作答，提醒学生：（1）底数是带分数时可先将带分数化成假分数再计算；（2）对于例3（4）和对应训练的第（4）问，可将幂看作单独的一个数，先算出幂后再来计算乘法.
设计意图
通过例题和练习帮助学生进一步掌握乘方运算，熟悉负数的幂的符号规律，并为后续的混合运算做铺垫.
活动四：【随堂训练】，【课堂总结】
【课堂总结】 师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：
1.什么是乘方？在乘方中，幂、底数、指数分别指的是什么？
2.怎样计算一个有理数的乘方？
3.有理数的乘方的符号规律是怎样的？
【知识结构】
【作业布置】
1.教材P56习题2.3第1，2，7，11，12题.
教学步骤
师生活动
板书设计
2.3 有理数的乘方
2.3.1 乘方
第1课时 有理数的乘方
1.乘方的意义及相关概念 2.有理数乘方的计算
3.有理数乘方的符号规律
教学反思
本节课从一个科学情境出发，激发学生学习兴趣，通过具体的例子，逐步引入乘方的概念，使学生体会到乘方与乘法的关系，进而理解乘方运算，同时体会幂、底数、指数之间的关系.接着通过例题和练习进一步理解乘方的意义，并归纳总结有理数乘方的符号规律，掌握乘方运算，提高推理能力和运算能力.同时学习用计算器计算乘方的操作，进一步培养学生利用计算工具的意识和能力.然后巩固加强学生对于负数的幂的符号规律的理解，并为后续的混合运算做一点铺垫，整体效果较好.
互为相反数的两个数的幂
①互为相反数的两个数的奇次幂仍互为相反数，即－am＝（－a）m（m为奇数）；
②互为相反数的两个数的偶次幂相等，即an＝（－a）n（n为偶数）
几个特殊值的幂
①0的任何正整数次幂都是0；②1的任何正整数次幂都是1；③－1的奇次幂都是－1，－1的偶次幂都是1
注意
如果一个数的偶次幂是正数，那么这个幂的底数有两个，且互为相反数
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