高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册直线的交点坐标与距离公式精练

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知识点 点到直线的距离、两条平行线间的距离
【题型目录】
题型一、求点到直线的距离
题型二、由点到直线的距离求参数或范围
题型三、两平行线间的距离
题型四、距离的综合应用
题型一、求点到直线的距离
1．已知直线：，：相交于点P，则P到直线l：的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】联立两条直线求解点坐标，利用点到直线距离公式可得解
【详解】由题意，联立可得，故
则P到直线l：的距离：故选：A
2．过点引直线，使到它的距离相等，则此直线方程为（ ）
A．B．
C．或D．或
【答案】D
【分析】设出直线方程，利用点到直线距离公式列出方程，求出的值，从而求出直线方程.
【详解】由题意得直线斜率存在，设直线方程为，因为到直线距离相等，
所以，解得：或，所以直线方程为或，
整理得：或.故答案为：D
3．已知点在直线上的运动，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】表示点与距离的平方，求出到直线的距离，即可得到答案.
【详解】表示点与距离的平方，因为点到直线的距离，所以的最小值为．故选：A
4．已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点P，且斜率为2.
(1)求直线l的方程；
(2)求点到直线l的距离.
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）先利用直线交点系设出经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点的方程，再利用其斜率为2即可求得直线l的方程；
（2）利用点到直线的距离公式即可求得点到直线l的距离
【详解】（1）经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点的直线方程为
，即由，可得
则直线l的方程为，即；
（2）点到直线l的距离为
题型二、由点到直线的距离求参数或范围
5．（多选）已知两点到直线的距离相等，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【分析】利用点到直线距离公式表示两个距离，解绝对值方程，即得解
【详解】由题意得，
或，解得或故选：AD
6．点到直线的距离的取值范围为____．
【答案】
【分析】由点到直线的距离公式结合辅助角公式求得距离为，再由正弦函数的最值求得距离的取值范围即可.
【详解】记为点到直线的距离，则，其中；当变化时，的最大值为5，最小值为，则的最大值为的最小值为，即距离的取值范围为.故答案为：.
7．点到直线的距离的取值范围为____________．
【答案】
【分析】由题可知表示过点的不包含直线的所有直线，进而得线过点时，距离最小，为，最大值无限接近，进而得答案.
【详解】解：将直线方程变形为，所以直线过与的交点，
联立方程解得，所以，直线过定点，
所以，根据直线系方程的意义，直线表示过点的不包含直线的所有直线，
所以，当直线过点时，距离最小，为；当直线与垂直时，距离取得最大值，，
因为直线与垂直时，其方程为，直线系方程不含，
所以，其距离的最大值取不到.所以，点到直线距离的取值范围.故答案为：
8．直线过定点___________，原点到直线l的距离的最大值为___________.
【答案】 ；
【分析】①把直线变形为，由即可求出定点坐标；
②结合图像知：当直线时距离最大，通过距离公式求解即可.
【详解】①由可得，由可得直线过定点；
②设定点为，结合图像可知：
当直线时，原点到直线l的距离最大即为，故原点到直线l的距离的最大值为.故答案为：；.
9．已知点到直线的距离不大于，求实数的取值范围．
【答案】
【分析】利用点到直线的距离公式列不等式，由此求得的取值范围.
【详解】点到直线的距离，，
所以的取值范围是.
题型三、两平行线间的距离
10．已知，，则与直线平行且距离为2的直线方程为（ ）
A．B．
C．或D．或
【答案】C
【分析】先求出直线的方程为，设所求直线的方程为，解方程求出即得解.
【详解】由题意得，直线的方程为，即，
设所求直线的方程为，则，解得或，∴所求直线的方程为或.故选：C.
11．若直线与直线平行，则与之间的距离为______．
【答案】
【分析】利用直线平行可求得，代入距离公式即可得出结果.
【详解】根据两直线平行，可得，解得，所以两直线的方程为：，根据平行线间的距离公式可得，两平行线间的距离，
故答案为：.
12．已知直线经过点，直线过点，且.
(1)若与之间的距离最大，求最大距离，并求此时两直线的方程.
(2)若与距离为，求两直线的方程；
【答案】(1)最大距离为，，；(2)答案见解析
【分析】（1）当直线、均与两点的连线垂直时，与的距离最大，由两点间距离公式求出最大距离，由两条直线的垂直关系求出斜率，再根据点斜式或斜截式写直线的方程，即可；
（2）分两类讨论：①若、的斜率都存在，设其斜率为，写出两条直线的方程，由点到直线的距离公式求出斜率，得解；②若、的斜率都不存在，写出两直线的方程，验证即可.
【详解】(1)解：当直线、均与两点的连线垂直时，与的距离最大，
两点连线的直线的斜率为，所以，直线与的斜率均为，
此时，最大距离为，直线的方程为，即，
直线的方程为，即.
(2)解：①若、的斜率都存在，设其斜率为，
由斜截式得的方程，即.由点斜式得的方程，即.
则，解得，所以，直线的方程为，即，
直线的方程为，即；
②若、的斜率都不存在，则的方程为，的方程为，它们之间的距离为，满足条件，
综上所述，两条直线的方程为，或，.
题型四、距离的综合应用
13．若两条平行直线：与：之间的距离是，则直线关于直线对称的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用两条直线平行的性质求出n,再利用两条平行直线间的距离求出m，再由平行线间距离即可求解.
【详解】因为直线：与：，所以，
又两条平行直线：与：之间的距离是，
所以解得，即直线：，：，
设直线关于直线对称的直线方程为，则，解得，
故所求直线方程为，故选：A
14．（1）在轴上求一点，使得到和的距离之差的绝对值最大，并求出最大值；
(2) 在轴上求一点，使得到和的距离之和最小，并求出最小值.
【答案】（1）最大值为，此时点的坐标为；（2）最小值为，此时点的坐标为
【分析】（1）两点都在轴上方，可知，从而可知取最大值时，为直线与轴交点；利用两点间距离公式求得最大值；再根据直线方程可求得点坐标；（2）两点都在轴上方，可作点关于轴的对称点，可知，从而可知取最小值时为直线与轴交点；利用两点间距离公式求得最小值；在根据直线方程可求得点坐标.
【详解】（1）
当为直线与轴交点时，到和的距离之差的绝对值最大
直线的斜率：
直线的方程为：，则
故所求距离之差绝对值的最大值为，此时点的坐标为
(2)作关于轴的对称点，则，连接
，当为直线与轴交点时，到和的距离之和最小
直线的斜率：
直线的方程为：，即，则
故所求距离之和的最小值为，此时点的坐标为
15．已知直线.
(1)若直线不经过第四象限，求的取值范围;
(2)若直线交轴负半轴于,交轴正半轴于，求的面积的最小值并求此时直线的方程；
(3)已知点,若点到直线的距离为，求的最大值并求此时直线的方程.
【答案】（1）[0,+∞)；（2）S的最小值为4，此时的直线方程为x−2y+4=0；（3）d的最大值为5，此时直线方程为3x+4y+2=0．
【分析】（1）把已知方程变形，利用线性方程求出直线所过定点即可；化直线方程为斜截式，由斜率大于等于0且在y轴上的截距大于等于0联立不等式组求解；
（2）由题意画出图形，求出直线在两坐标轴上的截距，代入三角形面积公式，利用基本不等式求最值；
（3）当PM⊥l时，d取得最大值，由两点的距离公式可得最大值，求得PM的斜率，可得直线l的斜率，由点斜式方程可得所求直线l的方程．
【详解】(1)由kx−y+1+2k=0,得k(x+2)+(−y+1)=0，
联立,解得，则直线l:kx−y+1+2k=0过定点M(−2,1)；
由kx−y+1+2k=0，得y=kx+1+2k，要使直线不经过第四象限,则，解得k⩾0．
∴k的取值范围是[0,+∞)．
(2)如图，
由题意可知，k>0，在kx−y+1+2k=0中,取y=0,得，取x=0，得y=1+2k，
∴．
当且仅当，即时等号成立．
∴S的最小值为4，此时的直线方程为12x−y+2=0，即x−2y+4=0．
(3)点P(1,5)，若点P到直线l的距离为d，当PM⊥l时,d取得最大值,且为，
由直线PM的斜率为，可得直线直线l的斜率为，则直线l的方程为，
即为3x+4y+2=0．
16．两条互相平行的直线分别过点A(6,2)和B(－3，－1)，并且各自绕着A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d. 求：
(1)d的变化范围；
(2)当d取最大值时，两条直线的方程．
【详解】(1)如图，显然有0