高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册圆的方程当堂达标检测题

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知识点一 圆的标准方程
(1)条件：圆心为C(a，b)，半径长为r.
(2)方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
(3)特例：圆心为坐标原点，半径长为r的圆的方程是x2＋y2＝r2.
知识点二 圆的一般方程
1．圆的一般方程
当D2＋E2－4F>0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0称为圆的一般方程．
2．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形
知识点三 点与圆的位置关系
点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断方法
【题型目录】
题型一、圆的标准方程
命题点1 由圆心（或半径）求圆的方程
命题点2 求过已知三点的圆的标准方程
命题点3 由标准方程确定圆心和半径
题型二、圆的一般方程
命题点1 圆的一般方程与标准方程之间的互化
命题点2 二元二次方程表示的曲线与圆的关系
命题点3 求圆的一般方程
命题点4 圆过定点问题
题型三、点与圆的位置关系
题型一、圆的标准方程
命题点1 由圆心（或半径）求圆的方程
1．以原点为圆心，2为半径的圆的标准方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据题意直接写出圆的标准方程即可.
【详解】以原点为圆心，2为半径的圆的标准方程为.故选：B
2．以点为圆心，两平行线与之间的距离为半径的圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用平行直线间距离公式可求得圆的半径，由圆心和半径可得圆的方程.
【详解】直线方程可化为，则两条平行线之间距离，即圆的半径，所求圆的方程为：.故选：B.
3．（多选）圆上的点（2，1）关于直线x＋y＝0的对称点仍在圆上，且圆的半径为，则圆的方程可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【分析】由圆的几何关系可知圆心在直线x＋y＝0上，设出圆心坐标为（a，－a），利用圆心到圆上点的距离等于半径列方程即可求解.
【详解】由题意可知圆心在直线x＋y＝0上，设圆心坐标为（a，－a），则，解得a＝0或a＝1，∴所求圆的方程为或,故选：AD．
4．求下列各圆的标准方程：
(1)圆心在上且过两点､；
(2)圆心在直线上，且与直线切于点；
(3)圆心在直线上，且与两坐标轴都相切.
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）设圆的标准方程，根据条件列出方程组，即可求得答案.
（2）（3）设圆的标准方程，根据条件列出相关等式，即可求得答案.
【详解】(1)设圆的标准方程为： ，
则由题意得： ，解得 ，
故圆的标准方程为：；
(2)设圆的标准方程为：，
则，且 ，即，
将点代入圆的方程中得：，解得： ，
故圆的标准方程为：；
(3)设圆的标准方程为： ，
则，且 ，解得 或，
故圆的标准方程为：或.
命题点2 求过已知三点的圆的标准方程
5．经过三个点的圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据三点在坐标系的位置，确定出是直角三角形，其中是斜边，则有过三点的圆的半径为的一半，圆心坐标为的中点，进而根据圆的标准方程求解.
【详解】由已知得，分别在原点、轴、轴上，，
经过三点圆的半径为，
圆心坐标为的中点，即，圆的标准方程为.故选：C.
6．如图所示，为一弓形，且A，B，C的坐标分别为，，求弓形所在圆的标准方程．
【答案】
【分析】根据圆的几何性质即可确定圆心位置以及半径大小，或者根据待定系数法设圆的方程，联立方程求解.
【详解】方法一 由题意得圆心在弦AB的垂直平分线上，所以圆心在y轴上，
设圆心为，连接AP，因为，所以，解得，
所以圆心为，半径，所以圆的标准方程为．
方法二 设弓形所在圆的标准方程为，
则，解得，所以圆的标准方程为．
故答案为：
7．已知直线l1经过点A(－3，0)，B(3，2)，直线l2经过点B，且l1⊥l2.
（1）分别求直线l1，l2的方程；
（2）设直线l2与直线y=8x的交点为C，求△ABC的外接圆的标准方程.
【答案】（1）x－3y+3=0，3x+y－11=0；（2）(x+1)2+(y－4)2=20.
【分析】（1）由题利用直线的两点式及直线的关系即得；
（2）由题可求点C，再利用几何法即求.
【详解】（1）因为直线l1经过点A(－3，0)，B(3，2)，所以=，所以l1的方程为x－3y+3=0.
因为l1⊥l2，所以设直线l2的方程为3x+y+c=0，
因为点B(3，2)在直线l2上，所以c=－11，所以直线l2的方程为3x+y－11=0.
（3）由得即C(1，8)，所以|AC|=4，|BC|=2，又|AB|=2，
所以|AB|2+|BC|2=|AC|2，所以△ABC是以AC为斜边的直角三角形，
又AC的中点为(－1，4)，所以Rt△ABC的外接圆的圆心为(－1，4)，半径为2，
所以△ABC的外接圆的标准方程为(x+1)2+(y－4)2=20.
命题点3 由标准方程确定圆心和半径
8．已知圆的方程为，则圆的半径为（ ）
A．3B．9C．D．
【答案】A
【分析】把圆的一般方程化为标准方程，即可得出圆的半径.
【详解】把圆的方程化为标准方程是，所以圆的半径为．
故选：A．
9．由曲线与所围成的较小区域的图形面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】作出图象确定区域形状，再求其面积.
【详解】将化为，在同一坐标系中作出曲线与的图象（如图所示），
两者所围成的较小区域（扇形）是圆的，其面积为.故选：B.
10．经过圆的圆心且斜率为－1的直线方程为______
【答案】
【分析】先求出圆心，再用点斜式求出直线方程.
【详解】的圆心为，则直线方程为，即.
故答案为：
11．若实数x，y满足，则的最小值为______．
【答案】1
【分析】由，表示圆心为，半径的圆，表示圆上的点与原点的距离，从而的最小值为.
【详解】解：因为，表示圆心为，半径的圆，
而表示圆上的点与原点的距离，又，
所以的最小值为，故答案为：1.
12．根据下列圆的方程，写出各圆的圆心和半径：
(1)；(2)；(3)；(4)．
【答案】(1)圆心为，半径为5；
(2)圆心为，半径为；
(3)圆心为，半径为；
(4)圆心为，半径为3.
【解析】（1）解：因为圆的方程为，即，
所以圆心为，半径为5；
（2）解：因为圆的方程为，即，
所以圆心为，半径为；
（3）解：因为圆的方程为，即，
所以圆心为，半径为；
（4）因为圆的方程为，即，
所以圆心为，半径为3.
题型二、圆的一般方程
命题点1 圆的一般方程与标准方程之间的互化
13．已知实数满足，则的最大值是（ ）
A．3B．2C．D．
【答案】D
【分析】先整理为圆的标准方程，利用有界性即可求得.
【详解】可化为：，所以，解得：，
即的最大值是4.故选：D
14．若圆心为的圆的方程为，圆心为的圆的方程为，则两圆的圆心距等于（ ）
A．2B．C．3D．
【答案】B
【分析】写出圆的标准方程，得到两圆圆心坐标，再由两点间距离公式可求．
【详解】圆心为的圆的标准方程为，圆心为的圆的标准方程为，所以两圆圆心分别为，所以圆心距．
故选：B
15．下列各方程是否表示圆？若表示圆，求其圆心的坐标和半径．
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)是圆，圆心坐标为(2，0)，半径为2；
(2)不表示圆，表示一个点(2，1)；
(3)不表示任何曲线.
【分析】将方程化为的形式即可判断是否为圆，若为圆，根据圆的标准方程直接得出圆心坐标和半径.
【详解】（1）由，
可得，所以圆心坐标为(2，0)，半径为2；
（2）由，
可得，所以该方程不表示圆，表示一个点(2，1)；
（3）由，
可得，所以该方程不表示任何曲线.
命题点2 二元二次方程表示的曲线与圆的关系
16．若方程表示圆，则的取值范围为______．
【答案】
【分析】根据二元二次方程表示圆的条件求解即可.
【详解】解：因为表示圆，所以，解得或，
所以的取值范围为.
故答案为：.
17．已知方程表示一个圆．
（1）求实数的取值范围；
（2）求半径的最大值．
【答案】（1）；（2）．
【分析】(1)将圆的化成化简成标准方程,再根据方程右边大于0计算即可.
(2)化简可得,再利用二次函数的最值求解即可.
【详解】（1）,即实数的取值范围是；
（2）,当且仅当时,半径取得最大值．
18．判别方程（k为参数，）表示何种曲线?找出通过定点的坐标.
【答案】圆心在，半径为的圆；定点的坐标为
【分析】由题通过配方整理可得方程表示圆，将原方程整理为关于k的方程可得定点.
【详解】将原方程整理得，
即，
方程表示圆心在，半径为的圆，
将原方程整理为关于k的方程：，
由 解得即圆过定点.
命题点3 求圆的一般方程
19．已知曲线与x轴交于M，N两点，与y轴交于P点，则外接圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】设外接圆的方程为，分别令，结合韦达定理求得D,E,F,代入即可求得圆的方程.
【详解】设外接圆的方程为，点Q是的外接圆与y轴的另一个交点，
分别令，则，．
设，则，又曲线与x轴交于M，N两点，
则，，，，，所以，，故外接圆的方程．
故选：C.
20．过点M（-1，1），且圆心与已知圆相同的圆的一般方程为______．
【答案】
【分析】求出圆C的圆心即可求出所圆的半径和一标准方程，再将标准方程化成一般方程即可.
【详解】解：将圆C的方程化为标准方程得，则圆心C的坐标为（2，-3），
故所求圆的半径，所以所求圆的方程为，
即．故答案为：．
21．求经过直线与圆的交点，且面积最小的圆的一般方程．
【答案】
【分析】由题意设所求圆的方程为，找出此时圆心坐标，当圆在直线上时，圆的半径最小，可得此时圆的面积最小，将圆心坐标代入直线中可求出，从而可求出圆的方程.
【详解】由题意设所求圆的方程为，
即，此时圆心为，
当圆心在直线上时，圆的半径最小，此时圆的面积最小，所以，得，
所以所求的圆方程为．
命题点4 圆过定点问题
22．对任意实数，圆恒过定点，则其坐标为______.
【答案】、
【分析】将圆的方程重新按合并同类项，由此列方程组，解方程组求得定点坐标.
【详解】由由得，
故，解得或.故填：、.
23．已知点和以为圆心的圆.
（1）求证：圆心在过点的定直线上，
（2）当为何值时，以为直径的圆过原点．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】（1）圆心的坐标为，则圆心在过点的定直线上；
（2）以为直径的圆过原点，则利用斜率计算即可．
【详解】（1）由题可知圆心的坐标为，
令消去，得.
∵直线过点.∴圆心在过点的定直线上.
（2）∵以为直径的圆过原点，∴.∴，∴.
即当时，以为直径的圆过原点．
题型三、点与圆的位置关系
24．若点在圆的内部，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由点在圆内，则点到圆心距离小于半径列不等式，即可求范围.
【详解】由题设，将点坐标代入圆方程的左侧有，可得.
故选：C
25．已知点是圆C:外一点，则m的取值范围为___________.
【答案】
【分析】由题设及圆的性质可得，即可求m的范围.
【详解】由题设，圆的标准方程为，又在圆外，
所以，解得.故答案为：.
1．在平面直角坐标系中， 以点(0，1)为圆心且与直线相切的圆的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由条件利用点到直线的距离公式求得半径，可得要求的圆的标准方程．
【详解】由题意可得圆心为点(0，1)，半径为，要求的圆的标准方程为，
故选：A．
2．某圆经过两点，圆心在直线上，则该圆的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据圆的平面几何性质可知圆心在的中垂线上，联立方程可得圆心坐标，再求出半径即可得解.
【详解】因为圆经过两点，所以圆心在中垂线上，联立解得圆心，所以圆的半径，故所求圆的方程为，故选：D
3．圆的圆心到直线x-y+3=0的距离为（ ）
A．1B．2C．D．
【答案】D
【分析】由圆的方程确定圆心，利用点到直线距离公式进行求解.
【详解】的圆心为，则由点到直线距离公式可得：.故选：D
4．经过圆的圆心C，且与直线2x+3y-4=0平行的直线方程为（ ）
A．2x+3y+3=0B．2x+3y-3=0C．2x+3y+2=0D．3x-2y-2=0
【答案】A
【分析】由圆的方程确定圆心坐标，根据直线平行确定所求直线的斜率，再应用点斜式求直线方程.
【详解】由题设，圆心为，且所求直线的斜率为，所以直线方程为，整理得.故选：A
5．点是直线上任意一点，是坐标原点，则以为直径的圆经过定点（ ）
A．和B．和C．和D．和
【答案】D
【分析】设点，求出以为直径的圆的方程，并将圆的方程变形，可求得定点坐标.
【详解】设点，则线段的中点为，圆的半径为，所以，以为直径为圆的方程为，即，即，由，解得或，因此，以为直径的圆经过定点坐标为、.故选：D.
6．若点在圆的外部，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据点与圆的位置关系及方程表示圆列出方程组，从而可得出答案.
【详解】解：因为点在圆的外部，所以，解得.
故选：C．
7．已知，，则以为直径的圆的方程是________.
【答案】
【分析】根据给定条件，求出圆心和半径直接写出圆的方程作答.
【详解】依题意，以为直径的圆的圆心为，半径，所以以为直径的圆的方程是.
故答案为：
8．圆的标准方程为______．
【答案】
【分析】先将方程化为圆的一般方程，配方后可得圆的标准方程.
【详解】将方程化为圆的一般方程：，配方后可得：，
所以圆的标准方程为故答案为：
9．已知圆的圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)，则圆的一般方程为________________.
【答案】x2＋y2＋2x＋4y－5＝0
【分析】方法一：设出圆的标准方程，代入点的坐标，建立方程组，求出答案；
方法二：求出线段AB的垂直平分线方程，联立x－2y－3＝0求出圆心坐标，进而计算出半径，写出圆的标准方程，化为一般方程.
【详解】方法一：设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
由题意得:,解得：故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10，
即x2＋y2＋2x＋4y－5＝0.
方法二：线段的中点坐标为，即，
直线的斜率为，所以线段AB的垂直平分线的斜率为-2，
所以线段AB的垂直平分线方程为，即2x＋y＋4＝0，
由几何性质可知：线段AB的垂直平分线与的交点为圆心，
联立，得交点坐标，
又点O到点A的距离，即半径为，
所以圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10，即x2＋y2＋2x＋4y－5＝0.
故答案为：x2＋y2＋2x＋4y－5＝0.
10．若坐标原点在圆的内部，则实数的取值范围为________.
【答案】
【分析】根据原点在圆内可建立不等式，求解即可.
【详解】∵原点在圆的内部，，解得
所以实数的取值范围为
故答案为：
11．已知圆过点，．
(1)求圆心所在直线的方程；
(2)求周长最小的圆的标准方程；
(3)求圆心在直线2x－y－4＝0上的圆的标准方程；
(4)若圆心的纵坐标为2，求圆的标准方程．
【答案】(1)x－3y＋3＝0(2)(3)(4)
【分析】（1）利用已知条件求出直线的垂直平分线所在的直线方程即可；
（2）利用已知条件求出线段AB为圆的直径的圆的方程即可；
（3）由（1）可知，圆心所在直线的方程为，且圆心在直线上，即可求解圆的方程；
（4）由（1）可知，圆心所在直线的方程为，即可求出圆心的横坐标，即可求解圆的方程.
【详解】（1）由题意可知线段AB的中点坐标是，
∵直线AB的斜率，且圆心在线段AB的垂直平分线上，
∴圆心所在直线的方程为，即x－3y＋3＝0．
（2）当线段AB为圆的直径时，过点A，B的圆的半径最小，从而周长最小，
即圆心为线段AB的中点（0，1），半径为．
则所求圆的标准方程为．
（3）由（1）可知，圆心所在直线的方程为，
又∵圆心也在直线2x－y－4＝0上，∴圆心是这两条直线的交点，
∴ ，解得，即圆心的坐标是（3，2），
∴半径，∴所求圆的标准方程是．
（4）设圆心的坐标为（m，2），由（1）知m－3×2＋3＝0，得m＝3，
∴圆的半径，∴所求圆的标准方程为．
12．已知的三个顶点是.
(1)的面积；
(2)的外接圆的面积.
【答案】(1)8；(2)
【分析】（1）先求得所在直线方程，从而求得点到的距离求解；
（2）先分别求得线段AB和BC的垂直平分线方程，联立求得圆心求解.
【详解】（1）解：所在直线方程为：， 即 ，
点到的距离为，
又，所以；
（2）因为，所以，线段AB的中点为，
所以线段AB的垂直平分线方程为，即，
同理求得线段的垂直平分线方程为，
联立解得，即圆心坐标为，所以圆的半径为，
所以的外接圆的面积为：.
13．已知圆经过，，.
(1)求圆的标准方程；
(2)若点，点是圆上的一个动点，求的最小值.
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）设出圆的标准方程，将已知点代入得出方程组可求；
（2）利用数量积的运算律转化结合数量积的定义求出.
【详解】（1）设圆的标准方程为，
由于圆经过，，，
所以有，解得所以圆的标准方程为.
（2）由（1）知，圆的半径为，
.
当与共线且同向时，取得最小值.所以的最小值为.
14．已知方程表示一个圆.
(1)求实数m的取值范围；
(2)求圆的周长的最大值.
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）根据圆的一般式与标准式的转化，根据标准式即可求解.
（2）根据二次函数的性质可求解半径的最大值，进而可求圆周长的最大值.
【详解】（1）原方程可化为，
若方程表示一个圆，则，解得，即实数m的取值范围是.
（2）圆的半径，当且仅当时，半径r取得最大值，所以圆的周长的最大值为.
1．若直线是圆的一条对称轴，则（ ）
A．B．C．1D．
【答案】A
【分析】若直线是圆的对称轴，则直线过圆心，将圆心代入直线计算求解．
【详解】由题可知圆心为，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即，解得．
故选：A．
2．已知圆与以原点为圆心的圆关于直线对称，则（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】A
【分析】分别求得圆和原点为圆心的圆的圆心坐标，求得直线的斜率为，即的中点坐标为，结合题意，求得直线的方程，代入中点坐标，即可求解.
【详解】由题意，圆，可得圆心坐标为，以原点为圆心的圆的圆心坐标为，可得直线的斜率为，且的中点坐标为，因为圆与以原点为圆心的圆关于直线对称，所以，即，将点代入直线，可得.故选：A.
3．已知从点发出的一束光线，经x轴反射后，反射光线恰好平分圆：的圆周，则反射光线所在的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据反射性质，结合圆的性质、直线斜率公式进行求解即可.
【详解】设点的坐标为，圆的圆心坐标为，设是x轴上一点，因为反射光线恰好平分圆的圆周，所以反射光线经过点，由反射的性质可知：，于是，所以反射光线所在的直线方程为：
，故选：A
4．圆关于原点对称的圆的方程为（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由圆的方程可求得圆心和半径，进而求得圆心关于原点对称的点的坐标，由此可得所求圆的圆心和半径，进而得到所求圆方程.
【详解】由知其圆心为，半径；圆心关于原点对称的点为，即所求圆的圆心为，又所求圆的半径，所求圆的方程为：.
故选：B.
5．若圆过坐标原点，则实数m的值为（ ）
A．1B．2C．2或1D．－2或－1
【答案】A
【分析】把坐标代入圆方程求解．注意检验，方程表示圆．
【详解】将代入圆方程，得，解得或0，当时，，满足题意；
当时，，不满足题意.故选：C．
6．已知方程表示的曲线恒过第三象限内的一个定点，若点又在直线：上，则
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】把方程化为，解方程组，即得定点的坐标.把点的坐标代入直线的方程，即得答案.
【详解】方程可化为.曲线恒过定点，
，解得或.点在第三象限，，代入直线的方程，
可得.故选：.
7．（多选）已知三角形的三个顶点分别为，，，则（ ）
A．三角形OMN外接圆的方程为
B．三角形OMN外接圆的半径长为5
C．三角形OMN外接圆的圆心坐标
D．大于三角形OMN外接圆的半径
【答案】ABC
【分析】求出线段的垂直平分线的方程，两条垂直平分线的交点坐标即为圆心坐标，再求得半径后可得圆标准方程，求出后可判断各选项．
【详解】OM中点，中点，OM的垂直平分线PE的直线方程为①．MN的垂直平分线PF的直线方程为②．
联立①②，得解得则点为PE，PF的交点，即为圆心，，即为圆的半径．所以圆的方程为．．故选：ABC．
8．（多选）设有一组圆：，下列命题正确的是（ ）
A．不论如何变化，圆心始终在一条直线上
B．所有圆均不经过点
C．经过点的圆有且只有一个
D．所有圆的面积均为
【答案】ABD
【分析】A选项，圆心坐标为，故在直线上；B选项，代入得到一元二次方程，由根的判别式判断；C选项，代入得到一元二次方程，由根的判别式进行求解；D选项，由半径为2求出面积为4.
【详解】A选项，圆心为，一定在直线上，A正确；
B选项，将代入得：，其中，方程无解，即所有圆均不经过点，B正确；C选项，将代入得：，其中，故经过点的圆有两个，故C错误；所有圆的半径为2，面积为4.故选：ABD
9．以为圆心，且经过原点的圆的标准方程为___________.
【答案】
【分析】根据圆心设圆的方程，由原点在圆上求半径，即可得标准方程.
【详解】令圆的方程为，又原点在圆上，所以，故所求方程为.故答案为：
10．写出经过三点，，中的两点且圆心在直线l：上的一个圆的标准方程为______．
【答案】
【分析】先从三点中选出两点，求出其垂直平分线，得到圆心所在的直线方程，进而联立求出圆心坐标，求出半径，写出圆的标准方程.
【详解】若选，，则圆心在直线上，
又在直线l：上，故圆心坐标为，半径为，
故所求圆的标准方程为；
同理若选，，则圆心在直线上，又在直线l：上，
故圆心坐标为，半径为，
故所求圆的标准方程为；
或选，，此时这两点的中点为，即，
此时连接这两点的直线斜率为，所以垂直平分线所在直线的斜率为1，
所以垂直平分线所在直线方程为，即，
则圆心在直线上，又在直线l：上，
故圆心坐标为，半径为，故圆的标准方程均为．
故答案为：
11．圆关于直线对称的圆的方程为______________ .
【答案】
【分析】求出圆的圆心关于直线的对称点，就是所求圆的圆心，而半径不变，从而可求出圆的方程
【详解】圆的圆心为，半径为2，设点关于直线对称点为，则，解得，即，所以圆关于直线对称的圆的方程为，故答案为：
12．已知直线均垂直于圆的某条直径，且三等分该条直径，则_________，__________．
【答案】
【分析】求得圆心坐标和半径，利用两平行线间的距离公式，得出，求得，再由点到直线的距离公式，可得，求得的值，即可求解.
【详解】由题意，圆的圆心坐标为，半径为，
又由直线，可得两平行线间的距离为，解得，
又由圆心到的距离相等，都可，可得，解得.故答案为：；.
13．已知的三个顶点坐标分别为
（1）求外接圆的方程；
（2）动点D在的外接圆上运动， 点坐标，求中点的轨迹
【答案】(1) ；(2) 以点为圆心，以为半径的圆.
【分析】（1）由已知求得AB的垂直平分线的方程，BC的垂直平分线的方程，联立两直线方程解得圆心坐标，再根据两点的距离公式求得半径，由此可求得外接圆的方程；
（2）设，由中点公式表示出，再代入得中点的轨迹方程，可得中点的轨迹.
【详解】解：（1）因为，所以，AB的中点为，则AB的垂直平分线的方程为；
，BC的中点为，则BC的垂直平分线的方程为，即；
联立，解得，所以圆心坐标为，半径为，
所以外接圆的方程为：；
（2）设，由中点公式得，则，代入得中点的轨迹方程为，即，
所以中点的轨迹是以点为圆心，以为半径的圆.
14．设A为圆上的动点，PA是圆的切线，且，求点P的轨迹方程．
【答案】
【分析】本题主要考查圆的基本概念和两点之间距离公式，利用勾股定理求出点P的轨迹方程．
【详解】设，圆的圆心为B，则，圆的半径为1，由题意得，∴点P的轨迹方程为．
15．已知圆经过点，，.
（1）求圆的方程；
（2）设点在圆上运动，求的最大值与最小值．
【答案】（1）；（2）最大值为，最小值为.
【分析】（1）由题意利用待定系数法求出圆的方程；
（2）表示圆上的点P与点距离的平方，最大值为，最小值为，直接计算即可.
【详解】（1）设圆的方程为.
，得，即圆的方程为：
（2）设点，圆的半径为R，则表示点与点距离的平方.
圆心与的距离.
故距离最大值为，距离最小值为.所以的最大值为，最小值为.
16．已知 为圆：上任意一点，点.
(1)若在圆上，求线段的长及直线的斜率；
(2)求的最大值和最小值.
【答案】(1)，；(2)，
【分析】（1）将点带入圆的方程求出的值，进而结合两点间的距离公式以及根据两点求斜率的公式即可得出结果；
（2）根据圆外一点与圆上点的距离的最大值为圆外点与圆心的距离加半径，最小值为圆外点与圆心的距离减半径，从而计算即可求出结果.
【详解】（1）因为点在圆上，所以，
即，解得a＝4，所以P（4，5）.
所以，PQ的斜率.
（2）圆的圆心，半径，则.
所以，.条件
图形
D2＋E2－4F0
表示以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))为圆心，以eq \f(\r(D2＋E2－4F),2)为半径的圆
位置关系
利用距离判断
利用方程判断
点M在圆上
|CM|＝r
(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2
点M在圆外
|CM|>r
(x0－a)2＋(y0－b)2>r2
点M在圆内
|CM|