数学直线的方程达标测试

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知识点 直线的点斜式方程和斜截式方程
【题型目录】
题型一、直线的点斜式方程
题型二、直线的斜截式方程
题型三、点斜式方程和斜截式方程的应用
题型一、直线的点斜式方程
1．在等腰三角形中，，、，点在轴的正半轴上，则直线的点斜式方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】设线段的中点为，连接，可知轴，求出点的坐标，进而可求得直线的点斜式方程.
【详解】设线段的中点为，连接，，则轴，则点，故点，
所以，直线的斜率为，所以直线的点斜式方程为．故选：D．
2．过点斜率为3的直线的点斜式方程是______
【答案】
【分析】由点斜式方程的定义和特征即可求解.
【详解】由题意知：斜率为3，点为，故点斜式方程为：
故答案为：
3．若直线l经过点，且倾斜角是直线的倾斜角的2倍，求直线l的点斜式方程．
【答案】.
【分析】设直线的倾斜角为，则所求直线的倾斜角为，利用正切的二倍角公式求出所求直线的斜率，由点斜式求解直线方程即可；
【详解】解：设直线的倾斜角为，则所求直线的倾斜角为，因为，
所以，又直线经过点，故所求直线方程为；
4．已知的三个顶点分别为、、．
(1)求边和所在直线的方程；
(2)求边上的中线所在直线的两点式方程．
【答案】(1)的方程为，的方程为；(2)
【分析】（1）求出直线、的斜率，利用点斜式可得出所求直线的方程；
（2）求出线段的中点的坐标，进而可求得的两点式方程.
【详解】（1）解：，所以，直线的方程为，即，
，所以，直线的方程为，即.
（2）解：线段的中点为，所以边上的中线所在直线的两点式方程为．
题型二、直线的斜截式方程
5．已知直线l的斜率是直线的斜率的相反数，在y轴上的截距为2，则直线l的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】求得直线斜率，由斜截式得直线方程．
【详解】直线的斜率是，因此直线的斜率是，又在y轴上的截距为2，
所以直线方程为，故选：C．
6．在x轴上的截距为5，倾斜角为的直线的斜截式方程为______．
【答案】
【分析】由截距得点，倾斜角得斜率，可用点斜式再转为斜截式方程
【详解】x轴上的截距为5，即，倾斜角为，则斜率为，
由点斜式得，则斜截式为.故答案为：
7．已知直线在轴上的截距为4，倾斜角为，且，则直线的斜截式方程为______
【答案】
【分析】先求出直线的斜率，即可写出直线的方程.
【详解】因为直线的倾斜角为，且，所以，所以直线的斜率又直线在在轴上的截距为4，所以直线方程为.故答案为：.
8．根据下列条件，分别写出直线的方程：
(1)过点，且在y轴上的截距为6；
(2)过点，且在x轴上的截距为3．
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）由题意可知，直线的斜率存在，在y轴上的截距为6，即可设直线方程：，代入点，解得即可；
（2）由题意可知，直线的斜率不为，在轴上的截距为，即可设直线方程：，代入点，解得即可；
【详解】(1)由题意可知，直线的斜率存在且过点，则设直线的方程为：，
又因为直线过点，即，解得，则直线的方程为：，
故所求直线方程为：.
(2)由题意可知，直线的斜不为且过点，则设直线的方程为：，
又因为直线过点，即，解得，则直线的方程为：，
故所求直线方程为：.
题型三、点斜式方程和斜截式方程的应用
9．(1) 求证：不论a为何值，直线y＝ax－3a＋2(a∈R)恒过定点；
(2)当a为何值时，直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直？
【详解】(1)证明 将直线方程变形为y－2＝a(x－3)，
由直线方程的点斜式可知，直线过定点(3,2)．
(2)解 由题意可知，＝2a－1，＝4，
∵l1⊥l2，∴4(2a－1)＝－1，解得a＝eq \f(3,8).
故当a＝eq \f(3,8)时，直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直．
10．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，过点作直线l分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点A，B．
(1)求面积的最小值及此时直线l的方程；
(2)求当取得最小值时直线l的方程．
【答案】(1)6，；(2)
【分析】（1）设直线方程为，，求出两点坐标，从而求得面积，由基本不等式得最小值，从而得此时直线方程；
（2）设，，由A，P，B三点共线得，计算，用基本不等式求得最小值，并求得值得直线方程．
【详解】（1）∵点在第一象限，且直线l分别与x轴正半轴 、y轴正半轴相交，
∴直线l的斜率，
则设直线l的方程为，，
令，得；令，得．
∴．
∵，∴，
∴，
当且仅当，即时等号成立．∴面积的最小值为6．
此时直线l的方程为，即．
（2）设，，，．∵A，P，B三点共线，∴，整理得，
∴，当且仅当，即时等号成立，∴当取得最小值时，直线l的方程为，即．
1．（多选）已知直线l过点，且与轴和轴围成一个内角为的直角三角形，则满足条件的直线l的方程可以是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【分析】由题意，求出直线的倾斜角可以是或或或，从而可得直线斜率，利用点斜式可写出直线方程，最后检验即可得答案.
【详解】解：由题意，直线的倾斜角可以是或或或，
所以直线的斜率或或或，
所以直线的方程可以为或或 或，
由，整理得，此时直线过原点，无法与轴和轴围成直角三角形.
故选：ABC.
2．直线l经过点，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，则l的点斜式方程为______．
【答案】
【分析】依题意可得直线的倾斜角为或，即可求出直线的斜率，从而求出直线的点斜式方程.
【详解】解：依题意直线的倾斜角为或，
所以直线的斜率或，所以直线方程为；
故答案为：
3．已知直线l经过点，倾斜角为，且，则直线l的点斜式方程为______．
【答案】
【分析】先由及的范围求得，进而求得，即斜率，再利用点斜式即可求得结果.
【详解】因为，，所以，故，
又直线l经过点，故直线l的点斜式方程为.故答案为：.
4．已知三角形的三个顶点、、，则AB边所在直线的方程是______，BC边上的中线所在直线的方程是______．
【答案】
【分析】根据两点斜率公式求直线斜率，进而根据点斜式即可写出直线的方程.
【详解】由题知：,所以方程为，即，
中点,,所以方程为，即，
故答案为：，
5．已知直线l过点和.
(1)求直线l的点斜式方程；
(2)求直线l在y轴上的截距.
【答案】(1)（或）；(2)
【分析】（1）求出直线斜率，写出点斜式方程；
（2）把点斜式方程化为斜截式，令求得值即为纵截距．
【详解】（1）直线l的斜率，故直线l的点斜式方程为（或）.
（2）由得，所以直线l的斜截式方程为，
当时，，所以直线l在y轴上的截距为.
6．根据下列条件分别写出直线的方程：
(1)斜率是，且经过点；
(2)斜率为4，在y轴上的截距为－2.
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）由点斜式方程可直接写出结果；
（2）由斜截式方程可直接写出结果.
【详解】（1）若直线的斜率是，且经过点，由点斜式，该直线的方程为.
（2）若直线斜率为4，在y轴上的截距为－2，由斜截式，该直线的方程为.
7．经过点，且倾斜角为的直线的斜截式方程为______．
【答案】
【分析】由倾斜角为可得斜率为1，用点斜式写出直线方程再化成斜截式方程即可.
【详解】解：因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率，所以直线的方程为，即，故答案为：.
8．若直线l的倾斜角α满足4sinα=3csα，且它在x轴上的截距为3，则直线l的方程是___________.
【答案】
【分析】由已知确定直线的斜率，应用斜截式写出直线方程.
【详解】由4sinα=3csα，所以tanα=，从而直线l的方程为，即.
故答案为：
9．已知直线l经过点．
(1)若l在两坐标轴上截距和为零，求l的点斜式方程；
(2)设l的斜率，l与两坐标轴的交点分别为A、B，当的面积最小时，求l的斜截式方程．
【答案】(1)或；(2)
【分析】（1）设出直线的方程，分别求出在坐标轴上的截距，进而得到，解方程即可求出结果；（2）表示出三角形的面积，结合均值不等式即可求出结果.
【详解】（1）由题意知，l的斜率存在且不为0，设斜率为k，
则l的点斜式方程为，则它在两坐标轴上截距分别为和，
所以，解得或，所以l的点斜式方程为或．
（2）由（1）知，、，
所以的面积，
当且仅当时，等号成立，所以l的斜截式方程为．
1．已知两条直线：，：，则下列说法正确的是（ ）
A．与一定相交B．与一定平行
C．与一定相交或平行D．以上均不对
【答案】D
【分析】利用两直线的位置关系判断.
【详解】解：当时，与重合；当时，与平行，当时，与相交，
故选：D
2．直线的点斜式方程可以表示（ ）.
A．任何一条直线 B．不过原点的直线
C．不与y轴垂直的直线 D．不与x轴垂直的直线
【答案】D
【分析】由点斜式方程的定义可得答案.
【详解】点斜式方程适用的前提条件是斜率存在，故其可表示不与x轴垂直的直线．故选：D.
3．直线过点A（1，1），且在y轴上的截距的取值范围为（0，2），则直线的斜率的取值范围为（ ）
A．（－1，3）B．（1，3）C．（0，1）D．（－1，1）
【答案】D
【分析】根据题意设直线l的方程为，可得其在y轴上的截距为，再由题意列不等式组可求出的取值范围.
【详解】设直线l的斜率为，则其方程为，可化为，由l在y轴上的截距的取值范围为（0，2），可得，解得．故选：D．
4．已知直线与两坐标轴围成的三角形面积为6，则k值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求出直线与轴交点和与轴交点的坐标，利用面积公式计算即可.
【详解】对于直线，能与两坐标轴围成三角形，则，
令，得，所以直线与轴交点坐标为，令，得，所以直线与轴交点坐标为，所以直线与两坐标轴围成的三角形面积为，解得.故选：D
5．直线的斜率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】将直线的一般方程转化为直线的斜截式方程，根据的范围求出的范围，进而求出范围即可求解.
【详解】当时，直线的斜率为，因为，所以时，或，由得，当即时，直线的斜率为.因为，所以或，即或.所以直线的斜率的取值范围为.综上所述，直线的斜率的取值范围为.故选：A.
6．已知直线：，直线是直线绕点逆时针旋转得到的直线，则直线的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由正切的和角公式与直线方程的点斜式求解即可
【详解】设直线的倾斜角为，则，又直线是直线绕点逆时针旋转得到的直线，
所以直线的倾斜角为，故直线的斜率为，故直线的方程是，即，故选：D．
7．（多选）下列直线经过点并且在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍的直线方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】分两种情况，当截距为时，设直线的方程为：，将点代入求得的值，当截距不等于时，设直线的方程为：，将点代入求得的值即可求解.
【详解】当截距为时，设直线的方程为：，将点代入可得，可得，所以，即，当截距不等于时，设直线的方程为：，将点代入可得：，解得：，所以直线的方程为：，即，所以直线的方程为：或，
故选：AC.
8．（多选）下列说法正确的是（ ）
A．直线在y轴上的截距为2
B．直线，过定点
C．过点且与直线平行的直线方程是
D．过点且在两个坐标轴上的截距相等的直线方程为
【答案】BC
【分析】求出直线在y轴上的截距，可判断A;求得直线，过的定点的坐标，判断B;利用直线的平行关系可求出过点且与直线平行的直线方程，判断C;分两种情况求出过点且在两个坐标轴上的截距相等的直线方程，判断D,即可得答案.
【详解】对于A，对于直线，令x=0得，所以直线在y轴上的截距为：故A不正确；
对于B，直线，,故该直线过定点，故B正确；
对于C，因为所求直线与直线平行，因此，可设所求直线为，又所求直线过点，所以，解得，故所求直线方程为，故C正确；
对于D，过点且在两坐标轴上的截距相等的直线，当在两坐标轴上的截距为0时，直线方程为；
当在两坐标轴上的截距不为0时，设为，则，解得，则直线方程为，故D不正确；故选：BC．
9．在平面直角坐标系中，已知两点，为坐标原点，则的平分线所在直线的方程为___________.
【答案】
【分析】设的平分线的倾斜角为，根据斜率公式结合可得，由的范围即可求解.
【详解】由题意，可设的平分线的倾斜角为，如图，
则，即.则或，又，故，故，
故的平分线所在直线的方程为，故答案为：
10．有一根蜡烛点燃6min后，蜡烛长为17.4cm；点燃21min后，蜡烛长为8.4cm．已知蜡烛长度l（cm）与燃烧时间t（min）可用直线方程表示，则这根蜡烛从点燃到燃尽共耗时______min．
【答案】35
【分析】假设直线方程为，利用待定系数法求得直线方程，代入即可求得结果.
【详解】根据题意，不妨设直线方程为，则，解得，
所以直线方程为，当时，即，得，
所以这根蜡烛从点燃到燃尽共耗时35 min.故答案为：35.
11．已知直线l的方程为，若l的斜率为a，在y轴上的截距为b，则______．
【答案】2
【分析】将直线化为斜截式，可求出a，b，即可求出结果
【详解】直线l的方程为，即，∴，，∴.故答案为：2
12．已知直线l与直线的斜率相等，直线l与x轴的交点为，且a比直线l在y轴上的截距大1，则直线l的斜截式方程为________．
【答案】
【分析】根据已知条件求得直线的斜率和截距，从而求得正确答案.
【详解】由题意知，直线l的斜率为，故设直线l的方程为，令，得，所以，得，所以直线l的斜截式方程为．故答案为：
13．如图，射线OA，OB分别与x轴正半轴成和角，过点作直线AB分别交OA，OB于A，B两点，当AB的中点C恰好落在直线上时，则直线AB的方程是________.
【答案】
【分析】由题意求出直线的方程，设得到AB的中点的坐标，由A，P，B三点共线求出，得到直线的斜率，再利用直线的点斜式方程可得答案.
【详解】由题意可得，，所以直线，设，所以AB的中点C.由点C在直线上，且A，P，B三点共线得，解得，所以,
又，所以＝，所以 ，
即直线AB的方程为.
14．已知直线方程为.
(1)若直线的倾斜角为，求的值;
(2)若，直线分别与轴、轴交于两点，为坐标原点，求面积.
【答案】(1)；(2)4
【分析】（1）由斜率与倾斜角的关系直接求解，
（2）由直线方程求出两点坐标，从而可求出的面积.
【详解】（1）直线方程为
因为直线的倾斜角为，所以斜率，
（2）当时，，即，
当时，，当时，，
所以，所以的面积为.
15．已知平行四边形ABCD的三个顶点､､．
(1)求顶点D的坐标；
(2)在中，求边BC的高线所在直线的方程．
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）利用平行四边形对角线互相平分，结合中点坐标公式进行求解；
（2）求出直线BC的斜率，进而根据垂直关系求出边BC的高线所在直线的斜率，从而利用点斜式写出答案.
【详解】（1）设平行四边形的中心为E，E为AC和BD的中点，其中，则E（4,0），
设D（x,y），则有 ，解得：，故D点的坐标为；
（2）易知直线BC的斜率为，所以BC的高线所在直线的斜率为，
BC的高线所在的直线方程为，即.
16．已知的三个顶点分别为、、．求：
(1)边所在直线的方程；
(2)边上的高所在直线的方程；
(3)边上的中线所在直线的方程．
【答案】(1)；(2)；(3)
【分析】（1）先用斜率公式求出的斜率，再利用直线方程的点斜式，即可求解；
（2）利用两直线垂直得到，即可得到高所在直线的斜率，利用直线方程的点斜式，即可求解.
（3）求出边上的中点D坐标，利用两点的坐标，即可求出直线方程；
【详解】（1）因为、，
故，边AC所在直线的方程为：，即为：，
（2）由（1）知，故
所以AC边上的高所在直线的斜率为，
又，故为：，即；
（3）设AC边上的中点为D，则，即，
故AC边上的中线BD所在直线的方程的斜率为，
故为：，即.
17．若两条相交直线，的倾斜角分别为，，斜率均存在，分别为，，且，若，满足______（从①；②两个条件中，任选一个补充在上面问题中并作答），求：
(1)，满足的关系式；
(2)若，交点坐标为，同时过，过，在（1）的条件下，求出，满足的关系；
(3)在（2）的条件下，若直线上的一点向右平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，仍在该直线上，求实数，的值．
【分析】（1）依题意，，若选①利用诱导公式计算可得；若选②根据两直线垂直的充要条件得解；
（2）首先表示出直线、，再将点代入方程，再结合（1）的结论计算可得；
（3）按照函数的平移变换规则将直线进行平移变换，即可求出，从而求出直线的方程，即可求出，再根据（1）求出直线的方程，即可求出的值；
【详解】（1）解：依题意，，且，均不为或，
若选①，则，则，即；
若选②，则.
（2）解：依题意直线：，直线：，
又过，所以且，即且，又过，所以且，即且；
若选①，则，所以，即且、；
若选②，则，所以，即且、；
（3）解：直线：，将直线向右平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，
即，所以，解得，此时直线：，所以，解得；
若选①，则，此时直线：，所以，解得；
若选②，则，此时直线：，所以，解得.类别
点斜式
斜截式
适用范围
斜率存在
已知条件
点P(x0，y0)和斜率k
斜率k和在y轴上的截距b
图示
方程
y－y0＝k(x－x0)
y＝kx＋b
截距
直线l与y轴交点(0，b)的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距